【优教通-同步备课】高中数学(北师大版)必修五教案：1.1-拓展资料：常见的新定义数列问题

常见的新定义数列问题近年高考中，经常毁灭新定义数列的考题．题目经常给出一种新数列的定义，通过阅读与理解题意，完成相关的问题．这是一类创新题型，需要对已经学过的数列学问理解彻透，并学会机敏运用这些学问去解决相关问题．一、等和数列（2004·北京）定义“等和数列”：在一个数列中，假如每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为，且这个数列的前项和的值为．先对等和数列进行一般性的探讨．设是等和数列，公和为，则由等和数列的定义知，数列的各项依次为即为奇数；为偶数．为奇数；为偶数．为奇数；为偶数．为奇数；为偶数．由于，公和为，所以，．二、等积数列（2005·保定市高考模拟）在一个数列中，若每一项与它的后一项的积都为同一个常数（有限数列的最终一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积．若数列是等积数列，且，公积为，则（）A． B． C． D．先对等积数列进行一般性的探讨．设是等积数列，公积为，则由等积数列的定义知，数列的各项依次为为奇数；为偶数．即为奇数；为偶数．由可得：，又由于，公积为，所以，，故选C．三、等方比数列（2007·湖北）若数列满足，（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即，则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即，即数列公比不愿定为，则命题乙不成立，故选B．四、确定差数列（2006·北京）在数列中，若是正整数，且，，则称为“确定差数列”．⑴举出一个前五项不为零的“确定差数列”（只要求写出前项）；⑵若“确定差数列”中，，数列满足，，分别推断当时，与的极限是否存在，假如存在，求出其极限值；⑶证明任何“确定差数列”中总含有无穷多个为零的项．关键是读懂题目中“确定差数列”的含义．⑴，，，，，，，，，．（答案不唯一）；⑵在“确定差数列”中，由于，，所以自第项开头，，，，，，…，即每个相邻的项周期地取值，，，所以当时，的极限不存在，而当时，，所以．⑶证明依据定义，数列必在有限项后毁灭零项．证明如下：假设中没有零项，由于，所以对任意的，都有，从而当时，，当时，，即的值要么比至少小，要么比至少小；令则由于是确定的正整数，这样削减下去，必定存在，这与冲突．所以必有零项．若第一次毁灭的零项为第项，记，则自第项开头，第三个相邻的项周期地取值，，，即，，，．所以“确定差数列”中总含有无穷多个为零的项．五、对称数列（2007·上海）若有穷数列，，（是正整数），满足，，…，，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．⑴已知数列是项数为的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项；⑵已知是项数为的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？⑶对于给定的正整数，试写出全部项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前项和．⑴设的公差为，则，解得，所以数列为．⑵，，所以当时，取得最大值．的最大值为．⑶全部可能的“对称数列”是：①；②；③；④．对于①，当时，．当时，．对于②，当时，．当时，．对于③，当时，．当时，．对于④，当时，．当时，．六、一阶差分数列（2007·青岛质检）对于数列，定义为数列的“一阶差分数列”，其中．⑴若数列的通项公式，求的通项公式；⑵若数列的首项是，且，①证明数列为等差数列；②求的前项和．⑴依题意，所以．⑵①由于，所以，即，所以，又由于，所以是以为首项，为公差的等差数列；②由①得：．所以．所以．错位相减得：．七、周期数列在数列中，假如存在非零常数，使得对任意正整数均成立，那么就称为“周期数列”，其中叫做数列的周期．已知数列满足，假如，，当数列周期