【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修2双基限时练12

双基限时练(十二)一、选择题1．下列说法中错误的是()A．假如α⊥β，那么α内的全部直线都垂直βB．假如一条直线垂直于一个平面，那么此直线必垂直于这个平面内的全部直线C．假如一个平面通过另一个平面的垂线，那么两个平面相互垂直D．假如α不垂直于β，那么α内肯定不存在垂直于β的直线解析依据两平面垂直的性质定理，可知A不对，故选A.答案A2．若l，m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()A．若α∥β，lα，nβ，则l∥nB．若α⊥β，lα，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析由l⊥α，l∥β，知在β内肯定能找到一条直线l′使得l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，故α⊥β，故D正确．答案D3.在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列推断正确的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED解析∵AB＝BC，E为AC的中点，∴AC⊥BE，同理AC⊥ED，又BE∩ED＝E，∴AC⊥面BED，又AC面ABC，∴面ABC⊥面BED.答案D4．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，有下列三个论断：①面APC⊥面PBD；②AC∥面PDE；③AB⊥面PDC，其中正确论断的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析①不正确，②③正确．答案C5．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B—PA—C的平面角是()A．90° B．60°C．45° D．30°解析∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC.∴∠BAC为二面角B—PA—C的平面角，又∠BAC＝90°，故答案为A.答案A6．在△ABC所在平面α外一点P满足PA＝PB＝PC，则点P在α内的射影是△ABC的()A．垂心 B．内心C．外心 D．重心解析设O为点P在平面α内的射影，∴PO⊥AO，PO⊥OC，PO⊥OB.又PA＝PB＝PC，∴OB＝OC＝OA，∴O为△ABC的外心．答案C二、填空题7．如图，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，则平面PBD与面PAC的关系是________．解析∵PA⊥面ABCD，BD面ABCD，∴BD⊥AP.又ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又AC∩AP＝A，∴BD⊥面PAC，而BD面PBD，∴面PBD⊥面PAC.答案面PBD⊥面PAC8．设直线l和平面α，β且lα，lβ，给出下列三个论断：①l⊥α；②α⊥β；③l∥β，从中任取两个作为条件，其余一个作为结论，在构成的各命题中，写出你认为正确的一个命题________．答案①③⇒②9．AB是圆O的直径，C是圆上异于A，B的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中共有________个直角三角形．解析∵PA⊥面ABC，∴△PAB，△PAC均为直角三角形，又AB为直径，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形，且BC⊥面PAC，∴△PBC为直角三角形．答案4三、解答题10．如图四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，E在棱PB上，求证：面AEC⊥面PBD.证明∵PD⊥面ABCD，AC面ABCD，∴AC⊥PD.又ABCD为正方形，∴AC⊥BD.又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD.又AC面AEC，∴面AEC⊥面PBD.11．如图，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥DB，点F在DC上，求证：平面DBC⊥平面AEF.证明∵DA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴DA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∵DA∩AB＝A，∴BC⊥平面DAB.∵AE平面DAB，∴BC⊥AE.又∵AE⊥DB，DB∩BC＝B，∴AE⊥平面DBC.又∵AE平面AEF，∴平面DBC⊥平面AEF.12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1(1)求证：B1C∥面A1(2)求证：面A1BD⊥面ACC1A1证明(1)设AB1与A1B相交于点E，连接DE，则E为AB1的中点．在△AB1C中，D为AC的中点，E为AB1∴DE∥B1C又∵DE平面A1BD，B1C平面A1∴B1C∥面A1(2)在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC.∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.又∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1又BD平面A1BD，∴面A1BD⊥面ACC1A1思维探究13．如图所示，已知在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)．求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.证明∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC且AB∩B