【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学必修5双基限时练14

双基限时练(十四)1．数列{2n}的前n项和Sn等于()A．2n－1 B．2n－2C．2n＋1－1 D．2n＋1－2解析Sn＝eq\f(22n－1,2－1)＝2n＋1－2.答案D2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A．31 B．33C．35 D．37解析a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32.∴S10＝1＋32＝33.答案B3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是()A．179 B．211C．248 D．275解析∵a5＝a1q4，∴16＝81·q4.又an>0，∴q＝eq\f(2,3).∴S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(81×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5)),1－\f(2,3))＝211.答案B4．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析由an＝a1qn－1，得96＝3qn－1.∴qn－1＝32＝25.取n＝6，q＝2，这时S6＝eq\f(326－1,2－1)＝189.适合题意．答案C5．等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1 B．a3＝1C．a4＝1 D．a5＝1解析由等比数列的性质，知T5＝a1·a2·a3·a4·a5＝1，∴a3＝1.答案B6．已知公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列{eq\f(1,an)}的前n项和为()A.eq\f(qn,Sn) B.eq\f(Sn,qn)C.eq\f(1,Snqn－1) D.eq\f(Sn,a\o\al(2,1)qn－1)解析数列{eq\f(1,an)}仍为等比数列，且公比为eq\f(1,q)，所以前n项和Sn′＝eq\f(\f(1,a1)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)))n)),1－\f(1,q))＝eq\f(a1qn－1,a\o\al(2,1)qn\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,q))))＝eq\f(a1qn－1,a\o\al(2,1)qn－1·q－1)＝eq\f(Sn,a\o\al(2,1)qn－1).答案D7．已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋2)＝n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.解析由log2(Sn＋2)＝n＋1，得Sn＋2＝2n＋1，Sn＝2n＋1－2.当n＝1时，S1＝a1＝22－2＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.当n＝1时也成立，故an＝2n.答案2n8．在等比数列{an}中，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q＝________.解析a4－a3＝2(S3－S2)＝2a3，∴a4＝3a∴q＝eq\f(a4,a3)＝3.答案39．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，有下列三个命题：①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；②若Sn＝an(a为非零常数)，则{an}是等比数列；③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列．其中真命题的序号是________．解析易知①是真命题，由等比数列前n项和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn知②不正确，③正确．答案①③10．已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn.解(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q.解得p＝1，q＝1.(2)由(1)知xn＝2n＋n，∴Sn＝x1＋x2＋…＋xn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋eq\f(nn＋1,2).11．设数列{an}满足关系：an＝eq\f(3,2)an－1＋5(n≥2)，a1＝－eq\f(17,2)，令bn＝an＋10，求数列{bn}的前n项和Sn.解由a1＝－eq\f(17,2)，an＝eq\f(3,2)an－1＋5，bn＝an＋10，知bn＝an＋10＝eq\f(3,2)an－1＋15＝eq\f(3,2)(an－1＋10)＝eq\f(3,2)bn－1.又b1＝a1＋10＝10－eq\f(17,2)＝eq\f(3,2).∴数列{bn}是首项为eq\f(3,2)，公比为eq\f(3,2)的等比数列，故Sn＝eq\f(\f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n)),1－\f(3,2))＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－3.12．某单位从市场上购进一辆新型轿车，购价为36万元，该单位使用轿车时，一年需养路费、保险费、汽油费、年检费等约6万元，同时该车的年折旧率为10%(即这辆车每年削减它的价值的10%，当年折旧的费用也为该年花费在该车上的费用)，试问：使用多少年后，该单位花费在该车上的费用就达36万元，并说明理由．解用an表示该单位第n年花费在轿车上的费用，则有a1＝6＋36×0.1，a2＝6＋(36×0.9)×0.1，a3＝6＋(36×0.92)×0.1，…，类推可得an＝6＋(36×0.9n－1)×0.1.Sn＝a1＋a2＋…＋an＝6n＋36×0.1×[1＋0.9＋0.92＋…＋0.9n－1]＝6n＋3.6×eq\f(1－0.9n,1－0.9)＝