《泰勒公式在高等数学中的应用研究》5900字

泰勒公式在高等数学中的应用研究目录TOC\o"1-3"\h\u1. 泰勒公式的基本内容 52. 基本初等函数的泰勒公式 52.1有关定义及定理 52.2函数在x=0处的泰勒公式四种求法 62.2.1换元法 62.2.2四则运算法 72.2.3积分法 72.2.4待定系数法 73. 泰勒公式在高等数学中的应用现状及要点 83.1现状 83.2要点 83.2.1将高等数学的解题过程以及公式运用的过程紧密结合 83.2.2．透彻理解泰勒公式内涵 93.2.3．正确选择泰勒公式及其子公式 94. 高等数学解题中运用泰勒公式的具体实例 104.1利用泰勒公式求解函数极限 104.2求近似值 104.3证明不等式 114.4.讨论某些正项级数的敛散性 125. 从泰勒公式到泰勒级数 125.1利用泰勒公式证明不等式 125.2用泰勒级数解微分方程 136. 结论 14

摘要：随着泰勒公式在高等数学中的广泛应用，现代教育研究领域中泰勒公式的研究也在不断向更深层次的地方拓展。泰勒公式已然成为了高等数学中一个及其重要的知识点，它对研究函数极限起着不可或缺的作用，并且泰勒公式在高等数学的研究中有着非常大的价值，其原因归结于泰勒公式能将一些复杂的函数近似地转化为简单的多项式函数，并且精确度要求较高的运算也可以用高次多项式解决，与此同时，在证明不等式、级数的敛散性判定、求函数的不定积分等方面泰勒公式同样有着广泛的应用。关键词：泰勒公式高等数学应用敛散性不等式近似值初等函数泰勒公式的基本内容内容：泰勒公式是一种表示其周围的取值的公式，该公式使用了函数在某个位置上的信息。此时如果函数的光滑度足够，通过泰勒公式利用这些函数中某点的各阶导数值建立多项式，用它来近似函数在此处领域中的值。结合现实生活来讲，生物、化学、物理中的物质似乎都是可以分解的，它通过分解得到一个统一的基础单元，这一点不正如我们数学中的公式吗？都是在寻求一系列东西的共通之处。泰勒公式的思想也是如此，它使将所有可导的函数用统一的格式表示出来，从而应用于一系列的题目当中去。泰勒公式在高等数学中是很常见的一种，它不仅仅是简化了解题过程，更重要的是提高了效率。泰勒公式：（1.1.1）其中o为余项。可以用洛比达法则来推导带有皮安诺余项的泰勒公式。带拉格朗日的泰勒公式即泰勒中值定理如下：若是函数在含有x的开区间（a，b）有n+1阶之前的导数，则当函数在本区间内时，可以展开为一个有关(x−x0)(1.1.2)此处的余项就被叫做拉格朗日型的余项。泰勒公式中两个余项的根本思想是如何利用多项式逼似函数。基本初等函数的泰勒公式把函数视为泰勒公式间接扩展的方法。基本初等函数的泰勒公式和4种常用方法，通过某种间接的方法，得出泰勒公式是本处讨论的要点，它使函数展开为泰勒公式的工作量大大减少。2.1有关定义及定理定义1对于在x=0处n+1阶可导的函数f(x)，称以下（2.1.1）为f(x)在x=0处的泰勒公式，其中的Rn(0，x)exln1+x(1+x)sinxcosx=1−x2证明：仅讨论在皮安诺余项时，与拉格朗日余项与此相似，由于f(x)在x=0的某一个领域内具有n+2阶导数存在，从定义1可以看出fx由定义1，得到f'f'2.2函数在x=0处的泰勒公式四种求法2.2.1换元法如果所求函数是与上面的初等函数类似的函数，则把它看作是复合函数，此复合函数由一个函数与变量的多项式组成，然后就可以使用换元法直接把泰勒公式给求出来，再之后把变量的多项式当作成一个整体求解即可例1求解：2.2.2四则运算法想要用四则运算得出泰勒公式需要满足的前提就是：要求的函数是上面所列出的五种初等函数经过有限次数的四则计算所构成的。得出需求解只需要把构成函数的泰勒公式给利用起来运用四则运算即可。例2求在x=0处的五阶泰勒公式解：此时四阶运算法在此处求解发挥重要作用，由上述公式（2.1.2）、（2.1.5）和过去所学的有关乘法的运算法则，就可以轻松得到2.2.3积分法如果所要求的函数的导数是上面给出的五种初等函数，要求它的泰勒公式就可以对其导涵数的泰勒公式进行积分，通过这一步骤泰勒公式就能得到了例3求fx解：使用积分求解由于1而arctanx=0x2.2.4待定系数法某些函数的各阶导数想要计算出来是非常困难的，此时用待定系数法来求它的泰勒公式是非常好的一个选择。我们可以先假设即假设出函数的泰勒公式，再推导，推导过程是先理清它与构成函数的运算关系，然后再把泰勒公式与构成函数的泰勒公式关系推导出来，此时就可以求解出相应的系数了。例4求fx解：使用待定系数法求解，令f由于sinx=x−16x3+1120x5+∘(x5泰勒公式在高等数学中的应用现状及要点3.1现状在高等数学研究中泰勒公式发挥的作用不可估量。高等数学中的各种解题公式极大一部分利用了泰勒公式简化解题步骤或提高解题效率，泰勒公式是最常用的一种，也是最基本的一种。然而，在做数学题时，有的同学没有正确地选择公式，也没有正确地使用公式，从而造成了大量的失误，造成了很多问题。其次，我们在学习过程中使用泰勒公式，很多时候并不是真正的泰勒公式的含义搞懂了，更多时候是对于泰勒公式的使用有一个非常表面的认识，从而进行简单的模仿套用，这个简单的模仿过程实际上忽视了数学解题中每个不同题目的特殊性，这样达到的效果不是高等数学学习中想到达到的效果，往往也不能达到正确解答数学题目的效果。由此，大学生想要更有意义的学习高等数学，需要理解其深层原理，并且通过自己的理解进行解答题目，通过这样的自主学习才能达到真正的融会贯通，才能更好的掌握和利用泰勒公式来解答复杂的数学题目，才不会出现只会简单的模仿解题的糟糕状态，才能提升自己在日常生活中的学习能力，此外还会一步步提高学生靠自己完成数学解题操作的实践能力。这样的结果才是高等数学教学的目的。3.2要点3.2.1将高等数学的解题过程以及公式运用的过程紧密结合高等数学的学习包括了相对繁琐复杂的考题和解题的过程，充分显示了学生在解题过程中的自主性。目前看来，很多学生虽然能够将泰勒公式进行精准记忆，但是仍然没有把灵活运用泰勒公式作为自己的学习目标，而只是在解题过程中进行一味的模仿练习，这必然会将自己学习高等数学的审题过程和数学解题过程的难度在无形中增加，同时这个情况将会带来负能量，负能量一旦堆积起来，学生们将会产生厌学的情绪，这种情况将会反作用于学生们学习的积极性，因此，对于泰勒公式的学习，学生们不仅是需要能够准确表达及理解其内在含义，更应当不断尝试在解题过程中灵活的运用泰勒公式，将解题过程以及公式选择的过程紧密的结合起来，达到融会贯通、相辅相成。泰勒公式在实际中的应用比较广泛，但在一般情况下，当涉及到函数极限的数学问题时，很难理解该问题。如果一个学生在做一个错误的判断时，不仅不能准确地理解泰勒公式的应用，而且很有可能会把泰勒公式和类似的数学方程弄得一头雾水。因此，在初学者学习泰勒公式的时候，必须严格地将泰勒公式应用到每一道题中去。3.2.2．透彻理解泰勒公式内涵泰勒公式分为两大部分，这两大部分都是独立的，因此，想要理解泰勒公式，必须要学会幂级数、导数和函数的基本知识。当我们充分地学习了解了上述的数学相关地基础知识，才能对泰勒公式产生更加深入的理解，继而可以正确地利用泰勒公式来解决相关问题．在关于高等数学科目的日常教学中，学生需要在学科老师的正确引导下，首先了解并明白泰勒公式及其基本原理，之后老师可以让同学们使用之前所学习了解过的其他相关数学定理内容来掌握泰勒公式，这样学生就能简单明了清晰地将泰勒公式掌握。在学习子公式时，一定要使同学们明白严格的分子式和它的母式，并记住禁止上述两个公式的约束条件。这是因为副公式和主公式的相似之处，从而使公式混淆的可能性。为了更加严谨地区分两个不同的数学公式，学生要了解公式成立的先决条件。如果条件是已知的，则要综合考虑各种公式的不同之处，严防出现类似的错误。3.2.3．正确选择泰勒公式及其子公式正确地使用泰勒公式，是解决问题的重要前提，所以，泰勒公式的使用，可以帮助学生更好地挖掘出问题的潜在问题，从而大大降低问题的难度。泰勒公式的学习和使用，表面上看起来很难，但只要学生能够完全掌握泰勒公式的基本原理，那么就可以将泰勒公式应用到日常的解题中去，从而提高解题的质量，让学生们在学习泰勒公式的时候，必须要将泰勒公式和其它的数学公式区分开来，而不是单纯的泰勒公式。事实上，想要让一个学生掌握正确的公式和使用公式，就必须要不断地练习函数题。在高数习题的日常解题训练中，必须引导学生对题干进行全面分析，并充分挖掘出隐含的问题。如果能把数学题的潜台词深度挖掘出来，就能大大简化解题思路，避免出现将数学题复杂化的错误。作为一名工科学生，我们应该在解决问题时运用泰勒公式，同时提高灵活性也是我们的任务之一。高等数学解题中运用泰勒公式的具体实例4.1利用泰勒公式求解函数极限高等数学中求解不定式极限是极限运算中的典型问题，用等价无穷小量替换求极限是一种有效的方法。求无穷型极限的方法有多种，洛比达法则就是其中一个被经常使用的方法，但是与泰勒公式相比还是略输一筹，使用泰勒公式会使问题得到很大程度上的简化，使我们的解题效率大大提升。泰勒公式求极限本质就是先用泰勒公式将函数给展开，再然后用泰勒公式的分式将其简化，最终利用无穷小阶的估计来求得极限的一个过程。例二求limx→0解：由于分母，我们只需将分子中分别用带有皮亚诺余项的四阶麦克劳林公式表示，即泰勒公式可以简化此类函数的极限，而洛必达定律则更为复杂。4.2求近似值近似计算是工科学生必须掌握的一项技能，甚至有时对精确度有较高的要求，利用泰勒公式就能较好的将这类问题解决。有一些方法在微分中有所使用，它利用与微积分有关的运用方法，就可以将函数的近似公式导出来：fx例二求ex解：当n=6即可。对于有连续微分的函数，在计算精度的时候，此时采用泰勒公式是合理的。4.3证明不等式在大学阶段的学习中我们可以学到很多种证明不等式的方法，泰勒公式证明法是比较重要的一种。含有一阶或多阶不等式需要我们证明时，我们需要根据题目所给条件进行合理的选择解题步骤；而当不等式的最高阶导数时已知的，我们直接选择泰勒公式，写出其泰勒展开式，然后作出泰勒公式的辅助公式，但此时不是随意运用的，需要满足一个条件即其具有二阶或二阶以上连续导数，并处理泰勒余项，此过程应恰当。总的来说，我们使用泰勒公式证明不等式时的步骤是：化简→构造→变换（不等式变为不等式组）→展开求解例三证明证明：从上述证明可以得知，泰勒公式在证明不等式时是非常重要的。4.4.讨论某些正项级数的敛散性级数敛散性的判断是学生们学习高等数学时认为比较难的一个知识点。解决这类题目常用比较判别法，但是这种方法解答问题的效率其实并不高，如果此时换一种方式，比如使用泰勒公式，就会使事情变得容易许多。泰勒公式一般是运用在通项表达式较为繁杂时，它可进行复杂的东西简单化或者将其统一。例四讨论正项级数n=1∞解从泰勒公式到泰勒级数泰勒公式是高等数学中导数的一种，理论和数值计算都有运用它，泰勒级数是其中的一个特殊例子，虽然泰勒级数与泰勒公式在实际使用过程中有不少相似之处，但是它们的引入还是有比较大的区别。掌握泰勒公式和泰勒级数之间的关系，把一元函数泰勒公式扩展到多元函数的泰勒公式，使其具有更加辽阔的应用前景，内容也更加生动具体化、系统化，这可以使泰勒公式和泰勒级数在高等数学中往更加美好的方面发展，方便我们今后更加方便的学习，提高学习和解题的效率。5.1利用泰勒公式证明不等式例1若f‘’(x0)当f‘’x0<0时，f证：例2证明：5.2用泰勒级数解微分方程对于一阶微分方程（5.2.1）例3某种关系在泰勒公式和泰勒级数之间存在着，当函数可以展成泰勒级数时，在收敛域内，可以说成泰勒级数和泰勒公式其实是一样的，所以说上面的泰勒公式和泰勒级数是有共性存在的。结论学生在大学期间对近似值的计算、敛散性的判断、不等式的证明等知识的学习是必不可少的，如果能同时将泰勒公式运行其中，同学们的学习和老师的教学都将达到事半功倍的效果。本文从多个方面，对泰勒公式的一些应用进行了讨论。泰勒公式进行近似计算是日常生活中最常用的用法，它不仅计算简单同时还保证了计算结果具有极高的精确度，这使得学生们的日常学习效率提高，但如果我们要在实际当中进行运用，还是需要做好区分，因为泰勒公式并不能运用于所有的近似计算或估值。泰勒公式使用的限制条件有：函数具备n阶连续可微函数，精确度与它的阶数有着密不可分的关系，阶数与精确度是成正比的，所以我们不能盲目使用，根据实际情况使用才是正确的。因此我们不仅要掌握泰勒公式的使用方法，更要将其原理及使用条件熟知，否则这不仅不能帮助我们提高学习效率，更会使我们在学习中出错。另外，泰勒公式作为一种重要的高等数学理论，对于有关数学的研究具有十分重要的作用。泰勒公式的学习，必须要有一个全面的认识，为了掌握它的基本原理已经概念，同时要对它的应用进行更为细致的分析，将其中的原理及深层内涵理解到位，这样才有利于我们研究工作顺利的开展，更好的为数学理论研究贡献一份属于自己的力量。

参考文献田雨昊.《高等数学