【-学案导学设计】2020-2021学年高中数学(人教A版-选修1-1)课时作业2.3.1

§2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程课时目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.把握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简洁的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的确定值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的确定值等于|F1F2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________平面内与两个定点F1，F2的距离的差的确定值大于|F1F2|时的点的轨迹__________(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F1、F2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F1__________，F2__________.(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F1__________，F2__________.(3)双曲线中a、b、c的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个曲线是()A．双曲线，焦点在x轴上B．双曲线，焦点在y轴上C．椭圆，焦点在x轴上D．椭圆，焦点在y轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,3)－y2＝1C．y2－eq\f(x2,3)＝1D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝14．双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,3＋m)＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为()A.eq\f(1,2)B．1或3C.eq\f(1＋\r(2),2)D.eq\f(\r(2)－1,2)5．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为()A．抛物线B．圆C．双曲线的一支D．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－eq\r(5)，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是()A.eq\f(x2,4)－y2＝1B．x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1题号123456答案二、填空题8．已知方程eq\f(x2,1＋k)－eq\f(y2,1－k)＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．9．F1、F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝________________________________________________________________________.三、解答题10．设双曲线与椭圆eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sinB－sinC＝eq\f(1,2)sinA，求动点A的轨迹方程．力气提升A．[3－2eq\r(3)，＋∞)B．[3＋2eq\r(3)，＋∞)C．[－eq\f(7,4)，＋∞)D．[eq\f(7,4)，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(eq\r(7)，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－eq\f(2,3)，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要依据求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.3双曲线2.学问梳理1．(1)|F1F2|以F1，F2为端点的两条射线不存在(2)双曲线的焦点2．(1)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)(－c,0)(c,0)(2)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)(0，－c)(0，c)(3)c2＝a2＋b2作业设计1．B[依据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当2a<|F1F2|且a≠2．B[原方程可化为eq\f(x2,\f(b,a))＋y2＝1，由于ab<0，所以eq\f(b,a)<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.]3．A[∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴eq\f(22,a2)－eq\f(32,b2)＝1.②由①②解得a2＝1，b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.]4．A[∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝eq\f(1,2).]5．C[由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1<|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B[设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，由于c＝eq\r(5)，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5－a2)＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(eq\r(5)，4)．代入双曲线方程得eq\f(5,a2)－eq\f(16,5－a2)＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－eq\f(y2,4)＝1.故选B.]7．2解析∵||PF1|－|PF2||＝4，又PF1⊥PF2，|F1F2|＝2eq\r(5)，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2.8．－1<k<1解析由于方程eq\f(x2,1＋k)－eq\f(y2,1－k)＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k＋1)(k－1)<0.所以－1<k<1.9．90°解析设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.在△F1PF2中，由余弦定理，得(2c)2＝req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2cosα，∴cosα＝eq\f(r1－r22＋2r1r2－4c2,2r1r2)＝eq\f(36＋64－100,64)＝0.∴α＝90°.10．解方法一设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为±eq\r(15)，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(42,a2)－\f(±\r(15)2,b2)＝1，,a2＋b2＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.))所以双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±eq\r(15)，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以2a＝|eq\r(±\r(15)－02＋4＋32)－eq\r(±\r(15)－02＋4－32)|＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.11．解设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，代入sinB－sinC＝eq\f(1,2)sinA，得eq\f(|AC|,2R)－eq\f(|AB|,2R)＝eq\f(1,2)·eq\f(|BC|,2R)，又|BC|＝8，所以|AC|－|AB|＝4.因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以a＝2，c＝4，b所以A点的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x>2)．12．B[由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.设P(x，y)(x≥eq\r(3))，13．解设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，且c＝eq\r(7)，则a2＋b2＝7.①由MN中点的横坐标为－eq\f(2,3)知，中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(5,3))).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)－\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\