【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2双基限时练6

双基限时练(六)1．若f(x)＝eq\f(lnx,x)(0<a<b<e)，则有()A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)C．f(a)<f(b) D．f(a)·f(b)>1解析∵f′(x)＝eq\f(\f(1,x)·x－lnx,x2)＝eq\f(1－lnx,x2)，当x∈(0，e)时，lnx∈(0,1)，∴1－lnx>0，即f′(x)>0.∴f(x)在(0，e)上为增函数，又0<a<b<e，∴f(a)<f(b)．答案C2．若在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)＝0 D．f(x)≥0解析由题意知f(x)在(a，b)上为增函数，又f(a)≥0，∴在(a，b)内恒有f(x)>0.答案A3．设f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)<0是f(x)在(a，b)内单调递减的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析f(x)在(a，b)内有f′(x)<0，则f(x)在(a，b)内单调递减；反过来，f(x)在(a，b)内单调递减，则f′(x)≤0.∴f′(x)<0是f(x)在(a，b)内单调递减的充分不必要条件．答案A4．设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图象如右图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()解析分析导函数y＝f′(x)的图象可知，x<－1时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在(－∞，－1)上为减函数；当－1<x<1时，f′(x)>0，∴y＝f(x)在(－1,1)内为增函数；当x>1时，f′(x)<0，∴y＝f(x)在(1，＋∞)上为减函数，只有B符合条件．答案B5．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则()A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0解析∵f′(x)＝ex＋1>0，∴f(x)＝ex＋x－2在其定义域内是增函数．又f(a)＝0，f(1)＝e－1>0，f(0)＝－1<0，∴0<a<1.∵x>0，∴g′(x)＝eq\f(1,x)＋2x>0，∴g(x)＝lnx＋x2－3在(0，＋∞)上为增函数，而g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，∴g(b)＝0⇒1<b<2.∴g(a)<0，f(b)>0.故g(a)<0<f(b)．答案A6．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于________．解析∵f(x)＝x2＋2xf′(1)，∴f′(x)＝2x＋2f′∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.答案－47．已知导函数y＝f′(x)的图象如下图所示，请依据图象写出原函数y＝f(x)的递增区间是________．解析由图象可知，当－1<x<2，或x>5时，f′(x)>0，∴f(x)的递增区间为(－1,2)和(5，＋∞)．答案(－1,2)，(5，＋∞)8．下列命题中，正确的是________．①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对于任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0；②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；③若在(a，b)内的任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；④若x∈(a，b)，总有f′(x)<0，则在(a，b)内f(x)<0.答案③9．已知R上的可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)<0的解集为________．解析由f(x)的图象可知，f′(x)<0⇒－1<x<1；f′(x)>0⇒x<－1或x>1.因此(x2－2x－3)f′(x)<0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3>0，,f′x<0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3<0，,f′x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>3，,－1<x<1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<3，,x<－1或x>1，))即1<x<3.答案{x|1<x<3}10．已知f(x)＝ex－ax，求f(x)的单调区间．解∵f(x)＝ex－ax.∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a.当a≤0时，有f′(x)>0在R上恒成立；当a>0时，有x≥lna.令f′(x)≤0，得ex≤a，当a>0时，x≤lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的增区间为[lna，＋∞)，减区间为(－∞，lna]．11．若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．解函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1，或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．依题意应有当x∈(1,4)时，f′(x)<0，当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.所以a的取值范围是[5,7]．12．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围．解(1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，f′(0)＝1，f(0)＝0，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.(2)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－eq\f(1,k)(k≠0)．若k>0，则当x∈(－∞，－eq\f(1,k))时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(－eq\f(1,k)，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．若k<0，则当x∈(－∞，－eq\f(1,k))时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－eq\f(1,k)，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．(3)由(2)知，若k>0，