【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修4双基限时练5

双基限时练(五)单位圆与周期性一、选择题1．下列说法不正确的是()A．只有个别的x值或只差个别的x满足f(x＋T)＝f(x)或不满足都不能说T是y＝f(x)的周期B．全部周期函数都存在最小正周期C．周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈N*)肯定也是周期D．周期函数的定义域肯定是无限集，而且定义域肯定无上界或者无下界解析A正确．只有个别的x值或只差个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)或不满足都不能说T是y＝f(x)的周期，例如：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,2)))＝sineq\f(π,4)，但是sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,2)))≠sineq\f(π,3).就是说eq\f(π,2)不能对x在定域内的每一个值都有sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝sinx，因此eq\f(π,2)不是y＝sinx的周期．B不正确．并不是全部周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期．C正确．D正确．在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT也肯定属于定义域，因此周期函数的定义域肯定是无限集，而且定义域肯定无上界或者无下界．故选B.答案B2．已知f(x)为R上的周期函数，且周期T＝3，若f(1)＝1，则f(2022)的值为()A．1 B．－1C．3 D．670解析f(2022)＝f(3×671＋1)＝f(1)＝1.答案A3．若角α的终边上有一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则sin(α－4π)的值为()A.－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C.－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析由于α的终边上有一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，∴|OP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝1，∴sinα＝eq\f(1,2).又sin(α－4π)＝sinα＝eq\f(1,2).答案D4．已知f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,3)))，x∈Z，则f(x)的值域为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))解析∵x∈Z，当x＝2n(n∈Z)时，f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)，当x＝2n＋1时，f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2nπ＋\f(4,3)π))＝－eq\f(1,2)，故f(x)的值域为{－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)}，答案为A.答案A5．设f(x)(x∈R)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(1)＝－1，则f(11)的值是()A．－1B．1C．2D．－2解析由f(x)为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)．又f(x)的周期为3，故f(11)＝f(3×4－1)＝f(－1)＝1.故选B.答案B6．已知f(x)在R上为奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为()A．0B．－1解析∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)为周期函数．T＝4，又f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.答案A7．sin2580°＝()A.－eq\f(\r(3),2) B.－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析sin2580°＝sin(7×360°＋60°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).答案D二、填空题8．coseq\f(9,4)π＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π))＝________.解析原式＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,4)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,4)＋sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1＋\r(2),2).答案eq\f(1＋\r(2),2)9．若偶函数y＝f(x)是以4为周期的函数，且f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是__________．解析∵周期T＝4且f(x)在[－6，－4]上递减，∴f(x)在[－2,0]上也是减函数．又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,2]上为增函数．答案递增10．满足sinx＝eq\f(\r(3),2)的x的集合为________．答案{x|x＝2kπ＋eq\f(π,3)，或x＝2kπ＋eq\f(2,3)π，k∈Z}三、解答题11．求下列各式的值．(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,4)π))；(2)coseq\f(49,6)π＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π)).解(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,4)π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).(2)原式＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,6)＋sineq\f(π,6)＝eq\f(1＋\r(3),2).12．已知函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x＋1)＝－eq\f(1,fx)(f(x)≠0)对任意x∈R恒成立，求f(5)的值．解∵f(x＋1)＝－eq\f(1,fx)，∴f(x＋2)＝－eq\f(1,fx＋1)∴f(x＋2)＝－eq\f(1,－\f(1,fx))＝f(x)．∴f(x)的周期为2.∴f(5)＝f(1)＝2.13．设f(n)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)π＋\f(π,4)))，n∈Z.求f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)的值．解当n＝4k(k∈Z)时，f(n)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)；当n＝4k＋1(k∈Z)时，f(n)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)；当n＝4k＋2(k∈Z)时，f(n)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)；当n＝4k＋3(k∈Z)时，f(n)＝coseq\b\lc\(\rc\)(