【全程复习方略】2020年数学文(广西用)课时作业：第八章-第二节双曲线

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十九)一、选择题1.(2021·南昌模拟)已知双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE2.(2021·桂林模拟)双曲线QUOTE-QUOTE=1的渐近线方程是()(A)y=±QUOTEx (B)y=±QUOTEx(C)y=±QUOTEx (D)y=±QUOTEx3.(2021·柳州模拟)双曲线QUOTE-QUOTE=1,左、右焦点分别为F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE4.已知双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=QUOTEx,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为()(A)QUOTE-QUOTE=1 (B)QUOTE-QUOTE=1(C)QUOTE-QUOTE=1 (D)QUOTE-QUOTE=15.(2021·贺州模拟)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE6.(2022·浙江高考)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()(A)3 (B)2 (C)QUOTE (D)QUOTE7.已知双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一个顶点与抛物线y2=20x的焦点重合,该双曲线的离心率为QUOTE,则该双曲线的渐近线斜率为()(A)±2 (B)±QUOTE (C)±QUOTE (D)±QUOTE8.(力气挑战题)设F1,F2分别是双曲线QUOTE-y2=1的左、右焦点,P在双曲线上,当△F1PF2的面积为2时,QUOTE·QUOTE的值为()(A)2 (B)3 (C)4 (D)6二、填空题9.(2021·西安模拟)已知双曲线QUOTE-QUOTE=1的右焦点的坐标为(QUOTE,0),则该双曲线的渐近线方程为.10.(2022·重庆高考)设P为直线y=QUOTEx与双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=.11.(力气挑战题)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为.三、解答题12.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为QUOTE,且过点P(4,-QUOTE).(1)求双曲线的方程.(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:QUOTE·QUOTE=0.(3)求△F1MF2的面积.13.P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为QUOTE.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足QUOTE=λQUOTE+QUOTE,求λ的值.14.(2021·绵阳模拟)焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点N(0,QUOTE)为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与N关于直线y=x对称.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A,B两点,另始终线l经过M(-2,0)及AB的中点,求直线l在y轴上的截距b的取值范围.答案解析1.【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得:QUOTE=2,解得:m=3n,又m>0,n>0,∴m>n,即QUOTE>QUOTE,故由椭圆mx2+ny2=1得QUOTE+QUOTE=1.∴所求椭圆的离心率为:e=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【误区警示】本题极易造成误选而失分,根本缘由是由于将椭圆mx2+ny2=1焦点所在位置弄错,从而把a求错造成.2.【解析】选D.由双曲线标准方程QUOTE-QUOTE=1可知,a=2,b=3.焦点落在x轴上,故渐近线方程为y=±QUOTEx,故选D.3.【解析】选B.如图,|MF1|-|MF2|=2a,|MF1|=2|MF2|,故|MF2|=2a,又|F1F2|=QUOTE|MF2|,即2c=2QUOTEa,∴e=QUOTE,故选B.4.【解析】选B.由题意可知QUOTE解得QUOTE所以双曲线的方程为QUOTE-QUOTE=1.5.【解析】选D.由于焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样,所以不妨设双曲线方程为QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0),则双曲线的渐近线的斜率k=±QUOTE,一个焦点坐标为F(c,0),一个虚轴的端点为B(0,b),所以kFB=-QUOTE,又由于直线FB与双曲线的一条渐近线垂直,所以k·kFB=QUOTE(-QUOTE)=-1(k=-QUOTE明显不符合),即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,即e2-e-1=0,解得e=QUOTE(负值舍去).【变式备选】(2021·玉林模拟)设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满足QUOTE·QUOTE=0,则QUOTE的值为()(A)QUOTE (B)1 (C)2 (D)不确定【解析】选C.如图,可设P在第一象限,由于共焦点,所以焦距相等,设为2c.设椭圆中长半轴长、短半轴长分别为a1,b1,双曲线中实半轴长、虚半轴长分别为a2,b2.由于QUOTE·QUOTE=0,所以QUOTE⊥QUOTE,从而有|PF1|2+QUOTE=|F1F2|2=4c2①+②可得4QUOTE+4QUOTE=8c2,整理可得QUOTE+QUOTE=2c2,故QUOTE+QUOTE=2,故QUOTE+QUOTE=2,因QUOTE=QUOTE+QUOTE=2,故选C.6.【解析】选B.设双曲线的方程为QUOTE-QUOTE=1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为QUOTE+QUOTE=1(a2>0,b2>0),由于M,O,N将椭圆长轴四等分,所以a2=2a1,又e1=QUOTE,e2=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=2.7.【解析】选C.由抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),可得双曲线QUOTE-QUOTE=1的一个顶点坐标为(5,0),即得a=5,又由e=QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得c=QUOTE.则b2=c2-a2=QUOTE,即b=QUOTE,由此可得双曲线的渐近线的斜率为k=±QUOTE=±QUOTE.8.【解析】选B.设点P(x0,y0),依题意得,|F1F2|=2QUOTE=4,QUOTE=QUOTE|F1F2|×|y0|=2|y0|=2,∴|y0|=1,又QUOTE-QUOTE=1,∴QUOTE=3(QUOTE+1)=6,∴QUOTE·QUOTE=(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=QUOTE+QUOTE-4=3.【变式备选】(2021·柳州模拟)双曲线QUOTE-QUOTE=1的虚轴端点与一个焦点连线的中点在与此焦点对应的准线上,PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦,O为坐标原点,则QUOTE·QUOTE等于()(A)0 (B)a2 (C)-a2 (D)a2+b2【解析】选B.不妨设虚轴端点A(0,b),据题意知A(0,b)与焦点F(c,0)的中点(QUOTE,QUOTE)在双曲线的准线x=QUOTE上,故QUOTE=QUOTE⇒c2=2a2,故双曲线方程可化为x2-y2=a2,设垂直于实轴的弦PQ上点P(x1,y1),Q(x1,-y1),故QUOTE·QUOTE=QUOTE-QUOTE,又点P(x1,y1)在双曲线上,故QUOTE-QUOTE=a2,即QUOTE·QUOTE=a2.9.【解析】∵右焦点坐标是(QUOTE,0),∴9+a=13,即a=4,∴双曲线方程为QUOTE-QUOTE=1,∴渐近线方程为QUOTE±QUOTE=0,即2x±3y=0.答案:2x±3y=010.【思路点拨】依据题意可求出点P的坐标,然后再依据点P在直线y=QUOTEx上可求出离心率的值.【解析】由题意可知点P的横坐标为-c,代入双曲线的方程可得QUOTE-QUOTE=1,解得y=±QUOTE,由条件可知P(-c,-QUOTE),由于点P在直线y=QUOTEx上,所以-QUOTE=QUOTE×(-c),解得c=3b,所以a=2QUOTEb,e=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE11.【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B的坐标,由点M在圆内部列不等式求解.【解析】设双曲线的方程为QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0),右焦点F坐标为F(c,0),令A(c,QUOTE),B(c,-QUOTE),所以以AB为直径的圆的方程为(x-c)2+y2=QUOTE.又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0<QUOTE,即a+c<QUOTE⇒a2+ac<c2-a2,⇒e2-e-2>0(e=QUOTE),解得:e>2或e<-1.又e>1,∴e>2.答案:(2,+∞)12.【解析】(1)∵e=QUOTE,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵过点P(4,-QUOTE),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=QUOTE,∴c=2QUOTE,∴F1(-2QUOTE,0),F2(2QUOTE,0).∴QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,QUOTE·QUOTE=QUOTE=-QUOTE.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3.故QUOTE·QUOTE=-1,∴MF1⊥MF2.∴QUOTE·QUOTE=0.方法二:∵QUOTE=(-3-2QUOTE,-m),QUOTE=(2QUOTE-3,-m),∴QUOTE·QUOTE=(3+2QUOTE)×(3-2QUOTE)+m2=-3+m2.∵M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0.∴QUOTE·QUOTE=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4QUOTE,△F1MF2的边F1F2的高h=|m|=QUOTE,∴QUOTE=6.13.【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为QUOTE列方程求解.(2)联立方程,设出A,B,QUOTE的坐标,代入QUOTE=λQUOTE+QUOTE求解.【解析】(1)由点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线QUOTE-QUOTE=1上,有QUOTE-QUOTE=1.由题意又有QUOTE·QUOTE=QUOTE,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e=QUOTE=QUOTE.(2)联立方程得QUOTE得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则QUOTE设QUOTE=(x3,y3),QUOTE=λQUOTE+QUOTE,即QUOTE又C为双曲线E上一点,即QUOTE-5QUOTE=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得:λ2(QUOTE-5QUOTE)+(QUOTE-5QUOTE)+2λ(x