【全程复习方略】2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第二章-第十节变化率与导数、导数的计算

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十三)一、选择题1.函数y=cos(2x+1)的导数是()(A)y′=sin(2x+1) (B)y′=-2xsin(2x+1)(C)y′=-2sin(2x+1) (D)y′=2xsin(2x+1)2.(2021·茂名模拟)曲线y=QUOTEx3+x在点(1,QUOTE)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE3.(2021·阳江模拟)已知f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0等于()(A)e2 (B)e (C)QUOTE (D)ln24.(2021·肇庆模拟)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为()(A)2 (B)-QUOTE (C)4 (D)-QUOTE5.如图,其中有一个是函数f(x)=QUOTEx3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)为()(A)2 (B)-QUOTE (C)3 (D)-QUOTE6.(2021·安庆模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+QUOTEx-9都相切,则a等于()(A)-1或-QUOTE (B)-1或QUOTE(C)-QUOTE或-QUOTE (D)-QUOTE或7二、填空题7.如图,函数F(x)=f(x)+QUOTEx2的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=.8.设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,QUOTE],则点P到曲线y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为.9.(力气挑战题)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.三、解答题10.求下列各函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=QUOTE+QUOTE.(3)y=e-xsin2x.11.已知曲线y=QUOTEx3+QUOTE,(1)求曲线过点P(2,4)的切线方程.(2)求曲线的斜率为4的切线方程.12.(力气挑战题)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f′(-1)=0.(1)求a的值.(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?假如存在,求出k的值;假如不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选C.y′=-sin(2x+1)·(2x+1)′=-2sin(2x+1).2.【解析】选A.y′=x2+1,曲线在点(1,QUOTE)处的切线斜率k=12+1=2,故曲线在点(1,QUOTE)处的切线方程为y-QUOTE=2(x-1).该切线与两坐标轴的交点分别是(QUOTE,0),(0,-QUOTE).故所求三角形的面积是:QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.【方法技巧】导数几何意义的应用导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=QUOTE求解.3.【解析】选B.由于f′(x)=lnx+x·QUOTE=lnx+1,所以f′(x0)=lnx0+1,由lnx0+1=2得x0=e.4.【解析】选C.由于曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以g′(1)=2.又f′(x)=g′(x)+2x,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=g′(1)+2=4.5.【解析】选B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴导函数f′(x)的图象开口向上.又∵a≠0,∴其图象必为(3).由图象特征知f′(0)=0,且对称轴x=-a>0,∴a=-1,故f(-1)=-QUOTE.6.【思路点拨】先设出切点坐标,再依据导数的几何意义写出切线方程,最终由点(1,0)在切线上求出切点后再求a的值.【解析】选A.设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,QUOTE),所以切线方程为y-QUOTE=3QUOTE(x-x0),即y=3QUOTEx-2QUOTE.又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=QUOTE,当x0=0时,由y=0与y=ax2+QUOTEx-9相切可得Δ=(QUOTE)2-4a(-9)=0,解得a=-QUOTE,同理,当x0=QUOTE时,由y=QUOTEx-QUOTE与y=ax2+QUOTEx-9相切可得a=-1,所以选A.【方法技巧】导数几何意义的应用导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=QUOTE求解.7.【解析】F′(x)=f′(x)+QUOTEx,由题意可知F′(5)=f′(5)+2=-1,∴f′(5)=-3.又点(5,3)在F(x)的图象上,∴f(5)+5=3,∴f(5)=-2,∴f(5)+f′(5)=-5.答案:-58.【解析】∵y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,QUOTE],∴0≤f′(x0)≤1,即0≤2ax0+b≤1.又∵a>0,∴-QUOTE≤x0≤QUOTE,∴0≤x0+QUOTE≤QUOTE,即点P到曲线y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为[0,QUOTE].答案:[0,QUOTE]9.【思路点拨】求出导函数,依据导函数有零点,求a的取值范围.【解析】由题意该函数的定义域为(0,+∞),且f′(x)=2ax+QUOTE.由于存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为x>0时导函数f′(x)=2ax+QUOTE存在零点的问题.方法一(图象法):再将之转化为g(x)=-2ax与h(x)=QUOTE存在交点.当a=0时不符合题意,当a>0时,如图1,数形结合可得没有交点,当a<0时,如图2,此时正好有一个交点,故有a<0,应填(-∞,0).方法二(分别变量法):上述也可等价于方程2ax+QUOTE=0在(0,+∞)内有解,明显可得a=-QUOTE∈(-∞,0).答案:(-∞,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(2)∵y=QUOTE+QUOTE=QUOTE,∴y′=(QUOTE)′=QUOTE=QUOTE.(3)y′=(-e-x)sin2x+e-x(cos2x)×2=e-x(2cos2x-sin2x).11.【解析】(1)设曲线y=QUOTEx3+QUOTE与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0,QUOTE+QUOTE),则切线的斜率k=y′QUOTE=QUOTE,∴切线方程为y-(QUOTE+QUOTE)=QUOTE(x-x0),即y=QUOTE·x-QUOTE+QUOTE.∵点P(2,4)在切线上,∴4=2QUOTE-QUOTE+QUOTE,即QUOTE-3QUOTE+4=0,∴QUOTE+QUOTE-4QUOTE+4=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.(2)设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=QUOTE=4,x0=±2,所以切点为(2,4),(-2,-QUOTE),∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+QUOTE=4(x+2),即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.【变式备选】已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.(2)假如曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-QUOTEx+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13,∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)∵切线与直线y=-QUOTEx+3垂直,∴切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3QUOTE+1=4,∴x0=±1,∴QUOTE或QUOTE∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)f′(x)=3ax2+6x-6a,f′(-1)=0,即3a-6-6a=0,∴a=-2.(2)存在.∵直线m恒过定点(0,9),直线m是曲线y=g(x)的切线,设切点为(x0,3QUOTE+6x0+12),∵g′(x0)=6x0+6,∴切线方程为y-(3QUOTE+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点(0,9)代入,得x0=±1,当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,