中考数学总复习《图形的相似》专项检测卷含答案

第第页中考数学总复习《图形的相似》专项检测卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．解答题（共30小题）1．如图所示在举行ABCD中，AB＝4，BC＝8，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动时间为ts（0＜t＜4）．（1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的18（2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在请说明理由．2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．（1）几秒后△PCQ与△ABC相似？（2）设△CPQ的面积为S1，△ABC的面积为S2；在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2＝2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．3．综合与探究如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，4），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，设运动时间为t秒．（1）求证：△BCP∽△BAE；（2）当t＝5时，求点E的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以P，O，E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B在y轴正半轴，点C在x轴的负半轴上，且满足(OB−3（1）求点B，C的坐标；（2）若点P在y轴上从点B出发，沿射线BO运动，连接CP（不含CB），是否存在点P，使得以点C，O，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AC⊥BC，DC＝9cm，AD＝12cm．点P从A点出发，沿AB向点B匀速运动，同时点Q从B点出发，沿BC向点C匀速运动，运动速度均为5cm/s，当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）求线段AB的长度；（2）t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ADC相似？（3）是否存在某一时刻t，使得四边形DPQC的面积等于144cm2？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使DP⊥PQ？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，说明理由．7．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）x为何值时，PQ∥BC；（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）；（3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．9．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（﹣4，0），B（0，3）．（1）求AB的长；（2）过点B作BC⊥AB，交轴于点C，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上的动点，连接PQ，设AP＝CQ＝x，问是否存在这样的使得△APQ与△ABC相似？若存在，请求出的x值；若不存在，请说明理由．10．如图（1），在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD＝90°，AC＝AB+2．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）小宇为了研究图（1）中线段之间的数量关系，设AB＝x，AD＝y．①建立模型：请求出y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；②画出图象：请在如图（2）所示的平面直角坐标系xOy中，画出①中该函数的图象；③归纳性质：请写出①中该函数的一条性质：．（3）问边AB与边AD的和是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．11．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）若AB平分∠EBP时，求t的值；（2）求AE的长（用含t的代数式表示）；（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．【问题情境】（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称“欧几里得定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则：①CD2＝AD•BD，②AC2＝AB•AD，③BC2＝AB•BD；请你证明定理中的结论③BC2＝AB•BD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．①求证：△BOF∽△BED；②若BE=210，求OF（3）如图3，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E是CD上一动点，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，取BF的中点G，连接OG，当点E在CD上运动时，OG是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值．若不存在，请说明理由．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12cm，BD＝16cm，在Rt△QEF中，∠QEF＝90°，边QE和BO重合，边EF和OC重合．如图②，△QEF从图①所示位置出发，沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点P从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s．连接AQ，PE．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOQ为等腰三角形？（2）当PE∥AQ时，求t的值；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△DPE与△EFQ相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14．如图，已知四边形OABC是矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交射线BA于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，∠ABE＝∠CBP＝°，AE＝；（2）当S△AFES△OPE（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5a，BC＝6a，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE＝∠B．（1）求证：BD•CD＝AC•CE；（2）若CD＝2BD，求AD的长；（3）探究：AE长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．16．问题提出（1）如图1，四边形ABCD为矩形，点E为边BC上的一点，连接AE，过E作EF⊥AE交边CD于点F，若AB＝4，EC＝3，则BECF的值为问题探究（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，AD=53，Rt△AEF的直角顶点E在边BC上，顶点F在边CD上，若cos∠EAF=32问题解决（3）如图3，是四边形ABCD是某科技园示意图，其中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝200m，AB＝400m，BC＝500m，点F是大门，CF＝300m，现需要在边BC上安装一个监控E，对道路AD、DF进行全天监控，监控E的角度为∠AEF，且tan∠AEF=43，监控E是否存在符合要求的安装位置，若存在，请求出17．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝15cm，BC＝20cm．BD⊥AC，垂足为D．点P从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q同时从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜10），连接PB，PQ．解答下列问题：（1）求AD的长度；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点C在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积与△ABC的面积之比是2：25？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）如图②，点B'是点B关于AC的对称点，连接B'P，当t为何值时，∠B'PD+∠DPQ＝180°？18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、点D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），BE＝5，OB=43（1）求点A、点C的坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使点C、点E、点P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P从点A出发，在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，移动时间为t秒．（1）求t＝9时，求线段EF的长；（2）移动过程中，是否存在这样的t值使得△PEF的面积等于40？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）移动过程中，是否存在t值使得以点E、O、P为顶点的三角形与△BOA相似？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段CD向点C运动，点Q从点C出发，沿线段AC向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止，设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣4，0），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，线段OA、OB的长度都是方程x2﹣3x+2＝0的解，且OB＞OA．若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．（1）如图1，判断三角形ABC的形状，并说明理由；（2）在点P运动过程中，利用图1及备用图1探究，当△AOP周长最短时，求点P运动的时间；（3）在点P的运动过程中，利用备用图2探究，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以3cm/s的速度向点B匀速运动，设运动时间为ts（0≤t≤5），连接MN（1）发现：BM＝cm，BN＝cm（用含t的式子来表示）（2）猜想：若BM＝BN，则t的值为；（3）探究：是否存在符合条件的t，使△BMN与△ABC相似？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．23．如图1，已知四边形OABC是矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（4，0），C（0，6），点E以每1个单位的速度从点A出发沿x轴正方向运动，连接BE，作BP⊥BE交y轴于点P，连接PE交射线BA于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝6时，AE＝，CP＝；（2）当点P在原点上方，且S△AFES△OPE=4（3）在运动的过程中，是否存在以P，O，E为顶点的三角形与△PBC相似．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）若AB平分∠EBP，求t的值；（2）当t＝1时，求点E的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，有两动点P、Q分别在边AB、BC上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段AB按A→B方向向终点B运动，点Q沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：（1）如图1，当t为何值时，PQ∥AC；（2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似；（3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PCQ的面积等于4？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．26．如图，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若F是BC的中点，BD＝18，求BM的长；（3）若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP•BP＝BF•CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．27．【问题背景】如图，正方形ABCD的边长为8，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE于点F，连接PE．【初步探究】（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）若点P在AD边上运动，且S五边形PDCEF＝44，求△PFA与△ABE的相似比；【拓展提升】（3）当点P在射线AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．28．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=163，求点E的坐标，并判断△（3）平面内是否存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果有请直接写出点M的坐标．29．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点M从点A出发，沿折线AB→BC以2cm/s速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线AC的对称点N，连接MN交AC于点E，连接DM，DN．设运动时间为t（s）（0＜t＜7），请解答下列问题．（1）当t为何值时，MD∥BC？（2）点M在线段BC上运动时，是否存在某一时刻t使得△CMD与△CBA相似若存在，请求出此刻的t值；若不存在，请说明理由；（3）点M在线段AB上运动时，是否存在某一时刻t使得四边形MBCD的面积占△CBA面积的六分之五？（4）当t为何值时，△DMN为直角三角形？30．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°．BA的延长线交射线CD于点M，过点A作AB的垂线交BC的延长线于点N，交CD边于点E．已知AD＝3．CD＝4．（1）如图，求证：△ADM∽△ECN；（2）联结MN，在△BMN中是否存在角度保持不变的角？如果存在，请指出并求该角的余切如果不存在，请说明理由；（3）如果△BMN是以BN为腰的等腰三角形，求CN的值．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图所示在举行ABCD中，AB＝4，BC＝8，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动时间为ts（0＜t＜4）．（1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的18（2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在请说明理由．【分析】（1）由△AMN的面积等于矩形ABCD面积的18，可得12×t×(8−2t)=18（2）△AMN与△ACD相似，分为两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【解答】（1）解：由题意得AM＝tcm，DN＝2tcm，∴AN＝AD﹣DN＝（8﹣2t）cm，∵△AMN的面积等于矩形ABCD面积的18∴12解得：t1＝t2＝2，∴t＝2s时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的18（2）解：存在某一时刻t．使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似．理由如下：∵△AMN与△ACD相似，∴可分为两种情况：①当△MNA∽△ACD时，∴AMDA∴t8解得：t=16②当△NMA∽△ACD时，∴AMDC∴t4解得t＝2，综上所述，当t=165s或t＝2s时，以A、M、N【点评】本题考查了相似三角形——动点问题和平行四边形的动点问题，熟练掌握相似三角形的性质和矩形的性质是解决问题的关键．2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．（1）几秒后△PCQ与△ABC相似？（2）设△CPQ的面积为S1，△ABC的面积为S2；在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2＝2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．【分析】（1）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可；（2）用t分别表示出CP、CQ，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】设y秒后△PCQ与△ABC相似，当△PCQ∽△ACB时，CPCA=CQ解得，y=75当△PCQ∽△BCA时，CPCB=CQ解得，y=125答：758秒或12517秒后△PCQ与△（3）△CPQ的面积为S1=12×CQ×CP=12×2t×（25﹣t△ABC的面积为S2＝×AC×BC＝375，由题意得，5（﹣t2+25t）＝375×2，解得，t1＝10，t2＝15，答：运动10秒或15秒时，S1：S2＝2：5．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确解出一元二次方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．3．综合与探究如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，4），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，设运动时间为t秒．（1）求证：△BCP∽△BAE；（2）当t＝5时，求点E的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以P，O，E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据四边形OABC是矩形，BE⊥PB可得出角相等即可得出相似；（2）由相似三角形的性质求出BH＝10，得出OE＝12即可求出点E的坐标；（3）本题需先证出△BCP∽△BAE，求出AE＝2t，再分两种情况讨论，求出t的值，即可得出P点的坐标．【解答】（1）证明：∵四边形OABC是矩形，∴∠BCP＝∠OAB＝∠BAE＝90°，∵BE⊥PB∴∠CPA＝∠PBE＝90°∴∠CBP＝∠ABE，∴△BCP∽△BAE；（2）解：当t＝5时，PC＝5，过点E作CB的垂线，垂足为H，如图1所示：则四边形AEHB是矩形，∴BH＝AE，∵A（2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝4，BC＝OA＝2，∵∠BPC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠EBH＝90°，∴∠BPC＝∠EBH，∵∠EHB＝∠BCP＝90°，∴△PBC∽△BEH，∴BHPC=EH解得：BH＝10，∴AE＝BH＝10，∴OE＝OA+AE＝2+10＝12，∴点E的坐标是（12，0）；（3）解：存在，理由如下：∵∠ABE+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，∴∠ABE＝∠PBC，∵∠BAE＝∠BCP＝90°，∴△BCP∽△BAE∴BCAB∴tAE∴AE＝2t，当点P在点O上方时，如图2所示：①若OPAE=OEAB时，△∵OP＝4﹣t，OE＝2+2t，∴4−t2t解得：t1=−1+5∴OP=4−(−1+5∴P的坐标为(0，5−5②若OPAB=OEAE，则△∴4−t4此时无解；当点P在点O下方时，如图3所示：①若OPAB则△OPE∽△ABE，t−44解得：t1＝4+25，t2＝4﹣25（舍去），OP＝t﹣4＝25，P的坐标为（0，﹣25）；②若OPAE则△OEP∽△ABE，t−42t整理得：t2+t+4＝0，Δ＝1﹣16＝﹣15＜0，该方程无解，∴这种情况不成立，综上所述，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，P的坐标为：(0，5−5)或【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，在解题时要根据已知条件再结合图形是解题的关键，注意分类讨论．4．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B在y轴正半轴，点C在x轴的负半轴上，且满足(OB−3（1）求点B，C的坐标；（2）若点P在y轴上从点B出发，沿射线BO运动，连接CP（不含CB），是否存在点P，使得以点C，O，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据非负数的性质可得OB=3，OC（2）分两种情况讨论：当△COP∽△AOB时，当△COP∽△BOA时，结合相似三角形的性质，即可求解．【解答】解：（1）∵(OB−3∴OB−3∴OB=3，OC∵点B在y轴正半轴，点C在x轴的负半轴，∴B(0，3)，（2）存在点P，使得以点C，O，P为顶点的三角形与△AOB相似；理由如下：∵∠COP＝∠BOA＝90°，∴以点C、O、P为顶点的三角形与△AOB相似分两种情况讨论：①当△COP∽△AOB时，OCOA∴OP=OB⋅OC∵P在射线BO上，∴P(0，−33②当△COP∽△BOA时，OCOB∴OP=OA⋅OC∵P在射线BO上（不与点B重合），∴P(0，−3综上，存在点P，使得以点C，O，P为顶点的三角形与△AOB相似；P1(0，−33【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，非负数的性质：偶次方，非负数的性质：算术平方根，坐标与图形性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．5．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G如图∴DF∥AG，DF∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴DF解得DF=35（10﹣∵S△BDE=12BE•∴35（10﹣t）•t解得t＝5．答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．（2）存在．理由如下：①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，∴BEAB=BD解得t=50②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，BEBC=BD解得t=80答：存在时间t为5013或8013秒时，使得△BDE与△【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AC⊥BC，DC＝9cm，AD＝12cm．点P从A点出发，沿AB向点B匀速运动，同时点Q从B点出发，沿BC向点C匀速运动，运动速度均为5cm/s，当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）求线段AB的长度；（2）t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ADC相似？（3）是否存在某一时刻t，使得四边形DPQC的面积等于144cm2？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使DP⊥PQ？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）首先勾股定理求出AC＝15，再利用△ACB∽△CDA，得ACCD=AB（2）由（1）知，∠B＝∠DAC，分△BPQ∽△ADC或△BPQ∽△ACD，分别根据对应边成比例可得答案；（3）作QH⊥AB于H，根据四边形DPQC的面积＝S梯形ABCD﹣S△ADP﹣S△BPQ，列出方程解方程即可；（4）利用△DAP∽△PHQ，得ADPH【解答】解：（1）在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=9∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC，∵DC∥AB，∴∠ACD＝∠CAB，∴△ACB∽△CDA，∴ACCD∴159∴AB＝25，（2）由题意知，BP＝25﹣5t，BQ＝5t，由（1）知，∠B＝∠DAC，当△BPQ∽△ADC时，∴BPAD∴25−5t12解得t=25当△BPQ∽△ACD时，∴BPAC∴25−5t15解得t=20综上：t=259或209时，以B、P、Q（3）作QH⊥AB于H，∵BQ＝5t，则QH＝3t，∴四边形DPQC的面积＝S梯形ABCD﹣S△ADP﹣S△BPQ=12∴152解得t1＝1，t2＝8（舍去），∴当t＝1时，四边形DPQC的面积等于144cm2；（4）当DP⊥PQ时，∴∠DPA+∠QPH＝90°，∵∠APD+∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠QPH，∵∠DAP＝∠QHP，∴△DAP∽△PHQ，∴ADPH∴1225−9t解得t=89∴t=8945时，DP⊥【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．7．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）x为何值时，PQ∥BC；（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，得方程求解即可；（2）利用相似三角形的条件，先列出方程，再求解．【解答】解：（1）由题意：x秒时，AP＝4xcm，BP＝（20﹣4x）cm，CQ＝3xcm，AQ＝（30﹣3x）cm．当PQ∥BC时，APBP∴4x20−4x=30−3x整理，得50﹣15x＝0．∴x=10当x=103时，PQ∥（2）存在个一时刻，使△APQ∽△CQB．∵BA＝BC，∴∠A＝∠C．当APAQ=CQBC时，△∵APAQ∴4x30−3x整理，得9x2﹣10x＝0．∴x1＝0，（不合题意舍去），x2=10当x=109时，AP＝4x=40【点评】本题主要考查了相似三角形，掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定方法是解决本题的关键．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）；（3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图①所示，当PQ⊥AB时，△PQE是直角三角形．解决问题的要点是将△PQE的三边长PE、QE、PQ用时间t表示，这需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例线段关系（或三角函数）；（2）分三种情形讨论，如图3中，当点Q在线段BE上时，EP＝EQ；如图4中，当点Q在线段AE上时，EQ＝EP；如图5中，当点Q在线段AE上时，EQ＝QP；如图6中，当点Q在线段AE上时，PQ＝EP．分别列出方程即可解决问题．（3）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻t，使S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29，则此时S△PQE=130S梯形DCBE，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻t；点E到PQ的距离h利用△【解答】解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8∴AB=6∵D、E分别是AC、AB的中点．AD＝DC＝3，AE＝EB＝5，DE∥BC且DE=12①PQ⊥AB时，∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，∴△PQE∽△ADE，PEAE=QEDE，由题意得：PE＝4﹣t，即4−t5解得t=41②如图2中，当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，∴PEED∴4−t4∴t=40∴当t为4114s或4013s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△（2）如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP＝EQ，可得4﹣t＝5﹣2t，t＝1．如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝EP，可得4﹣t＝2t﹣5，解得t＝3．如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝QP，可得12（4﹣t）：（2t﹣5）＝4：5，解得t=如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ＝EP，可得12（2t﹣5）：（4﹣t）＝4：5，解得t=综上所述，t＝1或3或207或196秒时，△（3）假设存在时刻t，使S△PQE：S五边形PQBCD＝1：29，则此时S△PQE=130S梯形∴35t2−3910t即2t2﹣13t+18＝0，解得t1＝2，t2=9当t＝2时，如图，作PM⊥AB于M．PM=35×（4﹣2）=65，EQ＝5﹣2×2＝1，MQ＝ME+EQ=85+∴PQ=P∵12PQ•h=∴h=65•∴此时t的值为2s，h=6【点评】本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻t的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．9．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（﹣4，0），B（0，3）．（1）求AB的长；（2）过点B作BC⊥AB，交轴于点C，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，如果P、Q分别是AB和AC上的动点，连接PQ，设AP＝CQ＝x，问是否存在这样的使得△APQ与△ABC相似？若存在，请求出的x值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点A、B的坐标分别为A（﹣4，0），B（0，3）可知OB＝3，AO＝4，利用勾股定理即可求出AB．（2）根据BC⊥AB，BO⊥AC，利用射影定理即可求出OC，然后可知C点的坐标．（3）假设△APQ与∽△ABC，利用其对应边成比例即可求出x的值．【解答】解：（1）∵点A、B的坐标分别为A（﹣4，0），B（0，3），∴OB＝3，AO＝4，∴AB=AO（2）∵BC⊥AB，BO⊥AC，∴BO2＝AO•OC，即OC=BO∴C点的坐标是（2.25，0）；（3）当△APQ与∽△ABC时，PQ∥BC，∴APPB∵AP＝CQ＝x，∴x5−x解得x=25当△APQ与∽△ACB时，APAC即x6.25解得：x=答：（1）AB的长为5；（2）C的坐标为（2.25，0）；（3）存在，x的值为259或125【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，勾股定理，射影定理等知识点，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，属于中档题．10．如图（1），在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD＝90°，AC＝AB+2．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）小宇为了研究图（1）中线段之间的数量关系，设AB＝x，AD＝y．①建立模型：请求出y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；②画出图象：请在如图（2）所示的平面直角坐标系xOy中，画出①中该函数的图象；③归纳性质：请写出①中该函数的一条性质：函数的最小值是8．（3）问边AB与边AD的和是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由相似三角形的判定可得结论；（2）①相似三角形的性质可得ABAC②利用描点法画出函数图象即可；③结合图象，可求解；（3）由AB+AD＝x+y＝2x+4x+【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD；（2）解：①∵△ABC∽△ACD，∴ABAC∵AC＝AB+2，AB＝x，AD＝y，∴xx+2∴y＝x+4x+②如图所示：③函数的一条性质为：函数的最小值是8，故答案为：函数的最小值是8；（3）解：AB+AD＝x+y＝2x+4x+∴AB+AD的最小值为42+【点评】本题是相似形综合题，考查相似三角形的判定和性质，动点问题，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）若AB平分∠EBP时，求t的值；（2）求AE的长（用含t的代数式表示）；（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先证△BCP是等腰直角三角形，得PC＝BC＝2，即可得出结论；（2）通过证明△BCP∽△BAE，可得BCAB（3）本题需先证出△BCP∽△BAE，求出AE=12t，再分两种情况讨论，求出【解答】解：（1）当AB平分∠EBP时，∠PBF＝45°，∴∠CBP＝90°﹣∠PBF＝45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴PC＝BC＝2，∴t＝2；（2）∵A（2，0），C（0，3），∴AB＝3，BC＝2，∵BE⊥BP，∴∠EBP＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠PBC，又∵∠BCO＝∠BAE＝90°，∴△BCP∽△BAE，∴BCAB∴23∴AE=32（3）存在，理由如下：当点P在点O上方时，如图，若OPAE=OEAB时，又∵∠∴△POE∽△EAB，∵OP＝3﹣t，OE＝2+32∴3−t3解得：t1=−4+2133，t∴t=−4+2∴点P（0，13−213当点P在点O下方时，如图，①若OPAB=OEAE时，又∵∠则△OPE∽△ABE，∴t−33解得：t1＝3+13，t2＝3−∴OP＝t﹣3＝3+13−3∴CP＝OC+OP＝3+13∴t＝3+13∴点P（0，−13②若OPAE=OEAB，则△∴t−33整理得：94t2∴这种情况不成立；综上所述，在运动的过程中，存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，点P（0，13−2133）或（0，【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．12．【问题情境】（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称“欧几里得定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则：①CD2＝AD•BD，②AC2＝AB•AD，③BC2＝AB•BD；请你证明定理中的结论③BC2＝AB•BD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．①求证：△BOF∽△BED；②若BE=210，求OF（3）如图3，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E是CD上一动点，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，取BF的中点G，连接OG，当点E在CD上运动时，OG是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值．若不存在，请说明理由．【分析】（1）由CD⊥AB于点D，得∠CDB＝90°，而∠ACB＝90°，所以∠CDB＝∠ACB，因为∠B＝∠B，所以△CDB∽△ACB，则BCAB=BDBC，即可证明BC2＝（2）①由正方形的性质得AC⊥BD，则∠BOC＝∠BCD＝90°，而∠OBC＝∠CBD，则△OBC∽△CBD，所以BOBC=BCBD，推导出BC2＝BO•BD，再证明△FBC∽△CBE，得BFBC=BCBE，则BC2＝BF•BE，所以BO•BD＝BF•BE，变形为BOBE②由BC＝DC＝6，∠ACD＝90°，得BD=BC2+DC2=62，则BO=12BD＝32，而BE＝210，则CE（3）取BC的中点H，连接DF、DH、FH，由正方形的性质得BC＝DC＝6，∠BCD＝90°，而∠BFC＝90°，则FH＝BH＝CH＝3，求得DH＝35，由DF+FH≥DH，得DF≥DH﹣FH，由点O为BD的中点，点G为BF的中点，得DF＝2OG，所以2OG≥35−3，则OG≥35−32，所以OG【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CDB＝∠ACB，∵∠B＝∠B，∴△CDB∽△ACB，∴BCAB∴BC2＝AB•BD．（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝∠BCD＝90°，∵∠OBC＝∠CBD，∴△OBC∽△CBD，∴BOBC∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE于点F，∴∠BFC＝∠BCE＝90°，∵∠FBC＝∠CBE，∴△FBC∽△CBE，∴BFBC∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，∴BOBE∵∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED．②解：∵正方形ABCD的边长为6，∴BC＝DC＝6，∠ACD＝90°，∴BD=BC2∴BO＝DO=12BD＝3∵BE＝210，∴CE=B∴ED＝DC﹣CE＝6﹣2＝4，∵△BOF∽△BED，∴OFED∴OF=ED⋅BO∴OF的长为65（3）解：OG存在最小值，OG的最小值为35理由：如图3，取BC的中点H，连接DF、DH、FH，∵正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD交于点O，∴BC＝DC＝6，BO＝DO，∠BCD＝90°，∵CF⊥BE于点F，∴∠BFC＝90°，∴FH＝BH＝CH=12∴DH=CH2∵DF+FH≥DH，∴DF≥DH﹣FH，∵点O为BD的中点，点G为BF的中点，∴DF＝2OG，∴2OG≥35−∴OG≥3∴OG存在最小值，OG的最小值为35【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12cm，BD＝16cm，在Rt△QEF中，∠QEF＝90°，边QE和BO重合，边EF和OC重合．如图②，△QEF从图①所示位置出发，沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点P从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s．连接AQ，PE．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOQ为等腰三角形？（2）当PE∥AQ时，求t的值；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△DPE与△EFQ相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，AC＝12cm，BD＝16cm，BQ＝tcm，得AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝6cm，OB＝OD=12BD＝8cm，则OQ＝（8﹣t）cm，由OQ＝OA＝6cm，得8﹣t＝6，求得t＝2，所以当（2）当PE∥AQ时，则PDAD=EDQD，因为ED＝（8﹣t）cm，QD＝（16﹣t）cm，PD＝2tcm，AD＝AB=OA2+OB（3）由平移得∠EQF＝∠OBC，EQ＝OB＝8cm，FQ＝CB＝AB＝10cm，而∠PDE＝∠OBC，所以∠PDE＝∠EQF，分两种情况讨论，一是∠DPE＝∠QEF，则△DPE∽△EFQ，所以2t8=8−t10，求得t=167；二是∠DEP＝∠QEF，则△DPE∽△EFQ【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC＝12cm，BD＝16cm，BQ＝tcm，∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝6cm，OB＝OD=12∴∠AOB＝90°，OQ＝（8﹣t）cm，∵△AOQ为等腰三角形，∴OQ＝OA＝6cm，∴8﹣t＝6，解得t＝2，∴当t＝2时，△AOQ为等腰三角形．（2）当PE∥AQ时，则PDAD由平移得OE＝BQ＝tcm，∴ED＝（8﹣t）cm，QD＝（16﹣t）cm，∵PD＝2tcm，AD＝AB=OA2∴2t10整理得t2﹣21t+40＝0，解得t1=21−2812，t∴t的值为21−281（3）存在，由平移得∠EQF＝∠OBC，EQ＝OB＝8cm，FQ＝CB＝AB＝10cm，∵AD∥CB，∴∠PDE＝∠OBC，∴∠PDE＝∠EQF，∴当∠DPE＝∠QEF或∠DEP＝∠QEF时，△DPE∽△EFQ，当∠DPE＝∠QEF时，∵∠PDE＝∠EQF，∴△DPE∽△EFQ，∴PDEQ∴2t8解得t=16当∠DEP＝∠QEF时，∵∠PDE＝∠EQF，∴△DPE∽△EFQ，∴EDEQ∴8−t8解得t=40综上所述，存在某一时刻t，使△DPE与△EFQ相似，t的值为167或40【点评】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．14．如图，已知四边形OABC是矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交射线BA于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，∠ABE＝∠CBP＝45°°，AE＝3；（2）当S△AFES△OPE（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先证明△BCP是等腰直角三角形，再证明△ABE是等腰直角三角形，即可得到结果；（2）证明△CBP∽△ABE，得AE=32t，分点P（3）存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．分点P在y轴的正半轴上时，点P在y轴的负半轴上时两种情况讨论，分别列出关于t的方程从而解决问题．【解答】解：（1）∵点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，∴当t＝2时，PC＝2，∵四边形OABC是矩形，∴BC＝OA＝BC＝2，AB＝OC＝3，∠BCO＝∠CBA＝90°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴∠CBP＝45°，∵∠CBA＝90°，∴∠ABP＝45°，∵∠PBE＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠ABP＝45°，∵∠BAE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB＝3；故答案为：45°，3；（2）若点P在原点上方时，∵∠CBA＝∠PBE＝90°，∴∠CBP+∠PBA＝90°，∠ABE+∠PBA＝90°，∴∠CBE＝∠ABE，∵∠BCP＝∠BAE＝90°，∴△CBP∽△ABE，∴BCAB∴tAE∴AE=3∵四边形OABC是矩形，∴AB∥OP，∴△AEF∽△OEP，∵S△AFE∴AEOE∴OE＝2AE，∴2+3解得t=4当点P在原点下方时，同理可得AE=3∵AB∥OC，∴AF∥OP，∴△AEF∽△OEP，∵S△AFE∴AEOE∴OE＝2AE，∴2+3解得t=4综上所述，t=4（3）存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似，理由如下：当点P在y轴的正半轴上时，若△POE∽△EAB，∴OPAE∴3−t3解得t1=−4+2∴点P的坐标为(0，13−2若△POE∽△BAE，∴OPAB∴3−t3整理得t2＝﹣4，无实数根，舍去；当点P在y轴的负半轴上时，若△POE∽△EAB，∴OPEA∴t−33整理得t2＝﹣4，无实数根，舍去；若△POE∽△BAE，∴OPAB∴t−33解得t1=3+13∴点P的坐标为(0，−13综上所述，点P的坐标为(0，13−2133【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，本题的关键是综合运用各种图形的性质解题．15．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5a，BC＝6a，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE＝∠B．（1）求证：BD•CD＝AC•CE；（2）若CD＝2BD，求AD的长；（3）探究：AE长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证得△ABD∽△DCE，根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；（2）由CD＝2BD，CD+BD＝BC＝6a，得到CD＝4a，BD＝2a，由（1）知BD•CD＝AC•CE，求得CE=8（3）设BD＝x，CE＝y，由（1）知△ABD∽△DCE，根据相似三角形的性质得到ABCD=BDCE，得到5a6a−x=xy，整理得x2﹣6ax【解答】（1）证明：∵∠CDE+∠ADB＝180°﹣∠ADE，∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B，∵∠ADE＝∠B，∴∠CDE＝∠BAD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴ABCD∴BD•CD＝AB•CE，∵AB＝AC，∴BD•CD＝AC•CE；（2）解：∵CD＝2BD，CD+BD＝BC＝6a，∴CD＝4a，BD＝2a，由（1）知BD•CD＝AC•CE，即8a2＝5a•CE，∴CE=8∴AE=AC−CE=17∵∠DAE＝∠CAD，∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACD，∴ADAC∴AD=AC⋅AE（3）解：设BD＝x，CE＝y，由（1）知△ABD∽△DCE，∴ABCD∴5a6a−x∴x2﹣6ax+5ay＝0，∵方程有解，即△＞0，∴36a2﹣20ay≥0，得y≤9即CE最大值为95∴AE最小值为AC−CE=5a−9【点评】本题是相似形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是构建二次函数求最值问题，系统了数形结合的思想，属于中考常考题型．16．问题提出（1）如图1，四边形ABCD为矩形，点E为边BC上的一点，连接AE，过E作EF⊥AE交边CD于点F，若AB＝4，EC＝3，则BECF的值为43问题探究（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，AD=53，Rt△AEF的直角顶点E在边BC上，顶点F在边CD上，若cos∠EAF=32问题解决（3）如图3，是四边形ABCD是某科技园示意图，其中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝200m，AB＝400m，BC＝500m，点F是大门，CF＝300m，现需要在边BC上安装一个监控E，对道路AD、DF进行全天监控，监控E的角度为∠AEF，且tan∠AEF=43，监控E是否存在符合要求的安装位置，若存在，请求出【分析】（1）由四边形ABCD为矩形得∠B＝∠C＝90°，再根据同角的余角相等得∠BAE＝∠CEF，则△BAE∽△CEF，再根据相似三角形的性质即可求解；（2）同（1）得△BAE∽△CEF，则ABCE=BEFC=AEEF（3）作DH⊥BC于点H，则DH＝AB＝400m，CH＝BC﹣AD＝300（m），通过正切可求得∠C＝∠AEF，设BE＝x，延长CB至G，使得BG＝CH＝300m，则△AGE∽△ECF，根据性质得AGGE=EC【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠CEF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴BECF故答案为：43（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠CEF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴ABEC∵cos∠EAF=3∴∠EAF＝30°，∴tan∠EAF=EF∴ABEC∴EC=23∴BE=BC−EC=33∵BECF∴CF＝3；（3）存在，理由如下：如图，作DH⊥BC于点H，∴DH＝AB＝400m，BH＝AD＝200m，CH＝BC﹣BH＝500﹣200＝300（m），∴tanC=DH∴tanC=tan∠AEF=4∴∠C＝∠AEF，设BE＝x，延长CB至G，使得BG＝CH，∴tanG=4∴∠C＝∠AEF＝∠G，∴△AGE∽△ECF，∴AGGE∴500300+x整理得x2﹣200x＝0，解得x1＝0，x2＝200，经检验：x1＝0，x2＝200是原方程的解，∴BE＝0m或BE＝200m．【点评】本题考查了相似形的综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．17．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝15cm，BC＝20cm．BD⊥AC，垂足为D．点P从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q同时从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜10），连接PB，PQ．解答下列问题：（1）求AD的长度；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点C在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积与△ABC的面积之比是2：25？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）如图②，点B'是点B关于AC的对称点，连接B'P，当t为何值时，∠B'PD+∠DPQ＝180°？【分析】（1）根据勾股定理求得AC，进而根据△ABC∽△ADB可求得结果；（2）可表示出QC＝2tcm，PC＝（25﹣9﹣t）cm＝（16﹣t）cm，根据线段垂直平分线的性质得PC＝QC，列方程求解即可；（3）作PM⊥BC于M，证明△ABC∽△PMC，从而可表示出PM，进而根据△PBQ的面积与△ABC的面积之比是2：25，列式求解即可；（4）作QN⊥AC于N，证明△CNQ∽△CBA可表示出CN，进而表示出PN，根据△B′DP∽△QNP，列出比例式，即可解答．【解答】解：（1）∵∠B＝90°，∴AC=AB2∵∠A＝∠A，∠ABC＝∠ADB，∴△ABC∽△ADB，∴ABAD即15AD∴AD＝9；（2）存在某一时刻t，使点C在线段PQ的垂直平分线上，理由如下：由题意得，QC＝2tcm，PC＝（25﹣9﹣t）cm＝（16﹣t）cm，∵点C在线段PQ的垂直平分线上，∴PC＝QC，∴16﹣t＝2t，∴t=16∴当t=163s时，点C在线段（3）如图1，存在某一时刻t，使△PBQ的面积与△ABC的面积之比是2：25，作PM⊥BC于M，∵∠C＝∠C，∠PMC＝∠ABC，∴△ABC∽△PMC，∴ABPM即15PM∴PM=3∴12∴t1=13−29∴当t＝（13−29）s时，△PBQ的面积与△ABC（4）如图2，过点Q作QN⊥AC于点N，∵∠C＝∠C，∠QNC＝∠ABC，∴△CNQ∽△CBA，∴NCBC即NC20∴NC=85t∴QN=QC∴PN＝（16﹣t−85t）cm＝（16−∵点B'是点B关于AC的对称点，∴∠B′PD＝∠BPD，∵∠B'PD+∠DPQ＝180°，∴∠BPD+∠DPQ＝180°，∵∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠BPC＝∠DPQ，∴∠BPD＝∠CPQ，∵∠BDP＝∠QNP＝90°，∴△BDP∽△QNP，∴PNPD即16−13∴t1∴当t＝（329−13）s时，∠B'PD+∠DPQ【点评】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练运用这些性质．18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、点D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），BE＝5，OB=43（1）求点A、点C的坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使点C、点E、点P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由．【分析】（1）首先解方程x2﹣18x+72＝0求得方程的根，则A和C的坐标即可求得；（2）根据三角函数求得B的坐标，作EF⊥x轴于点F，根据△AEF∽△ABO，利用相似三角形的性质求得EF和OF的长，即可求得E的坐标利用待定系数法确定函数关系式，进而求得D点坐标与OD、CD；设P的坐标是（p，0），则PC＝p+6．分成△COD∽△CEP和△COD∽△CPE两种情况进行讨论即可求解．【解答】解：（1）x2﹣18x+72＝0即（x﹣12）（x﹣6）＝0，则x﹣12＝0，x﹣6＝0，解得：x＝12或x＝6，又∵OA＞OC，∴OA＝12，OC＝6，∴A的坐标是（12，0），C的坐标是（﹣6，0）．（2）∵OB=4∴OB=43则B的坐标是（0，16）．AB=O作EF⊥x轴于点F．则△AEF∽△ABO，∴AFOA∴AF12∴AF＝9，EF＝12，则OF＝12﹣9＝3，则E的坐标是（3，12）．∴CF＝3+6＝9，EF＝12，∴OE=9设直线CD的解析式是y＝kx+b，则−6k+b=03k+b=12解得：k=4则直线CD的解析式是y=43当x＝0时，y=43x+8＝8，即CD=O设P的坐标是（p，0），则PC＝p+6．当△COD∽△CEP时，CDCP=OC解得：P＝19，则P的坐标是（19，0）；当△COD∽△CPE时，OCCP=CD解得：p＝3，则P的坐标是（3，0）．总之，P的坐标是（19，0）和（3，0）．【点评】本题考查了相似三角形的判定、根与系数的关系以及坐标与图形性质，正确求得E的坐标是解决本题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P从点A出发，在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，移动时间为t秒．（1）求t＝9时，求线段EF的长；（2）移动过程中，是否存在这样的t值使得△PEF的面积等于40？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）移动过程中，是否存在t值使得以点E、O、P为顶点的三角形与△BOA相似？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由于EF∥x轴，则S△PEF=12⋅EF⋅OE，t=9时，OE＝9，关键是求EF．证明△BEF∽△BOA，则EF（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP＝∠BOA＝90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①∠EPO＝∠BAO；∠EPO＝∠ABO．【解答】解：（1）∵EF∥OA，∴∠BEF＝∠BOA又∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BOA，∴EFOA当t＝9时，OE＝9，OA＝20，OB＝15，BE＝OB﹣OE＝15﹣9＝6，∴EF=20×6（2）不存在．理由：∵△BEF∽△BOA，∴EF=BE⋅OA∴12整理，得t2﹣15t+60＝0，∵△＝152﹣4×1×60＜0，∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于40的t值；（3）当∠EPO＝∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴OPOA=OE解得t＝6；当∠EPO＝∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴OPOB=OE解得t=80∴当t＝6s或t=8011s时，△EOP【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段CD向点C运动，点Q从点C出发，沿线段AC向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止，设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先利用勾股定理求出AB＝10，再利用面积法求出CD；（2）先表示出CP，再判断出∠ACD＝∠B，进而分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论；（3）根据题意画出图形，分CQ＝CP，PQ＝PC，QC＝QP三种情况，利用相似三角形进行求解．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，根据勾股定理得：AB=A∵S△ABC∴CD=AC⋅BC（2）由（1）知，CD=24由运动知，CQ＝t，DP＝t，∴CP=CD−DP=24∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴①△CPQ∽△BCA，∴CPBC即245解得：t＝3；②△CPQ∽△BAC∴CPAB即245解得：t=9综上，t为3或95时，C、P、Q为顶点的三角形与△ABC（3）①若CQ＝CP，如图1，则t＝4.8﹣t．解得：t＝2.4；②若PQ＝PC，过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示，∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠HCP＝90°﹣∠DCB＝∠B，∵PH⊥AC，∴∠CHP＝90°，∴∠CPH＝∠ACB，∴△CHP∽△BCA，∴CHBC∵PQ＝PC，PH⊥QC，∴QH=CH=1则t2解得：t=144③若QC＝QP，过点Q作QE⊥CP垂足为E，如图3所示，同理可得：△CEQ∽△BCA，∴CEBC∵QC＝QP，QE⊥CP，∴CE=EP=1则12t=24综上所述，存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形；满足条件的t的值为2.4或14455或24【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理和动点三角形，利用等腰三角形“三线合一”将两腰相等转化为底边上的两条线段相等是解决第三小题的关键．21．如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣4，0），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，线段OA、OB的长度都是方程x2﹣3x+2＝0的解，且OB＞OA．若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．（1）如图1，判断三角形ABC的形状，并说明理由；（2）在点P运动过程中，利用图1及备用图1探究，当△AOP周长最短时，求点P运动的时间；（3）在点P的运动过程中，利用备用图2探究，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先解方程x2﹣3x+2＝0，得出AO＝1，0B＝2，再由OB2＝OA•OC＝4，即OAOB=OBOC，又∠AOB＝∠BOC＝90°，得到△AOB∽△BOC，则∠ABO＝∠BCO，证明∠（2）由于OA＝1为定值，所以OP+AP最小时，△AOP周长最短．由（1）知∠ABC＝90°，那么延长AB至点A′，使BA′＝AB，连接A′O，交BC于点P，此时△AOP周长最短．求出OA′的解析式，与直线BC的解析式联立组成方程组，解方程组求出P点坐标，进而得到点P运动的时间；（3）由于∠ABP＝∠AOB＝90°，所以分两种情况进行讨论：①当BPOB=ABOA时，△ABP∽△AOB；②当BPOA=ABOB时，△ABP∽△BOA，分别求出BP的长，再分点【解答】解：（1）△ABC为直角三角形；理由如下：∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x1＝1，x2＝2，∴AO＝1，0B＝2．∵OC＝4，∴OB2＝OA•OC＝4，∴OAOB又∵∠AOB＝∠BOC＝90°，∴△AOB∽△BOC，∴∠ABO＝∠BCO，∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴△ABC为直角三角形；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标代入得：b=2−4k+b=0解得k=1∴直线BC的解析式为y=1如图，延长AB至点A′，使BA′＝AB，连接A′O，交BC于点P，此时△AOP周长最短．∵A′与A关于BC对称，∴B是AA′的中点，∵B（0，2），A（1，0），∴A′（﹣1，4）．设直线OA′的解析式为y＝px，将点A′的坐标代入得：﹣p＝4，解得：p＝﹣4，故OA′的解析式为y＝﹣4x，联立得：y=−4xy=解得：x=−4∴P(−4∴CP=(−4+∴t=16（3）在点P的运动过程中，存在点P，能够使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似；分两种情况：①当BPOB=ABOA时，△∴BP2解得BP=25在直角三角形OBC中，由勾股定理得：BC=O如果点P1在线段BC上，那么CP1=BC−BP1=25−25如果点P2在线段CB的延长线上，此时点P与点C关于点B对称，∴P2（2×0+4，2×2﹣0）2，即P2（4，4）；②当BPOA=ABOB时，△∴BP1解得BP=5如果点P3在线段BC上，过点P3作P3H⊥x轴，则CP可得P3H∥OB，∴△CP3H∽△CBO，∴CP∴35∴P3∴OH＝1，∴P3如果点P4在线段CB的延长线上，此时点P4与点P3关于点B对称，∴P4(2×0+1，2×2−3综上所述，在点P的运动过程中，存在点P，能够使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似；P点坐标为P1（﹣4，0）或P2（4，4）或P3(−1，3【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以3cm/s的速度向点B匀速运动，设运动时间为ts（0≤t≤5），连接MN（1）发现：BM＝2tcm，BN＝（53−3t）cm（用含（2）猜想：若BM＝BN，则t的值为（103−15）（3）探究：是否存在符合条件的t，使△BMN与△ABC相似？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用路程等于速度乘以时间即可得出结论；（2）利用BM＝BN建立方程求解即可得出结论；（3）分两种情况，利用