中考数学总复习《解答压轴几何综合题》专项检测卷含答案

第页中考数学总复习《解答压轴几何综合题》专项检测卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、解答题1.（2024·广东深圳·统考中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．（1）如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；（2）如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；（3）①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．2.（2023·广东深圳·统考中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，①若，过作交于点，求证：；②若时，则______．（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．3.（2022·广东深圳·统考中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，为边上三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．4.（2024·广东深圳·盐田区一模）如图，等腰中，，，点为边上一点，于点，延长交于点．（1）求证：；（2）当平分时，求的值；（3）当点为的三等分点时，请直接写出的值．5.（2024·广东深圳·福田区三模）【初步探究】如图1，四边形是矩形，点P是平面内任一点，则下列结论成立的是（）A．；B．C．；D．【深入探究】如图2，正方形的边长为4，的半径为2，点P是上一动点，连接，，，设，．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的结论）①求的最小值；②直接写出的最大值，并直接写出此时的长．6.（2024·广东深圳·33校联考二模）在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．【操作探究】（1）如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与交于点H．①猜想：_________②证明：．【问题解决】（2）在（1）的条件下，已知，，求的长．【拓展提升】（3）如图2，在菱形中，，，将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长．7.（2024·广东深圳·33校联考一模）在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F．（1）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．①如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是________，位置关系是_________；②如图2，若点E在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，，，求的最小值．8.（2024·广东深圳·南山区一模）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．

（1）观察猜想：图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；（2）探究证明：把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．9.（2024·广东深圳·宝安区二模）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，，求．10.（2024·广东深圳·宝安区二模）（1）【问题探究】如图1，正方形中，点F、G分别在边、上，且于点P，求证：；（2）【知识迁移】如图2，矩形中，，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且于点P．若，求的长；（3）【拓展应用】如图3，在菱形中，，，点E在直线上，，交直线于点F．请直接写出线段的长．11.（2024·广东深圳·宝安区三模）如图1．四边形、都是矩形，点G在上，且，，，小李将矩形绕点C顺时针转，如图2所示：（1）①他发现的值始终不变，请你帮他计算出的值______．②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求出AG的长度是多少?（2）如图3，中，，，，G为的中点，点D为平面内的一个动点．且，将线段BD绕点D逆时针旋转α°，得到，则四边形的面积的最大值为______．12.（2024·广东深圳·福田区二模）问题探究：如图1，在正方形，点分别在边上，于点点分别在边上，．（1）①判断与的数量关系：_____；②推断：______(填数值)；（2）类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用1：如图3，四边形中，，，，点分别在边上，求的值．（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若，，求的长．13.（2024·广东深圳·光明区二模）在四边形中，点为线段上的动点（点与点不重合），连接，线段的垂直平分线与分别相交于点，连接．【探究发现】如图1，若四边形为矩形，，求证：；【能力提升】如图2，若四边形为矩形，是等腰三角形，求的长：【拓展应用】如图3，若四边形为菱形，的垂直平分线与、分别相交于点，连接．若是等边三角形，求的值．14.（2024·广东深圳·33校三模）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，请根据下面不同的折痕解决下列问题：问题（1）：如图，在矩形纸片中，将纸片沿对角线对折，边对折后与边相交于点E，试判断形状，并说明理由．问题（2）：如图，在矩形中，，以为折痕对折，B点落在的中点F处，求折痕的长问题（3）：如图，在矩形中，，P在直线上，Q在边上，以为折痕对折，B点落在边上对应点为F，当P到A点的距离为1时，直接写出折痕的长．15.（2024·广东深圳·龙华区二模）如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为的中点，将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：

思路一思路二第一步如图2，连接，，证明；如图3，将线段绕点F逆时针旋转至，连接，证明；第二步利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．利用全等三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．图形表达（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；【深入探究】（2）如图1，当点E与点B不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．16.（2024·广东深圳·罗湖区二模）【问题提出】(1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____【问题探究】(2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积；【问题解决】(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．17.（2024·广东深圳·罗湖区三模）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边，上的点，连接，，且于点G，若，，求的值．（1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．【初步运用】（2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点点E，交于点F，求的值．【灵活运用】（3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，则______．18.（2024·广东深圳·南山区三模）如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，．（1）问题解决：①写出与的数量关系：________；②的值为________；（2）类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求的值．19.（2024·广东深圳·南山区二模）（1）问题呈现：如图1，和都是直角三角形，，且．连接，，求的值．（2）类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，延长交于点，设，求的长；（3）拓展提升：如图3，在等边中，，是边上的中线，点从点移动到点，连接，以为边长，在的上方作等边，求点经过的路径长．20.（2024·广东深圳·九下期中）（）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．（）初步探究：如图，在四边形中，于点，连接，．的度数为；求长．（）拓展运用：如图，在平行四边形中，是边上一点，．按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．过点作交于点，过点作于点，为射线上一动点，连接，若，直接写出的值．例：如图，在中，是斜边上的中线．求证：．证明：延长至点，使，连接．…参考答案一、解答题1.（2024·广东深圳·统考中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．（1）如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；（2）如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；（3）①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．【答案】（1），（2），理由见解析（3）①见解析；②或．【解析】【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得；（2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案；（3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线；在延长线上取点F，使，连接；②根据①中的三种情况讨论：第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得；第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得；第三种情况无交点，不符合题意．【小问1详解】解：，为的中点，，，，，，，即，解得，，；故答案为：1；；【小问2详解】解：，理由如下：根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点，，；又，，；设，则，，，，，，，，；【小问3详解】解：①第一种情况：作的平行线，使，连接，则四边形为平行四边形；延长交于点，，，，，，，即，为的中点；故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：第二种情况：作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，故为的中点；同理可证明：，则，则四边形是平行四边形；故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：第三种情况：作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线；在延长线上取点F，使，连接，则为的中点，同理可证明，从而，故四边形是平行四边形；故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：②若按照图1作图，由题意可知，，四边形是平行四边形，，，是等腰三角形；过P作于H，则，，，，，，；,，，，即∴若按照图2作图，延长、交于点，同理可得：是等腰三角形，连接，，，，，；同理，，，，，，即，，若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意）故答案为：或．【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键．2.（2023·广东深圳·统考中考真题）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，①若，过作交于点，求证：；②若时，则______．（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）或或【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质得出，，进而证明结合已知条件，即可证明；②由①可得，，证明，得出，根据，即可求解；（2）根据菱形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分三种情况讨论，①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，证明，解，进而得出，根据，得出，建立方程解方程即可求解；②当点在边上时，如图所示，连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，同理证明，根据得出，建立方程，解方程即可求解；③当点在边上时，如图所示，过点作于点，求得，而，得出矛盾，则此情况不存在．【详解】解：（1）①∵四边形是矩形，则，∴，又∵，∴，，∴，又∵，∴；②由①可得，∴∴，又∵∴,故答案为：．（2）∵在菱形中，，∴，，则，∵，∴，∵∴，∴，∵，∴,又，∴，∴，∴；（3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，∵平行四边形中，，，∴，,∵，∴∴，∴∴在中，，则，，∴∴，∵，∴∴∴∴设，则，，，∴解得：或，即或，②当点在边上时，如图所示，连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，设，则，，∵∴∴，∴∴，∵∴过点作于点，在中，，∴，，∴，则，∴，∴，，∴∴，即，∴即解得：（舍去）即；③当点在边上时，如图所示，过点作于点，在中，，，∴，∵，∴，∵，∴点不可能在边上，综上所述，的长为或或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．3.（2022·广东深圳·统考中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，为边上三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或【解析】【分析】（1）根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证；（2）延长，交于，设，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为；（3）分两种情况：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有①，在中，②，可解得，；（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，．【详解】证明：（1）将沿翻折到处，四边形是正方形，，，，，，；（2）解：延长，交于，如图：设，在中，，，解得，，，，，，即，，，，，，，，即，，设，则，，，，即，解得，的长为；（3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：设，，则，，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分线，，即①，，，，，在中，，②，联立①②可解得，；（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：同理，，即，由得：，可解得，，综上所述，的长为或．【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．4.（2024·广东深圳·盐田区一模）如图，等腰中，，，点为边上一点，于点，延长交于点．（1）求证：；（2）当平分时，求的值；（3）当点为的三等分点时，请直接写出的值．【答案】（1）见解析（2）（3）或【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定进行推理证明；（1）证明，列出比例证明即可；（2）作交延长线于W，证，再利用三角函数求解即可；（3）作交于P，然后分类讨论，根据相似求出比值即可．【小问1详解】证明：∵，，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴；【小问2详解】解：作交延长线于W，∴，，∵，，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，，∴，，∴．【小问3详解】解：作交于P，当时，∴，，，，∴，，∴，∴，∴．当时，∴，，∴，，∴，∴，∴．综上所述，当点D为的三等分点时，的值为或6．5.（2024·广东深圳·福田区三模）【初步探究】如图1，四边形是矩形，点P是平面内任一点，则下列结论成立的是（）A．；B．C．；D．【深入探究】如图2，正方形的边长为4，的半径为2，点P是上一动点，连接，，，设，．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的结论）①求的最小值；②直接写出的最大值，并直接写出此时的长．【答案】22.D23.①；②【解析】【分析】（1）如图所示，过点P作于点F，交的延长线于点E，交的延长线于点G，利用勾股定理证明选项D正确；（2）①连接、，则，由（1）知，，所以当最小时，的最小；②如图所示，在、上分别截取，利用相似三角形的性质证明，，由，推出（等号成立时，点P在直线与的交点处，如图），可得的最大值为，再求出此时的值即可．22题详解】如图所示，过点P作于点F，交的延长线于点E，交的延长线于点G，则四边形、四边形、四边形都是矩形，，，，，，，，，，故选：D；【23题详解】①的最小值为．理由如下：如图所示，连接、，则，由（1）知，，当最小时，的最小，而（等号成立时，点P位于上），的最小为；②如图所示，在、上分别截取，，，，，，同理可得（等号成立时，点P在直线与的交点处，如下图）的最大值为连接、，交于点F，则，，，，，，，，．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的有关性质、矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角线解决问题．6.（2024·广东深圳·33校联考二模）在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．【操作探究】（1）如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与交于点H．①猜想：_________②证明：．【问题解决】（2）在（1）的条件下，已知，，求的长．【拓展提升】（3）如图2，在菱形中，，，将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长．【答案】（1）①.②.详见解析（2）（3）和【解析】【分析】（1）①由等边对等角结合三角形内角和定理，得出的度数；②由旋转的性质可推导出；（2）由，利用计算出，再根据，计算出，最后计算出；（3）当E落在上，由推导出，得到F在的延长线上，根据的面积等于菱形的一半，得到的长度，最后算出；当E落在上，推导出E在菱形的对角线上，由，推导出E、M、B、N四点共圆，再利用和计算、，最后算出、．【小问1详解】①由题意可知，，A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上，，②证明：由旋转的性质可知，，，．【小问2详解】，，由勾股定理得，，锐角顶点D恰好落在的斜边上，，A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上，，，，，，，设，则，，，解得，经检验，是方程的解，，．【小问3详解】①当E落在上时，如图所示，连接、、，由M是中点和旋转可知，，又，，又四边形是菱形和在同一直线，F在的延长线上，由（1）①可知（已证），，菱形中，，，如图所示，，，，又，，在中，，，，和菱形等底等高，；②当落在上时，如图所示，作交于点由旋转可知，，四边形是菱形，在对角线的中点上，即在和的交点上是的中点，是的中点，，由旋转可知，、、、四点共圆如下图所示，连接和，，在中，，【点睛】本题考查了图形旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质、圆周角定理的性质与应用、四点共圆等知识点，解题的关键是熟知以上定理并能作出相应的图形．7.（2024·广东深圳·33校联考一模）在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F．（1）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．①如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是________，位置关系是_________；②如图2，若点E在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，，，求的最小值．【答案】（1）①相等；垂直；②成立，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）①证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再证明四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果；②根据（1）中同样的证明方法求证即可；（2）说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x，证明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值．【详解】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH为等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四边形BEHF为平行四边形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH，故答案为：相等；垂直；②成立，理由是：当点E在线段BC的延长线上时，同理可得：△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH为等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四边形BEHF为平行四边形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH；（2）∵∠EGF=∠BCD=90°，∴C、E、G、F四点共圆，∵四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点，∴M也是EF中点，∴M是四边形BCHF外接圆圆心，则GM的最小值为圆M半径的最小值，∵AB=3，BC=2，设BE=x，则CE=2-x，同（1）可得：∠CBF=∠BAE，又∵∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE∽△BCF，∴，即，∴CF=，∴EF===，设y=，当x=时，y取最小值，∴EF的最小值为，故GM的最小值为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键．8.（2024·广东深圳·南山区一模）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．

（1）观察猜想：图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；（2）探究证明：把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．【答案】（1），；（2）为等腰直角三角形，理由见解析；（3）．【解析】【分析】（）根据，，得，再根据三角形中位线定理可知，，，，利用平行线的性质可证得；（）先通过证明，得，，再由()同理可证；（）由三角形三边关系可知：，由()知：是等边三角形，，则最大值为，即可求得的最大面积．【小问1详解】解：∵，，∴，∵点分别为中点，∴，，，，∴，，，∴，∵∠，∴，故答案为：，；【小问2详解】解：为等腰直角三角形，理由如下：由旋转可知：，又∴，，∴，∴，，∵点分别为的中点，∴，，，，∴，，，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形；【小问3详解】解：由三角形三边关系可知：，即，∴的最大值为，由()知，是等腰直角三角形，，∴时，最大，．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边性质，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明是解题的关键．9.（2024·广东深圳·宝安区二模）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，，求．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由菱形的性质得且，再证明，则四边形是平行四边形，然后证明，即可得出结论．（2）过点作于点，则，得，由菱形的性质和勾股定理得，再由菱形面积求出的长，进而由勾股定理求出的长，然后由三角形面积求出的长，即可解决问题．【小问1详解】证明：四边形菱形，且，，，即，，，四边形是平行四边形，，，平行四边形是矩形；【小问2详解】解：如图，过点作于点，则，，四边形是菱形，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键．10.（2024·广东深圳·宝安区二模）（1）【问题探究】如图1，正方形中，点F、G分别在边、上，且于点P，求证：；（2）【知识迁移】如图2，矩形中，，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且于点P．若，求的长；（3）【拓展应用】如图3，在菱形中，，，点E在直线上，，交直线于点F．请直接写出线段的长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或【解析】【分析】(1)由正方形的性质得，，而，则，即可根据“”证明，得；(2)作于点M，交于点J，作于点N，交于点I，由矩形的性质得，，可证明四边形是矩形，则，，所以，再证明四边形是矩形，得，，所以，而，可证明，进而证明，得，则，所以，即可求得的长是；(3)作于点M，交的延长线于点M，由菱形的性质得，，则，求得，，则，再分两种情况讨论，一是点E在线段上，则，，，求得，设设于点G，，则，求得，则，由，求得，则；二是E在线段的延长线上，则，，求得，设设于点L，则，求得，则，由，求得，则．【详解】（1）∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）如图2，作于点M，交于点J，作于点N，交于点I，则，∵四边形是矩形，，，∴，，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，∵于点P，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴的长是．（3）线段的长为或，理由如下：如图3，作于点M，交的延长线于点M，则，∵四边形是菱形，，，∴，，∴，∴，，∴，，∴，当点E在线段上，且，则，∴，∴，设于点G，则，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；如图4，点E在线段的延长线上，且，则，∴，∴，设于点L，则，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，综上所述，线段的长为或．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．11.（2024·广东深圳·宝安区三模）如图1．四边形、都是矩形，点G在上，且，，，小李将矩形绕点C顺时针转，如图2所示：（1）①他发现的值始终不变，请你帮他计算出的值______．②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求出AG的长度是多少?（2）如图3，中，，，，G为的中点，点D为平面内的一个动点．且，将线段BD绕点D逆时针旋转α°，得到，则四边形的面积的最大值为______．【答案】（1）①；②或．（2）【解析】【分析】（1）①解直角三角形求出，，，可得结论．②分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在的延长线上时，分别求出，，可得结论．（2）如图3中，连接，，过点作于点．解直角三角形求出，证明，推出，由题意，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当点在的延长线上时，的面积最大，最大值，由此可得结论．【小问1详解】①的值不变，理由如下：如图1中，四边形是矩形，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，．故答案为：；②如图中，当点在线段上时，连接，过点作于．，，，，，，，，，．如图中，当点在的延长线上时，同法可得，，综上所述，的长为或．【小问2详解】如图3中，连接，，过点作于点．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当点在的延长线上时，的面积最大，最大值，的面积的最大值为，四边形的面积的最大值．故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．12.（2024·广东深圳·福田区二模）问题探究：如图1，在正方形，点分别在边上，于点点分别在边上，．（1）①判断与的数量关系：_____；②推断：______(填数值)；（2）类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用1：如图3，四边形中，，，，点分别在边上，求的值．（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若，，求的长．【答案】（1）；1（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）①由正方形的性质得，．所以，又知，所以，于是，可得．②证明四边形是平行四边形即可解决问题．（2）如图2中，过点作于．证明即可解决问题．（3）如图3，过点作，交的延长线于点，过点作，连接，证明，得出，证明，可得出，由勾股定理求出，则可得出答案．（4）过点作交的延长线于．利用相似三角形的性质求出，即可解决问题．【小问1详解】解：（1）①证明：四边形是正方形，，．．，．．，．故答案为：．②结论：．理由：，，，，四边形平行四边形，，，，．故答案为：1．【小问2详解】结论：．理由：如图2中，过点作于．根据折叠的性质可得，，，，，，，，，四边形是矩形，，．【小问3详解】如图3，过点作，交的延长线于点，过点作，连接，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，且，，且，，，，，，，(不合题意，舍去)，，，由（2）的结论可知：．【小问4详解】解：如图2中，过点作交的延长线于．，设，，，，，，，或(舍弃)，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．13.（2024·广东深圳·光明区二模）在四边形中，点为线段上的动点（点与点不重合），连接，线段的垂直平分线与分别相交于点，连接．【探究发现】如图1，若四边形为矩形，，求证：；【能力提升】如图2，若四边形为矩形，是等腰三角形，求的长：【拓展应用】如图3，若四边形为菱形，的垂直平分线与、分别相交于点，连接．若是等边三角形，求的值．【答案】探究发现：见解析能力提升：或拓展应用：【解析】【分析】探究发现：根据矩形的性质得到，然后得到，然后利用证明即可；能力提升：分、和三种情况，分别解题即可；拓展应用：过点作于点，可得到，然后可得点F、Q重合即可解题．【详解】探究发现：∵四边形为矩形，，∴，∴，∴，又∵垂直平分，∴，∴；能力提升：当时，过点F作于点P，则四边形为矩形，设，连接，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，解得，∴，∵垂直平分，∴，，在中，，即，解得或（舍）；当时，过点F作于点P，则四边形为矩形，∴，又∵，∴，∴，∴，舍去；当时，连接，∵垂直平分，∴，∴是菱形，∴，∴点D和E重合，∴；故当或时，是等腰三角形；拓展应用:过点作于点，∵，∴，∵四边形为菱形，∴，，∴，∴，又∵是等边三角形，∴，，∴点F、Q重合，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．14.（2024·广东深圳·33校三模）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，请根据下面不同的折痕解决下列问题：问题（1）：如图，在矩形纸片中，将纸片沿对角线对折，边对折后与边相交于点E，试判断形状，并说明理由．问题（2）：如图，在矩形中，，以为折痕对折，B点落在的中点F处，求折痕的长问题（3）：如图，在矩形中，，P在直线上，Q在边上，以为折痕对折，B点落在边上对应点为F，当P到A点的距离为1时，直接写出折痕的长．【答案】（1）等腰三角形，理由见解析；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）由矩形性质得，则，由折叠得，所以，则是等腰三角形；（2）连接交于点L，由矩形的性质得，，，由折叠得，点F与点B关于直线对称，则，所以，可证明，由，求得，由，求得；（3）分两种情况讨论，一是点P在线段上，且，连接交于点K，则，，，因为垂直平分，所以，，可证明，则，所以，则，由，求得，所以；二是点P在线段的延长线上，且，则，连接交于点，由，得，求得，由，求得，则．【详解】解：（1）是等腰三角形，理由：如图1，∵四边形是矩形，∴，∴，∵将矩形沿对角线对折，边对折后与边相交于点E，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）如图2，连接交于点L，∵四边形是矩形，，∴，∵为折痕对折，B点落在的中点F处，∴，点F与点B关于直线对称，∴，垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴折痕的长为．（3）折痕的长为或，理由：如图3，点P在线段上，且，连接交于点K，∵四边形是矩形，，∴，∵以为折痕对折，B点落在边上对应点为F，∴点F与点B关于直线对称，∴垂直平分，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；如图4，点P在线段的延长线上，且，连接交于点R，∵垂直平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，综上所述，折痕的长为或．【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，正确地作出辅助线是解题的关键．15.（2024·广东深圳·龙华区二模）如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为的中点，将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：

思路一思路二第一步如图2，连接，，证明；如图3，将线段绕点F逆时针旋转至，连接，证明；第二步利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．利用全等三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．图形表达（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；【深入探究】（2）如图1，当点E与点B不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．【答案】（1）①选择思路一，证明见解析；选择思路二，证明见解析；②或；（2）成立，证明见解析；（3）4或【解析】【分析】（1）①选择思路一：连接，如图所示，根据正方形的性质得到，，由旋转的性质证明是等腰直角三角形，进而得到，即可推出，，据此可证明；选择思路二：将线段绕点F逆时针旋转至，连接，如图所示，由旋转的性质可得，再证明，即可证明；②选择思路一：利用相似三角形的性质即可得到答案；选择思路二：由全等三角形的性质得到，过点H作于M，证明四边形是正方形，推出，进而得到，即可得到；（2）连接，同理可证明；得到；再由直角三角形的性质得到，则；（3）由于，则，进而得到，故当为直角三角形，不能作为斜边；当时，和共线，则E和A重合，G和D重合，由正方形的性质可得，则；当时，连接，过B作于M，如图：证明，设，则，，由勾股定理得，则；证明是等腰直角三角形，得到，则，由勾股定理得，则，据此可得．【详解】解：（1）①选择思路一：证明：连接，如图所示，∵四边形是正方形∴，，由旋转得，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，∴，∴；选择思路二：证明：将线段绕点F逆时针旋转至，连接，如图所示，由旋转的性质可得，∴，∴，∴；②思路一：由（1）①知，∴，∵为的中点，∴∴，∴，即；思路二：由（1）①知，∴，如图所示，过点H作于M，则四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，即；综上所述，；（2）如图所示，连接，∵四边形是正方形∴，，由旋转得，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，∴，∴；∴；∵在中，点F为的中点，∴，∴，∴；（3）∵E在边上，∴，∴，∵，∴，∵为直角三角形，∴不能作为斜边，①当时，∵，∴和共线，∴E和A重合，G和D重合，如图：∴由正方形的性质可得，∴；当时，连接，过B作于M，如图：由（2）知，，∴，∵，∴，∵，∴，设，则，，中，由勾股定理得，∴；在中，F是中点，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．16.（2024·广东深圳·罗湖区二模）【问题提出】(1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____【问题探究】(2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积；【问题解决】(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在一个面积最小的，其最小值为平方米【解析】【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解；（2）延长到使得，连接，证明，，得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解；（3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，得出，过点作于，作于，则四边形是矩形，则，得出当的面积最小时，的面积最小；作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，当最小时，的面积最小，进而求得当、、三点共线时，有最小值，最小值为米，然后根据，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，∵等边的边长为，∴，，∴又∵，∴的面积为，故答案为：．（2）如图所示，延长到使得，连接，四边形是正方形，，，，，，∠，，，，又，，，，又，；（3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，，，，，过点作于，作于，则四边形是矩形，，，，当的面积最小时，的面积最小；如图所示，作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，设，，，，，，当最小时，的面积最小，，，，当、、三点共线时，有最小值，最小值为米，平方米存在一个面积最小的，其最小值为平方米．【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质，旋转的性质，圆的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识并应用是解题的关键．17.（2024·广东深圳·罗湖区三模）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边，上的点，连接，，且于点G，若，，求的值．（1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．【初步运用】（2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点点E，交于点F，求的值．【灵活运用】（3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，则______．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出，，，证明，由相似三角形的性质得出．（2）过点作的垂线，过点作的垂线，垂足为，过点作的平行线，分别交两条垂线于、，则四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出答案．（3）过作于，交的延长线于点，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，设，，则，，由勾股定理得出，则可得出答案．【详解】解：（1）四边形是矩形，且，，，，，，，，，，，．（2）过点作的垂线，过点作的垂线，垂足为，过点作的平行线，分别交两条垂线于、，如图：则四边形为矩形，为的中点，，，，，，，，，，，，，，设，则，，由（1）知：，．（3）过作于，交的延长线于点，如图：，即，，四边形是矩形，，，在和中，，，，，，，，，，，设，，则，，，在中，由勾股定理得：，，解得：或（舍去），，故答案为：．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．18.（2024·广东深圳·南山区三模）如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，．（1）问题解决：①写出与的数量关系：________；②的值为________；（2）类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求的值．【答案】（1）①；②1．（2）（3）【解析】【分析】（1）根据证明，则可得，再证明四边形是平行四边形，则可得，进而可得，即可求解．（2）作于M，先证，则可得，再证四边形是矩形，则可得，由此可得，由可得．（3）过点C作，交的延长线于点M，过点B作，连接，根据证明，则可得，再证，则可得，由此得，在中，根据勾股定理列方程即可求出的长，进而求出的长，由此可得的值．【小问1详解】①证明：∵四边形是正方形，，．．，．．，．故答案为：．②结论：．理由：，，，，∴四边形平行四边形，，，，∴；【小问2详解】．理由：如图2，作于M．，，，，，，∴，，∴四边形是矩形，，∴，∵（k为常数），∴．【小问3详解】如图③，过点C作，交的延长线于点M，过点B作，连接，，，，∴四边形是矩形，，，，，，，，，，，，又，，，，，，（不合题意，舍去），或，，由（2）的结论可知：．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．19.（2024·广东深圳·南山区二模）（1）问题呈现：如图1，和都是直角三角形，，且．连接，，求的值．（2）类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，延长