2022届【创新设计】数学一轮(浙江专用-理科)-第四章-课时作业-4-3

第3讲平面对量的数量积基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2022·大纲全国卷)已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1D．2解析(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B.答案B2．(2022·云南统一检测)已知平面对量a与b的夹角等于eq\f(π,3)，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝()A.eq\r(57)B.eq\r(61)C．57D．61解析由题意可得a·b＝|a|·|b|coseq\f(π,3)＝3，所以|2a－3b|＝eq\r(2a－3b2)＝eq\r(4|a|2＋9|b|2－12a·b)＝eq\r(16＋81－36)＝eq\r(61)，故选B.答案B3．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于()A．1B．－1C.eq\r(3)D.eq\f(\r(2),2)解析设a与b的夹角为θ.由|a·b|＝|a||b|，得|cosθ|＝1，所以向量a与b共线，则sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x.又x∈(0，π)，所以2cosx＝2sinx，即tanx＝1.答案A4．如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(2)解析法一以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(eq\r(2)，0)，E(eq\r(2)，1)，F(x,2)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x,2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(x－eq\r(2)，2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\r(2)x＝eq\r(2)，解得x＝1，∴F(1,2)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\r(2).法二eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AF,\s\up6(→))|cos∠BAF＝eq\r(2)，∴|eq\o(AF,\s\up6(→))|cos∠BAF＝1，即|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝1，∴|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)－1，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(2)×(eq\r(2)－1)×(－1)＋1×2×1＝eq\r(2).答案B5．(2022·大庆二模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(2π,3)解析由题意作图(如图)，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，结合向量的几何意义可知∠ABD＝∠CAB＝eq\f(π,6)，故向量a＋b与a－b的夹角为eq\o(AC,\s\up6(→))与Beq\o(D,\s\up6(→))的夹角，为eq\f(2π,3)，选D.答案D二、填空题6．(2022·上海八校联合调研)向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．解析依题意得a·b＝－1，|b|＝eq\r(2)，因此向量a在向量b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)＝－eq\f(\r(2),2).答案－eq\f(\r(2),2)7．(2022·江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝eq\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.解析由于a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2eq\r(2)，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9eeq\o\al(2,1)－9e1·e2＋2eeq\o\al(2,2)＝9－9×1×1×eq\f(1,3)＋2＝8，所以cosβ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(8,3×2\r(2))＝eq\f(2\r(2),3).答案eq\f(2\r(2),3)8．(2022·四川卷)平面对量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝______.解析a＝(1,2)，b＝(4,2)，则c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝eq\r(5)，|b|＝2eq\r(5)，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.∵c与a的夹角等于c与b的夹角，∴eq\f(c·a,|c|·|a|)＝eq\f(c·b,|c|·|b|)，∴eq\f(5m＋8,\r(5))＝eq\f(8m＋20,2\r(5))，解得m＝2.答案2三、解答题9．已知平面对量a＝(eq\r(3)，－1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．(1)证明∵a·b＝eq\r(3)×eq\f(1,2)－1×eq\f(\r(3),2)＝0，∴a⊥b.(2)解∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝eq\f(t3－3t,4)(t≠0)．10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝eq\r(13).(3)∵eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq\f(2π,3)，∴∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).力气提升题组(建议用时：35分钟)11．(2022·浙江卷)记max{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥y，,y，x<y，))min{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y，x≥y，,x，x<y，))设a，b为平面对量，则()A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2解析对于min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不定，因此A，B均错；而|a＋b|，|a－b|中的较大者与|a|，|b|可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，因此选D.答案D12．(2021·金华质量检测)在△ABC中，设eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心解析假设BC的中点是O.则eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝2Aeq\o(O,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，即(Aeq\o(O,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MO,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，选C.答案C13．(2022·东北三省四市联考)在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为(3，a)，a∈R，点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，λ∈R，|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．解析点A的坐标为(3，a)，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|≥3，又eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，则O，P，A三点共线，|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OP,\s\up6(→))|＝72，故|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(72,|\o(OA,\s\up6(→))|).设OP与x轴夹角为θ，则OP在x轴上的投影长度为|eq\o(OP,\s\up6(→))|cosθ＝|eq\o(OP,\s\up6(→))|eq\f(3,|\o(OA,\s\up6(→))|)＝eq\f(216,|\o(OA,\s\up6(→))|2)≤24，即线段OP在x轴上的投影长度的最大值为24.答案2414．已知平面上三点A，B，C，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2－k,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,4)．(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．解(1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同始终线上，即向量Beq\o(C,\s\up6(→))与Aeq\o(C,\s\up6(→))平行，∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝eq\f(1,2).(2)∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2－k,3)，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝(k－2，－3)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝(k,1)．若△ABC为直角三角形，则当A是直角时，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴2k＋4＝0，解得k＝－2；当B是直角时，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即Aeq\o(B,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；当C是直角时，eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(AC,\s\up6(→))·