【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修2-1双基限时练13

双基限时练(十三)1．双曲线C的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的eq\r(2)倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1 D.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1解析依题意a＋b＝eq\r(2)c，a＝2，又a2＋b2＝c2，解得b＝2，又焦点在y轴上，∴双曲线方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,4)＝1.答案B2．双曲线eq\f(x2,b2)－eq\f(y2,a2)＝1的两条渐近线相互垂直，那么该双曲线的离心率为()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(3,2)解析依题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴a＝b，∴c2＝2a2，∴eq\f(c2,a2)＝2，∴e＝eq\r(2).答案C3．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1和椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形肯定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形解析记e1＝eq\f(\r(a2＋b2),a)，e2＝eq\f(\r(m2－b2),m)，又e1·e2＝1，∴eq\f(\r(a2＋b2)·\r(m2－b2),am)＝1，化简得b2(m2－a2－b2)＝0，∵b2>0，∴m2－a2－b2＝0，即m2＝a2＋b2，∴以a，b，m为边长的三角形肯定是直角三角形．答案B4．双曲线与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝－x，则双曲线方程为()A．x2－y2＝96 B．y2－x2＝100C．x2－y2＝80 D．y2－x2＝24解析由题意知，c＝eq\r(64－16)＝4eq\r(3)，a＝b，∴2a2＝c2＝48，∴a2＝24，故所求双曲线方程为y2－x2＝24.答案D5．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C.eq\f(7,2) D．5解析由双曲线的定义及性质知，动点P的轨迹是双曲线的一支，且A，B为焦点，c＝2，a＝eq\f(3,2)，∴|PA|的最小值为a＋c＝eq\f(7,2).答案C6．已知双曲线eq\f(x2,n)－eq\f(y2,12－n)＝1的离心率为eq\r(3)，则n＝________.解析依题意知a2＝n，b2＝12－n，又e＝eq\r(3)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(n＋12－n,n)＝3，∴n＝4.答案47．过双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|＝________.解析由双曲线的定义知|MF2|－|MF1|＝4，|NF2|－|NF1|＝4，∴|MF2|＋|NF2|－|MF1|－|NF1|＝|MF2|＋|NF2|－|MN|＝8.答案88．若双曲线eq\f(x2,k＋4)＋eq\f(y2,9)＝1的离心率为2，则k的值为__________．解析依题意知k＋4<0，∴k<－4，又e＝eq\f(c,a)＝2，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(－k＋4＋9,9)＝4，∴k＝－31.答案－319．求与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1共渐近线且过点A(2eq\r(3)，－3)的双曲线方程．解设与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1共渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝λ(λ≠0)．∵A(2eq\r(3)，－3)在双曲线上，∴λ＝eq\f(2\r(3)2,16)－eq\f(－32,9)＝－eq\f(1,4).∴所求双曲线方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝－eq\f(1,4)即eq\f(4y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.10．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点M(3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程．解当焦点在x轴上时，可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，∵点(3,4)在双曲线上，∴eq\f(9,a2)－eq\f(16,b2)＝1，又b＝2a，∴4a2＝9×4－16＝20，a∴b2＝20.∴双曲线方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,20)＝1.当焦点在y轴上时，可设双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，∵点(3,4)在双曲线上，∴eq\f(16,a2)－eq\f(9,b2)＝1.又∵b＝2a，∴4a2＝16×4－9＝55，a2＝eq\f(55,4)，∴b2＝55.∴双曲线方程为eq\f(4y2,55)－eq\f(x2,55)＝1.综上，所求双曲线方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1或eq\f(4y2,55)－eq\f(x2,55)＝1.11．已知双曲线的中心在原点，顶点在y轴上，两顶点间的距离是16，且离心率e＝eq\f(5,4)，试求双曲线方程及顶点到渐近线的距离．解设双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，由2a＝16，得a＝8，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，∴c＝10，b2＝c2－a2＝36.故所求的双曲线的方程为eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.由上可得双曲线的焦点为(0，±10)，渐近线方程为y＝±eq\f(8,6)x，即4x±3y＝0.∴焦点到渐近线的距离为d＝eq\f(|4×0±3×10|,\r(42＋32))＝6.12．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点(4，－eq\r(10))．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：eq\o(MF1,\s\up16(→))·eq\o(MF2,\s\up16(→))＝0；(3)求△F1MF2的面积．解(1)∵e＝eq\r(2).∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－eq\r(10))，∴λ＝16－10＝6.∴双曲线的方程为x2－y2＝6.(2)由(1)可知，双曲线中a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3).∴F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)．∴eq\o(MF1,\s\up16(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up16(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)．∴eq\o(MF1,\s\up16(→))·eq\o(MF2,\s\up16(→))＝(3＋2eq\r(3))(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2.∵M在双