2022年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关：第8章-解析几何-3-

第八章第3节eq\x(\a\vs4\al(对应同学用书课时冲关)\a\vs4\al(理四十二/第313页,文三十九/第277页))一、选择题1．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为eq\f(4,5)，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A．9 B．1C．1或9 D．以上都不对解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3,\f(c,a)＝\f(4,5),a2＝b2＋c2))，解得a＝5，b＝3，c＝4.∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1.答案：C2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为eq\f(1,2)，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1解析：由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a⇒a又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，c＝1，则b2＝a2－c2＝3.答案：A3．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为()A.eq\f(2－\r(2),2) B.eq\f(2\r(2)－1,2)C.eq\r(3)－1 D.eq\r(2)－1解析：依题意有P(c,2c)，点P所以有eq\f(c2,a2)＋eq\f(2c2,b2)＝1，整理得b2c2＋4a2c2＝a2b2，又由于b2＝a2－c2，代入得c4－6a2c2＋即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2eq\r(2)(3＋2eq\r(2)舍去)，从而e＝eq\r(2)－1.答案：D4．已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，则点M到y轴的距离为()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(2\r(6),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\r(3)解析：方法一：由题意，得F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)．设M(x，y)，则eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x，－y)·(eq\r(3)－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3①又由于点M在椭圆上，故eq\f(x2,4)＋y2＝1，即y2＝1－eq\f(x2,4)②将②代入①，得eq\f(3,4)x2＝2，解得x＝±eq\f(2\r(6),3).故点M到y轴的距离为eq\f(2\r(6),3).方法二：由题可知b2＝1，θ＝eq\f(π,2)，c＝eq\r(3)，代入焦点三角形的面积公式S＝b2taneq\f(θ,2)＝c|yP|可得，|yP|＝eq\f(1,\r(3))，代入椭圆方程得|xP|＝eq\f(2\r(6),3).答案：B5．(2021·昆明一中检测)已知直线x＝t与椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1交于P，Q两点．若点F为该椭圆的左焦点，则使eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))取得最小值时，t的值为()A．－eq\f(100,17) B．－eq\f(50,17)C.eq\f(50,17) D.eq\f(100,17)解析：易知椭圆的左焦点F(－4,0)．依据对称性可设P(t，y0)，Q(t，－y0)，则eq\o(FP,\s\up6(→))＝(t＋4，y0)，eq\o(FQ,\s\up6(→))＝(t＋4，－y0)，所以eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))＝(t＋4，y0)·(t＋4，－y0)＝(t＋4)2－yeq\o\al(2,0).又由于yeq\o\al(2,0)＝9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(t2,25)))＝9－eq\f(9,25)t2，所以eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))＝(t＋4)2－yeq\o\al(2,0)＝t2＋8t＋16－9＋eq\f(9,25)t2＝eq\f(34,25)t2＋8t＋7，所以当t＝－eq\f(50,17)时，eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))取得最小值．故选B.答案：B6．在椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1内，通过点M(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为()A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0解析：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),16)＋\f(y\o\al(2,1),4)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),16)＋\f(y\o\al(2,2),4)＝1，②))由①－②，得eq\f(x1＋x2x1－x2,16)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,4)＝0，因eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2，,y1＋y2＝2，))所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(4x1＋x2,16y1＋y2)＝－eq\f(1,4)，所以所求直线方程为y－1＝－eq\f(1,4)(x－1)，即x＋4y－5＝0.答案：A二、填空题7．(2021·嘉兴模拟)已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是________．解析：依题意：F1(0，－3)，F2(0,3)．又由于3<4，所以∠F1F2P＝90°或∠F2F1设P(x,3)，代入椭圆方程得：x＝±eq\f(16,5)，即点P到y轴的距离为eq\f(16,5).答案：eq\f(16,5)8．分别过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2所作的两条相互垂直的直线l1，l2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是________．解析：由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2又点P在椭圆内部，所以有c2<b2，又b2＝a2－c2，所以有c2<a2－c2，即2c2<a2，亦即：eq\f(c2,a2)<eq\f(1,2)，所以0<eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))9．如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝eq\r(2)，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．解析：设所求的椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，F(eq\r(a2－b2)，0)．依题意，得eq\r(a2－b2)＝eq\r(2)，FM的直线方程是x＝eq\r(2)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(b,a)\r(a2－2))).由于O，C，M三点共线，所以eq\f(\f(b\r(a2－2),a),\r(2))＝eq\f(\f(b,2),\f(a,2))，即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2.所求方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1三、解答题10．(2021·莆田模拟)点A，B分别是椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．解：(1)由题意可知点A(－6,0)，F(4,0)设点P的坐标为(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋6，y)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，且y＞0，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,x＋6x－4＋y2＝0.))即2x2＋9x－18＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(5\r(3),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝0.))(舍)∴点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5\r(3),2))).(2)直线AP的方程为x－eq\r(3)y＋6＝0，设点M的坐标为(m,0)，由题意可知＝eq\f(|m＋6|,2)＝|m－6|.又－6≤m≤6，∴m＝2，∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－eq\f(5,9)x2＝eq\f(4,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,2)))2＋15.∴当x＝eq\f(9,2)时，d取得最小值eq\r(15).11．(2021·兰州模拟)已知椭圆方程为eq\f(y2,2)＋x2＝1，斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0，m)．(1)求m的取值范围；(2)求△MPQ面积的最大值．解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(y2,2)＋x2＝1，))可得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(－2k,k2＋2)，x1x2＝－eq\f(1,k2＋2).可得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝eq\f(4,k2＋2).设线段PQ的中点为N，则点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－k,k2＋2)，\f(2,k2＋2)))，由题意有kMN·k＝－1，可得eq\f(m－\f(2,k2＋2),\f(k,k2＋2))·k＝－1，可得m＝eq\f(1,k2＋2)，又k≠0，所以0<m<eq\f(1,2).(2)设椭圆的焦点为F，则S△MPQ＝eq\f(1,2)·|FM|·|x1－x2|＝eq\r(2m1－m3)，所以△MPQ的面积为eq\r(2m1－m3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<m<\f(1,2))).设f(m)＝m(1－m)3，则f′(m)＝(1－m)2(1－4m可知f(m)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))上递增，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))上递减．所以，当m＝eq\f(1,4)时，f(m)有最大值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\f(27,256).即当m＝eq\f(1,4)时，△MPQ的面积有最大值eq\f(3\r(6),16).12．(2021·黄山模拟)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝eq\f(5,8)|AB|，求椭圆的方程．解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，由于|PF2|＝|F1F2|，所以eq\r(a－c2＋b2)＝2c.整理得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋eq\f(c,a)－1＝0.即2e2＋e－1＝0，所以e＝eq\f(1,2)或－1(舍)．(2)由(1)知a＝2c，b＝eq\r(3)c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝eq\r(3)(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋4y2＝12c2，,y＝\r(3)x－c))消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝eq\f(8,5)c.得方程组的解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝－\r(3)c，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(8,5