【同步辅导】2021高中数学北师大版选修2-2导学案：《定积分的基本定理》

第2课时微积分基本定理1.直观了解并把握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分.1664年秋,牛顿开头争辩微积分问题,他反复阅读笛卡儿《几何学》,对笛卡儿求切线的“圆法”产生了深厚的爱好并试图查找更好的方法,以前,面积总是被看成是无限小不行重量之和,牛顿则从确定面积的变化率入手,通过反微分计算面积.牛顿不仅揭示了面积计算与求切线的互逆关系,而且格外明确的把它作为一般规律揭示出来,从而奠定了微积分普遍算法的基础.从1684年起,莱布尼兹发表了很多微积分论文.他的第一篇微分学文章《一种求极大值微小值和切线的新方法》是世界上最早公开发表的关于微分学的文献.在这篇论文中,他简明地解释了他的微分学,文中给出了微分的定义和基本的微分法则.问题1:(1)函数的原函数假如连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即,通常称F(x)是f(x)的一个原函数.

(2)微积分基本定理假如连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即f(x)=F'(x),则有abf(x)dx=,问题2:由微积分定理知求函数f(x)的定积分关键在于找到满足F'(x)=f(x)的一个原函数F(x),完成下表,写出常见函数的原函数.函数f(x)C(C是常数)xn(n≠-1)1sinxcosxax(a>0且a≠1)ex原函数F(x)

问题3:若f(x)是偶函数,则-aaf(x)dx=;若f(x)是奇函数,则-aaf(1.若F'(x)=x2,则F(x)的解析式肯定不正确的是().A.F(x)=13x3 B.F(x)=xC.F(x)=13x3+1 D.F(x)=13x3+c(c2.-11|x|dx等于(A.-11xdx B.-11C.-10(-x)dx+01xdx D.-10x3.已知t>0,若0t(2x-1)dx=6,则t=4.计算定积分:-11(x2+sinx求简洁函数的定积分计算下列定积分:(1)121xdx;(2)13(2x-1x2)dx;(3)-求较简单函数的定积分计算下列定积分:(1)121x2+2xdx;(2)0π2sin2x2dx定积分中的参数问题求定积分-43计算下列定积分.(1)14(3x2-2x-8)d(2)04π(cosx-sinx)(3)12(ex-1x计算下列定积分.(1)0π2cos2x(2)-11(xcosx-5sinx+2)(3)12|3-2x|求定积分:02|x-a|1.05(2x-4)dx=(A.5 B.4 C.3 D.22.若1a(2x+1x)dx=3+ln2,且a>1,则a的值为(A.6 B.4 C.3 D.23.-43|x+2|d4.计算下列定积分.(1)49x(1+x)dx;(2)12(ex(2022年·江西卷)计算定积分-11(x2+sinx)d考题变式(我来改编):答案第2课时微积分基本定理学问体系梳理问题1:(1)F'(x)=f(x)(2)F(b)-F(a)问题2:Cxxn+1n+1lnx-cosxsinx问题3:20af(x)d基础学习沟通1.B由于(x3)'=3x2,所以F(x)=x3不正确.2.C由于x=-x,3.30t2x-1)dx=(x2-4.解:∵(13x3-cosx)'=x2+sinx∴-11x重点难点探究探究一:【解析】(1)由于(lnx)'=1x,所以121(2)由于(x2)'=2x,(1x)'=-1x2,所以132x-1x2)dx=132dx-1(3)-π0cosx-【小结】求简洁函数的定积分关键留意两点:(1)把握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数,当原函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解;(2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.探究二:【解析】(1)121x2+2(2)0π2sin2(3)03x2-4|d【小结】当原函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解.具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函数、正弦、余弦函数、指数、对数函数与常数的和或差.探究三:【解析】(1)当-a≤-4即a≥4时,原式=-4(2)当-4<-a<3即-3<a<4时,原式=-=a22-4a+8+(a22+3a+92)(3)当-a≥3即a≤-3时,原式=-43x+a综上所述,得-43【小结】对于含有确定值符号的被积函数,要去掉确定值符号才能积分.思维拓展应用应用一:(1)原式=(2)原式(3)原式=1应用二:(1)0=1=12[(π2-0)-12(sin2×π2-sin0(2)由于y=xcosx-5sinx为奇函数,所以11(3)1基础智能检测1.A052x-4)dx=(x2-4x)05=(52.D由1a2x+1x)dx=(x2+lnx)1a=a2+lna-3.292原式=-4-4.解:(1)∵x(1+x)=x+x,又∵(23x32)'=x12=x,(∴49x(1+x)dx=49x=23x32

9

4+12x2

9

4=23×(9=23×(27-