中考数学总复习《整式》专项检测卷含答案

第第页中考数学总复习《整式》专项检测卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．解答题（共30小题）1．通过构造一个图形，利用两种方法计算该图形的面积，从而得到一个等式，这种方法习惯称为“算两次”，在数学学习中有着广泛的应用．公元三世纪，三国时代的赵爽创制了“勾股圆方图”，验证了著名的勾股定理．（1）如图1，边长为a的大正方形ABCD中有一个边长为b的小正方形AEFG．请你用两种不同方法求阴影部分的面积；（2）如图2，现有若干张A型、B型、C型三种不同形状的纸片，请你利用纸片拼出一个几何图形直观地解释（a+b）2＝a2+2ab+b2；（3）在（1）的条件下，若a＝4cm，b＝2cm，一动点M以每秒1cm的速度从点E出发，沿着E→B→C→D→G方向运动．①当点M在E→B上运动时，请表示出△EFM的面积y与t的关系式：；②是否存在t使得△EFM的面积为1cm2，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2．（1）已知a2+b2＝13，a﹣b＝1，求（a+b）2的值；（2）设b＝ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．3．定义新运算a⊕b＝a（a﹣b）．例如3⊕2＝3×（3﹣2）＝3，﹣1⊕4＝﹣1×（﹣1﹣4）＝5．（1）请直接写出3⊕a＝b的所有正整数解．（2）已知2⊕a＝5b﹣2m，3⊕b＝5a+m，说明：24a+22b的值与m无关；（3）记M＝a⊕b，N＝b⊕a，设b＝2019ka（a≠0），是否存在实数k，使得2019M﹣2017N+2ab能化简成2b2？若能，求出满足条件的k的值；若不能，请说明理由．4．国庆节即将来临，张华高兴地看着某年10月的日历，发现其中有很有趣的问题，他用笔在上面画如图所示的十字框，若设任意一个十字框里的五个数为a、b、c、d、k，如图：试回答下列问题：日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）此日历中能画出个十字框；（2）若a+b+c+d＝76，求k的值；（3）是否存在k的值，使得a+b+c+d＝100，请说明理由．5．如图，已知M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP，PB为边作正方形APCD和正方形PBEF．设AB＝2a，MP＝b，正方形APCD和正方形PBEF的面积之差为S．（1）直接写出AP＝，BP＝（用含有a，b的代数式表示）（2）用含a，b的代数式表示S（结果要化简），并求出当时S的值．（3）若R＝2b2+4a（a﹣b），设b＝ka（k≠0），是否存在有理数k，使得R+S能化简为12a2？若能，请求出满足条件的k值；若不能，请说明理由．6．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是4a（cm），宽3a（cm），这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．（1）请用a的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积．（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为（cm2），则油漆这个铁盒需要多少钱（用a的代数式表示）？（3）若铁盒的全面积是底面积的n倍，求此时a的值（用含n的代数式表示）．是否存在一个整数a，使得铁盒的全面积是底面积的整数倍？若存在，请求出这个a，若不存在，请说明理由．7．已知二项式﹣x3y2﹣2中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，且a，b在数轴上对应的点分别为A，B，点C为数轴上任意一点，对应的数为c．（1）a＝，b＝，并在数轴上标出A，B；（2）当点C为线段AB的三等分点时，求c的值；（3）在（2）的条件下，若点C离点B较近时，点P、Q、M分别从点A、B、C同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数k，使kQM﹣3PQ为定值，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．8．甲、乙两个长方形，它们的边长如图1所示，面积分别S1，S2（m为正整数）．（1）写出S1与S2的大小关系：S1S2．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若|S1﹣S2|≤2025，求满足这个不等式的m的最大值；（3）设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为S3，S4的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图2所示．问：是否存在m，使得2S3＝S4，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．9．如图，有一电脑程序：每按一次按键，A区就会自动加上a2+2a，同时B区就会自动乘2，并在各自区域显示化简后的结果．已知A，B两区的初始显示值分别是﹣6和1﹣a．（1）若从初始状态按1次按键后，A区与B区代数式的和为0，求a的值；（2）是否存在a的值，使得从初始状态按2次按键后，A，B两区显示的结果同时为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．10．我们规定：对于数对（a，b），如果满足a+b＝ab，那么就称数对（a，b）是“和积等数对”；如果满足a﹣b＝ab，那么就称数对（a，b）是“差积等数对”，例如：+3＝×3，2﹣＝2×．所以数对（，3）为“和积等数对”，数对（2，）为“差积等数对”．（1）下列数对中，“和积等数对”的是；“差积等数对”的是．（填序号）①（﹣，﹣2）②（，﹣2）③（﹣，2）（2）若数对（，﹣2）是“差积等数对”，求x的值．（3）是否存在非零的有理数m，n，使数对（4m，n）是“和积等数对”，同时数对（4n，m）也是“差积等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．（提示：）11．如果一个自然数可以表示为三个连续奇数的和，那么我们就称这个数为“锦鲤数”，如：9＝1+3+5，所以9是“锦鲤数”．（1）请问27是不是“锦鲤数”，并说明理由；（2）试说明任意一个“锦锂数”都是3倍数；（3）规定：a⊗b＝a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b+1）（其中b＞a，且a，b为自然数），是否存在一个“锦鲤数”a，使得a⊗50＝3666．若存在，则求出a，并把a表示成3个连续的奇数和的形式，若不存在，请说明理由．12．假如我们规定符号m⊗n表示两个数中较小的一个，m*n表示两个数中较大的一个，例如：2⊗3＝2，4⊗3＝3，2*4＝4，5*3＝5．（1）已知（3x2+5x+2）*（4x2+5x+3）＝2，求5﹣8x2﹣10x的值．（2）已知代数式[（m2﹣m）x2+mx+3]⊗[（m﹣1）x2+mx+2]值为1，试说明当m是常数时，是否存在实数x使得代数式2mx2+2mx与代数式2x2﹣2的值相等，如存在，求出x的值（用含m的式子表示），如不存在请说明理由．（3），且平面直角坐标系内的点（m﹣2，y1），（m+2，y2）满足（k为常数），求m的取值范围．13．设A＝x2+xy+2y﹣2，B＝2x2﹣2xy+x﹣1．（1）将2A﹣B用含x，y的代数式表示，并化简；（2）若2A﹣B的值与x的取值无关，求y的值．（3）是否存在有理数x，使得2A﹣B的值与y的取值无关，且2A﹣B＞0？若存在，求出这样的x；若不存在，请说明理由．14．（1）已知m，n是系数，且mx2﹣2xy+y与3x2+2nxy+3y的差中不含二次项，求m2+2mn+n2的值．（2）设b＝2am，是否存在实数m使得（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）能化简为a2，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．15．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，比如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，则说明4，12，20都是“智慧数”．（1）36是“智慧数”吗？为什么？（2）试说明所有的“智慧数”都不可能是8的倍数；（3）是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“智慧数”？为什么？16．若a，b互为相反数，b，c互为倒数，且m的立方等于它本身．（Ⅰ）若a＝2，求ca的值；（Ⅱ）若m≠0，试讨论：当x为有理数时，|x+m|+|x﹣m|是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若a＞1，且m＜0，S＝|2a﹣3b|﹣2|b﹣m|﹣|b+|，求6（2a﹣s）+（s﹣2a）的值．17．已知多项式x3﹣3xy2﹣4的常数是a，次数是b．（1）则a＝，b＝；并将这两数在数轴上所对应的点A、B表示出来；（2）数轴上在B点右边有一点C到A、B两点的距离之和为11，求点C在数轴上所对应的数；（3）在数轴上是否存在点P，使P到A、B、C的距离和等于12？若存在，求点P对应的数；若不存在，请说明理由．（4）在数轴上是否存在点P，使P到A、B、C的距离和最小？若存在，求该最小值，并求此时P点对应的数；若不存在，请说明理由．18．如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数．例如4＝22﹣02，12＝42﹣22，4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用2k+2和2k表示（k是非负整数）．（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？（2）小华说：“不是所有的4倍数都是奇异数．”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的4的倍数．（3）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数．①若一个美丽数一定是m的倍数，m＝；②m的倍数一定（填是或不是）美丽数；③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由．19．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．如．（1）计算：；（2）若，求4a﹣6b+1的值；（3）是否存在实数x，使＝﹣3？若存在，求出x，若不存在，说明理由．20．已知两个关于m，n的多项式A＝m2﹣3mn，B＝9﹣2m2﹣amn（a为常数）．（1）化简A+B；（2）当m＝﹣3，n＝0时，求A+B的值；（3）已知A﹣B＝3m2+2mn﹣9，求a的值；（4）若k是一有理数，且kA+2B的结果中不含关于m2的项，求k的值；（5）是否存在一个有理数a，使得2A+B的值恒定？若存在，求出这个数，若不存在，请说明理由．21．三个自然数x、y、z组成一个有序数组（x，y，z），如果满足x﹣y＝y﹣z，那么我们称数组（x，y，z）为“蹦蹦数组”．例如：数组（2，5，8）中2﹣5＝5﹣8，故（2，5，8）是“蹦蹦数组”；数组（4，6，12）中4﹣6≠6﹣12，故（4，6，12）不是“蹦蹦数组”．（1）分别判断数组（437，307，177）和（601，473，346）是否为“蹦蹦数组”；（2）s和t均是三位数的自然数，其中s的十位数字是3，个位数字是2，t的百位数字是2，十位数字是5，且s﹣t＝274．是否存在一个整数b，使得数组（s，b，t）为“蹦蹦数组”．若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由；（3）有一个三位数的自然数，百位数字是1，十位数字是p，个位数字是q，若数组（1，p，q）为“蹦蹦数组”，且该三位数是7的倍数，求这个三位数．22．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是4a（cm），宽是3a（cm），这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．（1）请用a的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积；（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为（cm2），则油漆这个铁盒需要多少钱（用a的代数式表示）？（3）铁盒的底面积是全面积的几分之几（用a的代数式表示）？若铁盒的底面积是全面积的，求a的值；（4）是否存在一个正整数a，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个a，若不存在，请说明理由．23．如果一个自然数可以表示为三个连续奇数的和，那么我们就称这个数为“锦鲤数”，如：9＝1+3+5，所有9是“锦鲤数”．（1）请问21和35是不是“锦鲤数”，并说明理由；（2）规定：a☺b＝﹣a﹣（a+1）﹣（a+2）﹣…﹣（a+b+1）（其中b＞a，且a，b为自然数），是否存在一个“锦鲤数”a，使得a☺50＝﹣3666．若存在，则求出a，并把a表示成3个连续的奇数和的形式，若不存在，请说明理由．24．（1）已知a2+b2＝3，a﹣b＝1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．（2）设b＝ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．25．设a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，…，an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，（n为正整数）（1）试说明an是8的倍数；（2）若△ABC的三条边长分别为ak、ak+1、ak+2（k为正整数）①求k的取值范围．②是否存在这样的k，使得△ABC的周长为一个完全平方数？若存在，试举出一例，若不存在，说明理由．26．设b＝ma是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为2a2，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．27．解答：（1）已知x﹣2y＝2016，求[（3x+2y）（3x﹣2y）﹣（x+2y）（5x﹣2y）]÷8x；（2）设y＝kx，是否存在实数k，使得对于任意x，y，（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）化简的结果为0？若存在，请求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．28．对于数轴上的点A，给出如下定义：点A在数轴上移动，沿负方向移动r个单位长度（r是正数）后所在位置点表示的数是x，沿正方向移动r个单位长度（r是正数）后所在位置点表示的数是y，x与y这两个数叫做“点A的r对称数”，记作D（A，r）＝{x，y}，其中x＜y．例如：原点O表示0，原点O的1对称数是D（0，1）＝{﹣1，+1}．（1）若点A表示﹣2，r＝3，请直接写出点A的3对称数．（2）若D（A，r）＝{﹣1，9}，求点A表示的数和r的值．（3）若点A表示﹣3，D（A，r）＝{﹣5，y}，求y的值．（4）已知D（A，3）＝{x，y}，D（B，2）＝{m，n}，若点A、点B从原点同时同向出发，且点A的速度是点B速度的2倍，是否存在点A，使数轴上表示y的点与表示n的点之间的距离是数轴上表示x的点与表示m的点之间的距离的2倍，存在，请求出点A表示的数，不存在，请说明理由．29．是否存在一个三位数（a，b，c取从1到9的自然数），使得为完全平方数？30．（1）设b＝ma是否存在实数m，使得（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）能化简为﹣5a2，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．（2）若m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求m5+n5的值．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．通过构造一个图形，利用两种方法计算该图形的面积，从而得到一个等式，这种方法习惯称为“算两次”，在数学学习中有着广泛的应用．公元三世纪，三国时代的赵爽创制了“勾股圆方图”，验证了著名的勾股定理．（1）如图1，边长为a的大正方形ABCD中有一个边长为b的小正方形AEFG．请你用两种不同方法求阴影部分的面积；（2）如图2，现有若干张A型、B型、C型三种不同形状的纸片，请你利用纸片拼出一个几何图形直观地解释（a+b）2＝a2+2ab+b2；（3）在（1）的条件下，若a＝4cm，b＝2cm，一动点M以每秒1cm的速度从点E出发，沿着E→B→C→D→G方向运动．①当点M在E→B上运动时，请表示出△EFM的面积y与t的关系式：y＝t；②是否存在t使得△EFM的面积为1cm2，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面即可表示阴影部分的面积；也可用两个矩形的面积之和表示阴影部分的面积；（2）如图，大正方形的边长为（a+b），则面积为（a+b）2，大正方形的面积用两个正方形的面积加上两个矩形的面积来表示；（3）①当点M在E→B上运动时，则EM＝t，利用三角形面积公式即可求解；②依次分析当点M在E→B，B→C，C→D，D→G上运动时，利用三角形面积公式得到S△EFM与t之间的关系，再根据S△EFM＝1分别求出t值即可求解．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：a2﹣b2，阴影部分的面积还可以表示为：a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；（2）如图，大正方形的面积为：（a+b）2，大正方形的面积还可以表示为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；（3）①当点M在E→B上运动时，则EM＝t，∴y＝＝t；故答案为：y＝t；②当点M在E→B上运动时，S△EFM＝t＝1；当点M在B→C上运动时，S△EFM＝＝＝2≠1；当点M在C→D上运动时，延长EF交CD于点H，如图，当点M在点H的右边时，则HM＝8﹣t，S△EFM＝＝，解得：t＝7；当点M在点H的右左边时，则HM＝t﹣8，S△EFM＝＝＝1，解得：t＝9；当点M在D→G上运动时，S△EFM＝＝＝2≠1；综上，存在t使得△EFM的面积为1cm2，t的值为1秒或7秒或9秒．【点评】本题主要考查平方差公式、完全平方式的几何背景、一元一次方程的应用，根据点M的运动情况分别用t表示出△EFM的面积是解题关键．2．（1）已知a2+b2＝13，a﹣b＝1，求（a+b）2的值；（2）设b＝ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．【分析】（1）把a﹣b＝1两边平方，利用完全平方公式化简，再将已知等式代入求出ab的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值；（2）原式去括号合并后，得到a与b的关系式，即可确定出m的值．【解答】解：（1）∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝1，又∵a2+b2＝13，∴﹣2ab＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）＝1﹣13＝﹣12，∴ab＝6，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25；（2）原式＝4a2﹣4ab+b2﹣（a2﹣4b2）+4a2+4ab＝4a2﹣4ab+b2﹣a2+4b2+4a2+4ab＝7a2+5b2＝12a2，则b＝±a，即m＝±1．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．定义新运算a⊕b＝a（a﹣b）．例如3⊕2＝3×（3﹣2）＝3，﹣1⊕4＝﹣1×（﹣1﹣4）＝5．（1）请直接写出3⊕a＝b的所有正整数解．（2）已知2⊕a＝5b﹣2m，3⊕b＝5a+m，说明：24a+22b的值与m无关；（3）记M＝a⊕b，N＝b⊕a，设b＝2019ka（a≠0），是否存在实数k，使得2019M﹣2017N+2ab能化简成2b2？若能，求出满足条件的k的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）利用题中新定义化简已知等式，得到b＝9﹣3a，进而确定正整数解即可；（2）利用题中新定义化简已知等式，进而求出24a+22b＝44；（3）利用题中新定义化简已知等式，得出M＝a（a﹣b），N＝b（b﹣a），代入2019M﹣2017N+2ab＝2b2，进而求解即可．【解答】解：（1）根据题意得：3（3﹣a）＝b，即b＝9﹣3a，则方程的正整数解为，；（2）已知等式整理得：，整理得：，①+②×2得：10a+6b+5b+2a＝18﹣2m+4+2m，整理得：12a+11b＝22，两边乘2，得24a+22b＝44，所以24a+22b的值与m无关；（3）根据题意得：M＝a（a﹣b），N＝b（b﹣a），设b＝2019ka（a≠0），假设存在实数k，使得2019M﹣2017N+2ab能化简成2b2，那么2019M﹣2017N+2ab＝2b2，即2019a（a﹣b）﹣2017b（b﹣a）+2ab＝2b2，整理，得a2＝b2，∵b＝2019ka（a≠0），∴a2＝（2019ka）2，∴（2019k）2＝1，∴k＝±．故满足条件的k的值为±．【点评】此题考查了整式的加减，有理数的混合运算以及解方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．国庆节即将来临，张华高兴地看着某年10月的日历，发现其中有很有趣的问题，他用笔在上面画如图所示的十字框，若设任意一个十字框里的五个数为a、b、c、d、k，如图：试回答下列问题：日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）此日历中能画出13个十字框；（2）若a+b+c+d＝76，求k的值；（3）是否存在k的值，使得a+b+c+d＝100，请说明理由．【分析】（1）结合日历表，观察十字框顶端a为多少时，可以画出十字框；（2）日历中同一列中相邻两个数之间相差7，同一行中相邻两个数之间相差1，则a＝k﹣7，b＝k﹣1，d＝k+1，c＝k+7，a+b+c+d＝4k，得到4k＝76，计算即可；（3）由（2）可知a+b+c+d＝4k，代入a+b+c+d＝100中，计算出k的值，结合日历表，若能画出十字框则存在k值，反之则不存在k值．【解答】解：（1）由题意可得：十字框顶端分别在：1，2，3，4，5，8，9，10，11，12，15，16，17一共有13个位置，则此日历中能画出13个十字框，故答案为：13．（2）∵a＝k﹣7，b＝k﹣1，d＝k+1，c＝k+7，a+b+c+d＝76，∴a+b+c+d＝k﹣7+k﹣1+k+1+k+7＝4k＝76，∴k＝19．（3）不存在．由（2）可知a+b+c+d＝k﹣7+k﹣1+k+1+k+7＝4k，则a+b+c+d＝4k＝100，∴k＝25．当k＝25时，不能画十字框，∴不存在．【点评】本题考查了整式的加减运算，关键是熟练掌握日历表格中的数据关系．5．如图，已知M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP，PB为边作正方形APCD和正方形PBEF．设AB＝2a，MP＝b，正方形APCD和正方形PBEF的面积之差为S．（1）直接写出AP＝a+b，BP＝a﹣b（用含有a，b的代数式表示）（2）用含a，b的代数式表示S（结果要化简），并求出当时S的值．（3）若R＝2b2+4a（a﹣b），设b＝ka（k≠0），是否存在有理数k，使得R+S能化简为12a2？若能，请求出满足条件的k值；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据中点坐标表示BM＝a，再根据和差的关系求出AP＝a+b，BP＝a﹣b；（2）根据S＝大正方形面积﹣小正方形面积列式计算，化为最简的形式后，再把代入；（3）先求R+S的结果，再根据R+S能化简为12a2，列出方程，计算即可．【解答】解：（1）∵M是线段AB的中点，AB＝2a，MP＝b，∴BM＝a，∵MP＝b，∴AP＝a+b，BP＝a﹣b，故答案为：a+b，a﹣b；（2）S＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab，当时，S＝4×10×＝20；（3）答：能，∵R＝2b2+4a（a﹣b），设b＝ka，∴R+S＝2b2+4a（a﹣b）+4ab＝2b2+4a2﹣4ab+4ab＝2b2+4a2，∵b＝ka，∴2b2+4a2＝2k2a2+4a2＝（2k2+4）a2＝12a2，∴2k2+4＝12，解得：k＝±2，∴存在有理数k，使得R+S能化简为12a2，k的值为±2．【点评】本题主要考查了单项式与多项式相乘、整式加减，掌握单项式与多项式相乘的法则应用和整式加减的步骤，根据题意列出算式或方程是解题关键．6．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是4a（cm），宽3a（cm），这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．（1）请用a的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积．（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为（cm2），则油漆这个铁盒需要多少钱（用a的代数式表示）？（3）若铁盒的全面积是底面积的n倍，求此时a的值（用含n的代数式表示）．是否存在一个整数a，使得铁盒的全面积是底面积的整数倍？若存在，请求出这个a，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可；（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；（3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．【解答】解：（1）原铁皮的面积是（4a+60）（3a+60）＝12a2+420a+3600（cm2）；（2）油漆这个铁盒的表面积是：12a2+2×30×4a+2×30×3a＝12a2+420a（cm2），则油漆这个铁盒需要的钱数是：（12a2+420a）÷＝（12a2+420a）×＝600a+21000（元）；（3）铁盒的全面积是4a×3a+4a×30×2+3a×30×2＝12a2+420a（cm2），底面积是12a2cm2，假设存在正整数n，使12a2+420a＝n（12a2），则（n﹣1）a＝35，则a＝35，n＝2或a＝7，n＝6或a＝5，n＝8或a＝1，n＝36．所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a＝35或7或5或1．【点评】此题考查整式的混合运算，掌握长方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键．7．已知二项式﹣x3y2﹣2中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，且a，b在数轴上对应的点分别为A，B，点C为数轴上任意一点，对应的数为c．（1）a＝﹣1，b＝5，并在数轴上标出A，B；（2）当点C为线段AB的三等分点时，求c的值；（3）在（2）的条件下，若点C离点B较近时，点P、Q、M分别从点A、B、C同时向左运动，其速度分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数k，使kQM﹣3PQ为定值，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据多项式的系数和次数的定义得出即可；（2）由（1）得出线段AB的长度，再根据三等分点的定义得出c的值；（3）根据已知条件得出线段QM、PQ的长度，设运动时间为x秒，代入kQM﹣3PQ，分类讨论得出代数式中含有x的项，因为kQM﹣3PQ为定值，所以含有x项的系数为0，得出k的值即可．【解答】8解：（1）二项式﹣x3y2﹣2中，系数是﹣1，次数是5，故答案为：﹣1，5．（2）∵a＝﹣1，b＝5，∴AB＝6，∵当点C为线段AB的三等分点，∴C点表示的数为1或3．∴c的值为1或3．（3）存在，∵在（2）的条件下，若点C离点B较近，∴c＝3，设运动时间为x秒，根据题意得，PQ＝5﹣x﹣（﹣1﹣2x）＝x+6，QM＝5﹣x﹣（3﹣4x）|＝3x+2，kQM﹣3PQ＝k（3x+2）﹣3（x+6）＝2k+3kx﹣3x﹣18＝（3k﹣3）x+2k﹣18，∵kQM﹣3PQ为定值，∴3k﹣3＝0，∴k＝1．【点评】本题考查了数轴，多项式的系数和次数，解题关键是能够利用数轴表示出线段的长度．8．甲、乙两个长方形，它们的边长如图1所示，面积分别S1，S2（m为正整数）．（1）写出S1与S2的大小关系：S1＞S2．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若|S1﹣S2|≤2025，求满足这个不等式的m的最大值；（3）设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为S3，S4的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图2所示．问：是否存在m，使得2S3＝S4，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）长方形的面积＝长×宽，分别表示出两个长方形的面积，再比较大小即可；（2）根据（1），可以得出S1＞S2，所以|S1﹣S2|＝S1﹣S2＝2m﹣1，所以得到关于m的不等式，求出m的最大值即可；（3）S4的长是（2m﹣9），宽是（m+2），求出面积是（2m﹣9）×（m+2）；S3的长是（m+4）×3+2m﹣9﹣（m+1）×4，宽是（m+7），求出面积是[（m+4）×3+2m﹣9﹣（m+1）×4]×（m+7），化简出结果，因为2S3＝S4，求出m，再根据m是正整数判断出m是否存在即可．【解答】解：（1）S1＝（m+7）（m+1）＝m2+m+7m+7＝m2+8m+7；S2＝（m+4）（m+2）＝m2+2m+4m+8＝m2+6m+8；，因为m为正整数，所以2m﹣1＞0，所以S1＞S2．故答案为：＞．（2）因为S1﹣S2＝2m﹣1，|S1﹣S2|≤2025，即|2m﹣1|≤2025，2m﹣1≤2025，2m≤2026，m≤1013．所以m得最大值是1013．（3）S3＝[（m+4）×3+2m﹣9﹣（m+1）×4]×（m+7）＝（3m+12+2m﹣9﹣4m﹣4）×（m+7）＝（m﹣1）（m+7）＝m2+7m﹣m﹣7＝m2+6m﹣7；S4＝（2m﹣9）（m+2）＝2m2+4m﹣9m﹣18＝2m2﹣5m﹣18；因为2S3＝S4，所以2×（m2+6m﹣7）＝2m2﹣5m﹣18，即2m2+12m﹣14＝2m2﹣5m﹣18，17m＝﹣4，，因为m为正整数，所以m不存在．【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是利用长方形的面积公式求出面积．9．如图，有一电脑程序：每按一次按键，A区就会自动加上a2+2a，同时B区就会自动乘2，并在各自区域显示化简后的结果．已知A，B两区的初始显示值分别是﹣6和1﹣a．（1）若从初始状态按1次按键后，A区与B区代数式的和为0，求a的值；（2）是否存在a的值，使得从初始状态按2次按键后，A，B两区显示的结果同时为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据题意，按一次后，分别得到A，B区显示和为﹣6+a2+2a，2（1﹣a），根据其和为0，得到方程，解方程即可得到结果；（2）按二次后，分别得到A，B区显示的﹣6+（a2+2a）+（a2+2a），B区显示为：4（1﹣a），根据A，B两区显示的结果同时为0，分别解方程，得到公共解，即可得到结果．【解答】解：（1）依题意，按1次后，A区显示为﹣6+a2+2a，B区显示为2（1﹣a），∵按1次按键后，A区与B区代数式的和为0，∴﹣6+a2+2a+2（1﹣a）＝0，∴a2＝4，∴a＝2或﹣2，∴a的值是2或﹣2；（2）按2次后，A区显示为：﹣6+（a2+2a）+（a2+2a），B区显示为：4（1﹣a），∵按2次按键后，A，B两区显示的结果同时为0，若﹣6+2（a2+2a）＝0，即：a2+2a﹣3＝0，解得a＝1或a＝﹣3；同时，4（1﹣a）＝0，解得：a＝1，综上可得：a＝1，∴存在a的值，使得从初始状态按2次按键后，A，B两区显示的结果同时为0．此时a的值为1．【点评】本题考查了列代数式，涉及到解方程，关键是读懂题意，得到按一次、按两次，分别得到的A，B区显示的式子，不能出错．10．我们规定：对于数对（a，b），如果满足a+b＝ab，那么就称数对（a，b）是“和积等数对”；如果满足a﹣b＝ab，那么就称数对（a，b）是“差积等数对”，例如：+3＝×3，2﹣＝2×．所以数对（，3）为“和积等数对”，数对（2，）为“差积等数对”．（1）下列数对中，“和积等数对”的是②；“差积等数对”的是①．（填序号）①（﹣，﹣2）②（，﹣2）③（﹣，2）（2）若数对（，﹣2）是“差积等数对”，求x的值．（3）是否存在非零的有理数m，n，使数对（4m，n）是“和积等数对”，同时数对（4n，m）也是“差积等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．（提示：）【分析】（1）根据所给定义判断即可．（2）列出关于x的方程求解．（3）列出关于m，n的方程组求解．【解答】解：（1）①∵﹣﹣2＝﹣，﹣×（﹣2）＝，﹣﹣（﹣2）＝，∴﹣﹣（﹣2）＝﹣×（﹣2）＝．∴①是“差积等数对”．②∵+（﹣2）＝﹣，﹣（﹣2）＝，×（﹣2）＝﹣．∴+（﹣2）＝×（﹣2）＝﹣．∴②“和积等数对”．∵﹣+2＝，﹣﹣2＝，﹣×2＝﹣．∴③两者都不是．故答案为：②，①．（2）由题意得：﹣（﹣2）＝×（﹣2），∴x+5＝﹣2﹣2x，∴x＝﹣．（3）假设存在，存在．由题意，得4m+n＝4mn，4n﹣m＝4mn，所以4m+n＝4n﹣m，即n＝m，所以4m+m＝4m•m，因为m≠0，所以20m＝17，解得m＝，则n＝．【点评】本题考查新定义数对的计算与判断，掌握新定义是求解本题的关键．11．如果一个自然数可以表示为三个连续奇数的和，那么我们就称这个数为“锦鲤数”，如：9＝1+3+5，所以9是“锦鲤数”．（1）请问27是不是“锦鲤数”，并说明理由；（2）试说明任意一个“锦锂数”都是3倍数；（3）规定：a⊗b＝a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b+1）（其中b＞a，且a，b为自然数），是否存在一个“锦鲤数”a，使得a⊗50＝3666．若存在，则求出a，并把a表示成3个连续的奇数和的形式，若不存在，请说明理由．【分析】（1）“锦鲤数”可以表示为三个连续奇数的和，也就是这个数一定是某个奇数的3倍，然后进行判断27是否为“锦鲤数”，（2）设“锦鲤数”m的三个连续奇数为（n﹣2）、n、（n+2）化简即可；（3）根据规定：a⊗b＝a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b+1），将a⊗50＝3666转化为．a+（a+1）+（a+2）+（a+3）﹣…+（a+50）+（a+51）＝3666，解得a的值，再根据“锦鲤数”的意义判断，并写成三个连续奇数的和．【解答】解：（1）27＝7+9+11，因此27是“锦鲤数”；（2）设“锦鲤数”m的三个连续奇数为（n﹣2）、n、（n+2），则有：m＝n﹣2+n+n+2＝3n，∴任意一个“锦锂数”都是3倍数；（3）a⊗50＝3666．即：a+（a+1）+（a+2）+（a+3）+…+（a+50）+（a+51）＝3666，解得：a＝45，∵45＝13+15+17，∴存在一个“锦鲤数”a，使得a☺50＝3666．此时a＝45，写成三个连续奇数的和的形式为：45＝13+15+17．【点评】考查整式的意义、一元一次方程的解法和应用，理解新定义的“锦鲤数”的意义是解决问题的前提．12．假如我们规定符号m⊗n表示两个数中较小的一个，m*n表示两个数中较大的一个，例如：2⊗3＝2，4⊗3＝3，2*4＝4，5*3＝5．（1）已知（3x2+5x+2）*（4x2+5x+3）＝2，求5﹣8x2﹣10x的值．（2）已知代数式[（m2﹣m）x2+mx+3]⊗[（m﹣1）x2+mx+2]值为1，试说明当m是常数时，是否存在实数x使得代数式2mx2+2mx与代数式2x2﹣2的值相等，如存在，求出x的值（用含m的式子表示），如不存在请说明理由．（3），且平面直角坐标系内的点（m﹣2，y1），（m+2，y2）满足（k为常数），求m的取值范围．【分析】（1）先求出3x2+5x+2与4x2+5x+3的大小关系，再根据题意得到4x2+5x+3＝2，进而得到4x2+5x＝﹣1，然后代入5﹣8x2﹣10x求值即可；（2）先求出（m2﹣m）x2+mx+3与（m﹣1）x2+mx+2的大小关系，再根据题意得到（m﹣1）x2+mx+2＝1，进而证明存在实数x使得代数式2mx2+2mx与代数式2x2﹣2的值相等，再分情况讨论即可；（3）先根据，得到y1＜y2，再将问题转化为反比例函数问题，再根据m﹣2＜m+2，y1＜y2得到m﹣2＜0＜m+2，即可求出答案．【解答】解：（1）（3x2+5x+2）﹣（4x2+5x+3）＝3x2+5x+2﹣4x2﹣5x﹣3＝﹣x2﹣1＜0，∴4x2+5x+3＝2，即4x2+5x＝﹣1，∴5﹣8x2﹣10x＝5﹣2（4x2+5x）＝5﹣2×（﹣1）＝7．（2）[（m2﹣m）x2+mx+3]﹣[（m﹣1）x2+mx+2]＝（m2﹣m）x2+mx+3﹣（m﹣1）x2﹣mx﹣2＝m2x2﹣mx2+mx+3﹣mx2+x2﹣mx﹣2＝m2x2﹣2mx2+x2+1＝（m2﹣2m+1）x2+1＝（m﹣1）2x2+1＞0，∴（m﹣1）x2+mx+2＝1，mx2﹣x2+mx+2＝1，mx2+mx＝x2﹣1，即2mx2+2mx＝2x2﹣2，故存在实数x使得代数式2mx2+2mx与代数式2x2﹣2的值相等．当m＝1时，x2+x＝x2﹣1，解得x＝﹣1；当m≠1时，2mx2+2mx＝2x2﹣2可化为mx2﹣x2+mx+1＝0，（m﹣1）x2+mx+1＝0，[（m﹣1）x+1]（x+1）＝0，解得x1＝﹣1，．（3）∵，∴，即，∵，∴，（m﹣2，y1），（m+2，y2）在反比例函数，∴y1＜y2．∵，∴（m﹣2，y1），（m+2，y2）在反比例函数，∵1+k2＞0，∴反比例函数在一、三象限，∵在每个象限内，y随x的增大而减小，而m﹣2＜m+2，y1＜y2，∴（m﹣2，y1），（m+2，y2）不在同一象限，即m﹣2＜0＜m+2解得﹣2＜m＜2．【点评】本题考查了整式的加减，解一元二次方程和反比例函数的图象与性质，正确理解新定义是解题的关键．13．设A＝x2+xy+2y﹣2，B＝2x2﹣2xy+x﹣1．（1）将2A﹣B用含x，y的代数式表示，并化简；（2）若2A﹣B的值与x的取值无关，求y的值．（3）是否存在有理数x，使得2A﹣B的值与y的取值无关，且2A﹣B＞0？若存在，求出这样的x；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A、B表示的代数式代入，计算出2A﹣B；（2）根据2A﹣B的值与x的取值无关，得到含x项的系数为0，从而求出y的值；（3）把A、B表示的代数式代入，计算2A﹣B，再代入求值．【解答】解：（1）2A﹣B＝2（x2+xy+2y﹣2）﹣（2x2﹣2xy+x﹣1）＝2x2+2xy+4y﹣4﹣2x2+2xy﹣x+1＝4xy﹣x+4y﹣3．（2）将2A﹣B化为＝x（4y﹣1）+4y﹣3，因为2A﹣B的值与x的取值无关，所以4y﹣1＝0，解得，．（3）将2A﹣B化为＝4y（x+1）﹣x﹣3，若存在这样的x，使得2A﹣B的值与y的取值无关，则x+1＝0，即x＝﹣1，此时2A﹣B的值为﹣（﹣1）﹣3＝﹣2＜0，不满足2A﹣B＞0．所以，不存在这样的有理数x．【点评】本题主要考查了整式的加减，掌握合并同类项法则是解决本题的关键．另整式的值与字母无关时，该字母的系数为0．14．（1）已知m，n是系数，且mx2﹣2xy+y与3x2+2nxy+3y的差中不含二次项，求m2+2mn+n2的值．（2）设b＝2am，是否存在实数m使得（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）能化简为a2，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．【分析】（1）先列出算式，再化简，根据已知条件得出m﹣3＝0，﹣2﹣2n＝0，求出m、n的值，最后求出答案即可；（2）先算乘法，再合并同类项，最后得出5﹣4m2＝1，求出m即可．【解答】解：（1）（mx2﹣2xy+y）﹣（3x2+2nxy+3y）＝mx2﹣2xy+y﹣3x2﹣2nxy﹣3y＝（m﹣3）x2+（﹣2﹣2n）xy﹣2y，∵mx2﹣2xy+y与3x2+2nxy+3y的差中不含二次项，∴m﹣3＝0，﹣2﹣2n＝0，解得：m＝3，n＝﹣1，∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（3﹣1）2＝4；（2）∵b＝2am，∴（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）＝a2+4ab+4b2+4a2﹣b2﹣4ab﹣4b2＝5a2﹣b2＝5a2﹣（2am）2＝（5﹣4m2）a2，当5﹣4m2＝1时，m＝±1，所以存在实数m，使得（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）能化简为a2，此时m＝±1．【点评】本题考查了整式的混合运算与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．15．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，比如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，则说明4，12，20都是“智慧数”．（1）36是“智慧数”吗？为什么？（2）试说明所有的“智慧数”都不可能是8的倍数；（3）是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“智慧数”？为什么？【分析】（1）根据平方差公式即可求出答案．；（2）考查列代数式、整式的运算；（3）考查整式运算的综合运用．【解答】解：（1）∵36＝102﹣82∴36是智慧数（2）设两个连续偶数为2k和2k+2（k为整数）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1）∵2k+1是奇数∴4（2k+1）不是8的倍数即，所有的智慧数都不可能是8的倍数．（3）不存在．设两个连续的奇数为：2k﹣1，2k+1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k此数是8的倍数，而由（2）知智慧数不可能是8的倍数，所以不存在两个连续的奇数，它们的平方差是智慧数．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于中等题型．16．若a，b互为相反数，b，c互为倒数，且m的立方等于它本身．（Ⅰ）若a＝2，求ca的值；（Ⅱ）若m≠0，试讨论：当x为有理数时，|x+m|+|x﹣m|是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若a＞1，且m＜0，S＝|2a﹣3b|﹣2|b﹣m|﹣|b+|，求6（2a﹣s）+（s﹣2a）的值．【分析】（Ⅰ）由题意可知：a+b＝0，bc＝1，m＝0或1或﹣1，当a＝2时，求出相应的值，代入ca即可；（Ⅱ）根据m＝1和m＝﹣1两种情况，分别由x的取值范围去掉绝对值符号，再由化简后的式子即可得到|x+m|+|x﹣m|有最小值为2；（Ⅲ）由m＝﹣1，b＜﹣1，将S进行化简即可．【解答】解：由题意可知：a+b＝0，bc＝1，m＝0或1或﹣1，（Ⅰ）∵a＝2，∴b＝﹣2，∴c＝，∴；（Ⅱ）∵m≠0，∴m＝1或m＝﹣1，当m＝1时，|x+m|+|x﹣m|＝|x+1|+|x﹣1|，当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣1|＝﹣（x+1）+（1﹣x）＝﹣2x，当﹣1≤x≤1时，|x+1|+|x﹣1|＝（x+1）+（x﹣1）＝2x，当x＞1时，|x+1|+|x﹣1|＝（x+1）+（x﹣1）＝2x，∴|x+m|+|x﹣m|的最小值2；当m＝﹣1时，|x+m|+|x﹣m|＝|x﹣1|+|x+1|＝﹣（|x+1|+|x﹣1|），∴|x+m|+|x﹣m|的最小值是2；综上所述，|x+m|+|x﹣m|的最小值是2；（Ⅲ）∵m＜0，∴m＝﹣1，∵a＞1，∴b＜﹣1，∴S＝|2a﹣3b|﹣2|b﹣m|﹣|b+|＝2a﹣3b﹣2（m﹣b）+（b+）＝2a﹣3b﹣2m+2b+b+＝2a﹣2m+，∵m＝﹣1，∴S＝2a+，∴6（2a﹣S）+（S﹣2a）＝12a﹣6S+S﹣2a＝10a﹣5S＝10a﹣10a﹣5×＝．【点评】本题考查整式的加减法，绝对值的意义；熟练掌握绝对值的性质，根据给出的范围能够准确去掉绝对值符号是解题的关键．17．已知多项式x3﹣3xy2﹣4的常数是a，次数是b．（1）则a＝﹣4，b＝3；并将这两数在数轴上所对应的点A、B表示出来；（2）数轴上在B点右边有一点C到A、B两点的距离之和为11，求点C在数轴上所对应的数；（3）在数轴上是否存在点P，使P到A、B、C的距离和等于12？若存在，求点P对应的数；若不存在，请说明理由．（4）在数轴上是否存在点P，使P到A、B、C的距离和最小？若存在，求该最小值，并求此时P点对应的数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据多项式中常数项及多项式的次数的定义即可求解；（2）设点C在数轴上所对应的数为x，根据CA+CB＝11列出方程，解方程即可；（3）设点P在数轴上所对应的数为a，则|a+4|+|a﹣3|+|a﹣5|＝12，根据绝对值的性质求解可得；（4）点P在点A和点B（含点A和点B）之间，依此即可求解．【解答】解：（1）∵多项式x3﹣3xy2﹣4的常数项是a，次数是b，∴a＝﹣4，b＝3，点A、B在数轴上如图所示：，故答案为：﹣4、3；（2）设点C在数轴上所对应的数为x，∵C在B点右边，∴x＞3．根据题意得x﹣3+x﹣（﹣4）＝11，解得x＝5，即点C在数轴上所对应的数为5；（3）设点P在数轴上所对应的数为a，则|a+4|+|a﹣3|+|a﹣5|＝12，1°、当a＜﹣4时，﹣a﹣4+3﹣a+5﹣a＝12，解得a＝﹣＞﹣4（舍）；2°、当﹣4≤a＜3时，a+4+3﹣a+5﹣a＝12，解得a＝0；3°、当3≤a＜5时，a+4+a﹣3+5﹣a＝12，解得a＝6＞5（舍）；4°、当a≥5时，a+4+a﹣3+a﹣5＝12，解得a＝；综上，P表示的数为0或；（4）存在，点P表示的数为3，该最小值为9，设P到A、B、C的距离和为d，则d＝|x+4|+|x﹣3|+|x﹣5|，1°当x≤﹣4时，d＝﹣x﹣4+3﹣x+5﹣x＝﹣3x+4，x＝﹣4时，d最小＝16；2°、当﹣4＜x≤3时，d＝x+4+3﹣x+5﹣x＝﹣x+12，x＝3时，d最小＝9；3°、当3＜x≤5时，d＝x+4+x﹣3+5﹣x＝x+6，x＝5时，d最大＝11，无最小值．4°、当x＞5时，d＝x+4+x﹣3+x﹣5＝3x﹣4，此时无最小值；综上，当点P表示的数为3时，P到A、B、C的距离和最小，最小值为9．【点评】此题考查数轴，多项式的意义，掌握数轴上两点之间的距离计算方法及一元一次方程的应用是解决问题的关键．18．如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数．例如4＝22﹣02，12＝42﹣22，4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用2k+2和2k表示（k是非负整数）．（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？（2）小华说：“不是所有的4倍数都是奇异数．”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的4的倍数．（3）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数．①若一个美丽数一定是m的倍数，m＝8；②m的倍数一定是（填是或不是）美丽数；③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由．【分析】（1）根据“奇异数”的定义，只需看能否把2k+2和2k这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．【解答】解：（1）由题意得：（2k+2）2﹣（2k）2＝4（2k+1），所以奇异数一定是4的倍数；（2）说法正确．4的偶数倍不是奇异数，如16＝42﹣02不是奇异数；（3）①m＝8；故答案为：8；②是，故答案为：是；③不存在．因为奇异数一定是4的奇数倍，而美丽数是8的倍数，即是4的偶数倍，所以不存在既是奇异数又是美丽数的数．【点评】此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．19．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．如．（1）计算：；（2）若，求4a﹣6b+1的值；（3）是否存在实数x，使＝﹣3？若存在，求出x，若不存在，说明理由．【分析】（1）根据题中所给出的式子进行计算即可；（2）先根据题中所给的式子得出3a﹣3b的值，再代入所求代数式进行计算即可；（3）根据所给的例子得出关于x的二元一次方程，求出x的值即可．【解答】解：（1）∵，∴＝3×2﹣1×（﹣2）＝6+2＝8；（2）∵，，∴2a﹣3b＝1，∴原式＝2（2a﹣3b）+1＝2×1+1＝3；（3）若存在实数x，使＝﹣3，则x（x+2）﹣x＝﹣3，即x2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，∴此方程无解，即不存在符合条件的x的值．【点评】本题考查的是整式的混合运算，根据题中所给的例子得出关于x的方程是解答此题的关键．20．已知两个关于m，n的多项式A＝m2﹣3mn，B＝9﹣2m2﹣amn（a为常数）．（1）化简A+B；（2）当m＝﹣3，n＝0时，求A+B的值；（3）已知A﹣B＝3m2+2mn﹣9，求a的值；（4）若k是一有理数，且kA+2B的结果中不含关于m2的项，求k的值；（5）是否存在一个有理数a，使得2A+B的值恒定？若存在，求出这个数，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据整式的加减运算即可；（2）将m＝﹣3，n＝0代入求值即可；（3）化简A﹣B后，根据题意得到a﹣3＝2求出a值即可；（4）化简kA+2B后根据题意得到k﹣4＝0求出k值即可；（5）化简2A+B后得到﹣（6+a）mn+9，根据题意6+a＝0求出a值即可．【解答】解：（1）∵A＝m2﹣3mn，B＝9﹣2m2﹣amn，∴A+B＝m2﹣3mn+9﹣2m2﹣amn＝﹣m2﹣（3+a）mn+9；（2）当m＝﹣3，n＝0时，A+B＝﹣9+9＝0；（3）A﹣B＝m2﹣3mn﹣（9﹣2m2﹣amn）＝m2﹣3mn﹣9+2m2+amn＝3m2+（a﹣3）mn﹣9，∵A﹣B＝3m2+2mn﹣9，∴a﹣3＝2，∴a＝5；（4）kA+2B＝k（m2﹣3mn）+2（9﹣2m2﹣amn）＝km2﹣3kmn+18﹣4m2﹣2amn＝（k﹣4）m2﹣（3k+2a）mn+18，∵kA+2B的结果中不含关于m2的项，∴k﹣4＝0，∴k＝4；（5）2A+B＝2（m2﹣3mn）+9﹣2m2﹣amn＝2m2﹣6mn+9﹣2m2﹣amn＝﹣（6+a）mn+9，当6+a＝0时，2A+B为一个定值，定值为9．即当a＝﹣6时，2A+B是一个定值9．【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是关键．21．三个自然数x、y、z组成一个有序数组（x，y，z），如果满足x﹣y＝y﹣z，那么我们称数组（x，y，z）为“蹦蹦数组”．例如：数组（2，5，8）中2﹣5＝5﹣8，故（2，5，8）是“蹦蹦数组”；数组（4，6，12）中4﹣6≠6﹣12，故（4，6，12）不是“蹦蹦数组”．（1）分别判断数组（437，307，177）和（601，473，346）是否为“蹦蹦数组”；（2）s和t均是三位数的自然数，其中s的十位数字是3，个位数字是2，t的百位数字是2，十位数字是5，且s﹣t＝274．是否存在一个整数b，使得数组（s，b，t）为“蹦蹦数组”．若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由；（3）有一个三位数的自然数，百位数字是1，十位数字是p，个位数字是q，若数组（1，p，q）为“蹦蹦数组”，且该三位数是7的倍数，求这个三位数．【分析】（1）由定义计算437﹣307的差和307﹣177的差，601﹣473的差和473﹣346的差，比较大小，得出结论；（2）先算出s和t的大小，然后利用s﹣b＝b﹣t算出b的值；（3）由定义得1﹣p＝p﹣q，得到这个三位数为100+10p+q＝100+10p+2p﹣1，利用这个三位数是7的倍数求出p的值，得到这个三位数，【解答】解：（1）∵437﹣307＝130，307﹣177＝130，601﹣473＝128，473﹣346＝127，∴437﹣307＝307﹣177，601﹣473≠473﹣346，∴数组（437，307，177）是“蹦蹦数组”，数组（601，473，346）不是“蹦蹦数组”．（2）设s的百位数字为x（0＜x≤9），t的个位数字为y（0≤y≤9），则：s＝100x+32，t＝250+y，∵s﹣t＝274，∴100x+32﹣（250+y）＝274，化简得：100x﹣y＝492，∴x＝5，y＝8，∴s＝532，t＝258，假设数组（s，b，t）为“蹦蹦数组”，则：532﹣b＝b﹣258，解得：b＝395，∴存在b＝395，使得数组（s，b，t）为“蹦蹦数组”．（3）由题意得：该三位数为：100+10p+q（0≤p≤9，0≤q≤9），∵数组（1，p，q）为“蹦蹦数组”，∴1﹣p＝p﹣q，即：q＝2p﹣1，∴0≤2p﹣1≤9，∴0.5≤p≤5，∴该三位数为：100+10p+q＝100+10p+2p﹣1＝99+12p，∵该三位数是7的倍数，∴p＝4，∴该三位数为：99+12×4＝147．【点评】本题以新定义为背景，考查了学生对于整式的运算和多位数的简单表示．解题的关键是理解“蹦蹦数组”的定义“中间数的2倍是左右两个数的和”，并利用所给条件化简求值．本题的在解题的过程中用到了整式的加减，需要注意个位和十位数字在0﹣9取值，百位数字在1﹣9取值．22．一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是4a（cm），宽是3a（cm），这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．（1）请用a的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积；（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为（cm2），则油漆这个铁盒需要多少钱（用a的代数式表示）？（3）铁盒的底面积是全面积的几分之几（用a的代数式表示）？若铁盒的底面积是全面积的，求a的值；（4）是否存在一个正整数a，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个a，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可；（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；（3）用铁盒的底面积除以全面积即可得出底面积是全面积的几分之几，再根据铁盒的底面积是全面积的，求出a的值即可；（4）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．【解答】解：（1）原铁皮的面积是（4a+60）（3a+60）＝12a2+420a+3600；（2）油漆这个铁盒的表面积是：12a2+2×30×4a+2×30×3a＝12a2+420a，则油漆这个铁盒需要的钱数是：（12a2+420a）÷＝（12a2+420a）×＝600a+21000（元）；（3）铁盒的底面积是全面积的＝；根据题意得：＝，解得a＝105；（4）铁盒的全面积是4a×3a+4a×30×2+3a×30×2＝12a2+420a，底面积是12a2，假设存在正整数n，使12a2+420a＝n（12a2）则（n﹣1）a＝35，则a＝35，n＝2或a＝7，n＝6或a＝5，n＝8或a＝1，n＝36所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a＝35或7或5或1．【点评】此题考查整式的混合运算，掌握正方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键．23．如果一个自然数可以表示为三个连续奇数的和，那么我们就称这个数为“锦鲤数”，如：9＝1+3+5，所有9是“锦鲤数”．（1）请问21和35是不是“锦鲤数”，并说明理由；（2）规定：a☺b＝﹣a﹣（a+1）﹣（a+2）﹣…﹣（a+b+1）（其中b＞a，且a，b为自然数），是否存在一个“锦鲤数”a，使得a☺50＝﹣3666．若存在，则求出a，并把a表示成3个连续的奇数和的形式，若不存在，请说明理由．【分析】（1）“锦鲤数”可以表示为三个连续奇数的和，也就是这个数一定是某个奇数的3倍，然后进行判断21，35是否为“锦鲤数”，（2）根据规定：a☺b＝﹣a﹣（a+1）﹣（a+2）﹣…﹣（a+b+1），将a☺50＝﹣3666转化为．﹣a﹣（a+1）﹣（a+2）﹣（a+3）﹣…﹣（a+50）﹣（a+51）＝﹣3666，解得a的值，再根据“锦鲤数”的意义判断，并写成三个连续奇数的和．【解答】解：（1）21＝5+7+9，因此21是“锦鲤数”，35不是3的倍数，因此35不是“锦鲤数”，（2）a☺50＝﹣3666．即：﹣a﹣（a+1）﹣（a+2）﹣（a+3）﹣…﹣（a+50）﹣（a+51）＝﹣3666，解得：a＝45，∵45＝13+15+17，∴存在一个“锦鲤数”a，使得a☺50＝﹣3666．此时a＝45，写成三个连续奇数的和的形式为：45＝13+15+17．【点评】考查整式的意义、一元一次方程的解法和应用，理解新定义的“锦鲤数”的意义是解决问题的前提．，24．（1）已知a2+b2＝3，a﹣b＝1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．（2）设b＝ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．【分析】（1）把a﹣b＝1两边平方，利用完全平方公式化简，将a2+b2＝3代入求出ab的值，原式整理后代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号整理后确定出m的值即可．【解答】解：（1）把a﹣b＝1两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，把a2+b2＝3代入得：3﹣2ab＝1，即ab＝1，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5，∴a+b＝±，则原式＝4﹣2（a+b）+ab＝5±2；（2）原式＝4a2﹣4ab+b2﹣a2+4b2+4a2+4ab＝7a2+5b2，当b＝±a时，原式＝12a2，则m＝±1．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．设a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，…，an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，（n为正整数）（1）试说明an是8的倍数；（2）若△ABC的三条边长分别为ak、ak+1、ak+2（k为正整数）①求k的取值范围．②是否存在这样的k，使得△ABC的周长为一个完全平方数？若存在，试举出一例，若不存在，说明理由．【分析】（1）根据题意可以对an进行化简，从而可以解答本题；（2）①根据（1）中的结果，可以得到ak、ak+1、ak+2的值，从而可以得到k的取值范围；②根据①中ak、ak+1、ak+2的值，可以求得△ABC的周长，从而可以解答本题．【解答】解：（1）∵an＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）﹣（2n﹣1）][（2n+1）+（2n﹣1）]＝2×4n＝8n，∵8n能被8整除，∴an是8的倍数；（2）①由（1）可得，ak＝8k，ak+1＝8（k+1），ak+2＝8（k+2），∴8k+8（k+1）＞8（k+2），解得，k＞1，即k的取值范围是：k＞1；②存在这样的k，使得△ABC的周长为一个完全平方数，理由：∵△ABC的周长是：8k+8（k+1）+8（k+2）＝24k+24＝24（k+1）＝4×6×（k+1），∴△ABC的周长为一个完全平方数，则k+1＝6得k＝5即可，即当k＝5时，△ABC的周长为一个完全平方数．【点评】本题考查整式的混合运算，三角形三边的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．26．设b＝ma是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为2a2，若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．【分析】首先化简多项式进而合并同类项将b＝ma代入求出即可．【解答】解：不能化简为2a2，理由：∵设b＝ma，∴（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）＝4a2﹣4ab+b2﹣a2+4b2+4ab+4a2＝7a2+5b2＝7a2+5（ma）2＝7a2+5m2a2＝（7+5m2）a2＝2a2，故7+5m2＝2，解得：5m2＝﹣5，不合题意，错误．【点评】此题主要考查了整式的混合运算以及整式的化