人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．已知，则（）A． B． C． D．2．已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为，则该扇形的周长为（）A． B． C． D．3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（）A． B．C． D．4．计算的结果是（）.A． B． C． D．5．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则（）A． B． C． D．6．的值为（）A． B． C． D．17．若角，均为锐角，，，则（）A． B． C．或 D．8．若函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则的值可能为（）A． B． C．1 D．29．已知，则的值为（）A． B． C． D．10．已知且，则（）A． B． C． D．11．若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是（）A． B． C． D．12．函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度二、填空题13．已知，则__________.14．已知函数，对，成立，则_______.15．已知，则_____________________.16．方程在上的解的个数为______.17．在中，，，则=______.18．已知，则________.19．设，，若对任意成立，则下列命题中正确的命题是______.（填序号）①；②；③不具有奇偶性；④的单调增区间是；⑤可能存在经过点的直线与函数的图象不相交.20．已知，，则________.三、解答题21．有一展馆形状是边长为2的等边三角形，把展馆分成上下两部分面积比为1：2（如图所示），其中在上，在上.（1）若是中点，求的值；（2）设，.①求用表示的函数关系式；②若是消防水管，为节约成本，希望它最短，的位置应在哪里？22．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）函数的单调递减区间．23．在①函数的图象关于点对称；②函数在上的最小值为；③函数的图象关于直线对称.这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，再解答这个问题.已知函数，若满足条件与.（1）求函数的解析式；（2）若将函数的图象上点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.24．已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若当时，关于的不等式_______，求实数的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立．注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．25．如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点.（1）若点的横坐标为，求的值.（2）若将绕点逆时针旋转，得到角(即)，若，求的值.26．已知函数.（1）若，，求的值．（2）先将函数的图像上所有点向左平移个单位，再把所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数的单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果.【详解】因为，所以.故选：D.2．A解析：A【分析】由题意利用扇形的面积公式可得，解得的值，即可得解扇形的周长的值．【详解】解：设扇形的半径为，则弧长，又因为扇形的面积为，所以，解得，故扇形的周长为．故选：．3．A解析：A【分析】利用图象可得出，求出函数的最小正周期，可求得的值，再将点代入函数的解析式，结合的取值范围，求出的值，进而可得出函数的解析式.【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，，，又，可得，，，，解得，因此，.故选：A.【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函数的最小正周期，进而得出；（3）取特殊点代入函数可求得的值.4．C解析：C【分析】直接化简求值即可.【详解】解：.故选：C.5．D解析：D【分析】利用三角函数的最值，取自变量、的特值，然后判断选项即可.【详解】因为函数的周期为，由题意可得：，若，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有，所以不妨取，则，即在取得最小值，所以，此时，又，所以此时不符合题意，取，则，即在取得最小值，所以，此时，当时，满足题意，故选：D．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出，得出，再利用正弦函数取得最小值的点，求得的值，属于中档题．6．C解析：C【分析】利用诱导公式化简整理，结合两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】．故选：C．7．B解析：B【分析】由平方关系求得，，然后由两角差的余弦公式计算．【详解】，均为锐角，，，，，．故选：B．8．A解析：A【分析】先求解出右移个单位后的函数解析式，然后根据诱导公式求解出的可取值.【详解】因为右移个单位后得到，又因为与的图象重合，所以令，所以，所以可取，此时，故选：A.【点睛】思路点睛：根据三角函数的图象重合求解参数或的思路：

（1）先根据诱导公式将函数名统一；（2）然后分析三角函数初相之间的关系；（3）对进行取值（有时注意结合所给范围），确定出满足条件的或的值.9．C解析：C【分析】利用诱导公式先化简整理函数，再利用诱导公式求值即可.【详解】由，利用诱导公式得：，所以；故选：C.10．A解析：A【分析】由条件可得，然后可得，然后，即可算出答案.【详解】因为，，所以所以故选：A11．A解析：A【分析】先求出平移后的解析式为，令解方程即可求解.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得：，令，解得：，当时，，所以平移后图象的一个对称中心为，故选：A12．A解析：A【分析】首先根据函数的图象得到，再根据三角函数的平移变换即可得到答案.【详解】由题知：，所以，解得.，所以，，解得，.又因为，所以，.因为，所以只需将的图象向右平移个单位长度.故选：A二、填空题13．【分析】利用诱导公式化简得出根据的代换结合齐次式化简计算得出函数值【详解】由已知得：则故答案为：解析：【分析】利用诱导公式化简得出，根据””的代换结合齐次式化简计算得出函数值．【详解】由已知得：，则故答案为：14．1【分析】利用辅助角公式和为的形式：根据已知可得是f(x)的图象的对称轴进而求得利用的关系和诱导公式求得的值【详解】解：其中∵对成立∴是f(x)的图象的对称轴即∴故答案为：1【点睛】本题考查三角函数解析：1【分析】利用辅助角公式和为的形式：，根据已知可得是f(x)的图象的对称轴，进而求得，利用的关系和诱导公式求得的值.【详解】解：，其中.∵对，成立，∴是f(x)的图象的对称轴，即,∴，，故答案为：1.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解的关系是基础，由对，成立，得出是f(x)的图象的对称轴是关键.15．【分析】结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系由即可求出正确答案【详解】解：因为所以所以故答案为:解析：【分析】结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系，由即可求出正确答案.【详解】解：因为，所以，所以，故答案为:.16．3【分析】先求出解的一般形式再根据范围可求解的个数【详解】因为故故令故故答案为：3解析：3【分析】先求出解的一般形式，再根据范围可求解的个数.【详解】因为，故，故，令，故，故答案为：3.17．3【分析】由已知和正切和角公式求得再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案【详解】中有所以所以故答案为：3解析：3【分析】由已知和正切和角公式求得，再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案．【详解】中，有，所以，，所以，故答案为：3.18．【分析】由再结合诱导公式可得结果【详解】【点睛】方法点睛：利用诱导公式求值或化简时常用拼凑角常见的互余关系有：与与与等；常见的互补关系有：与与等；解析：【分析】由，再结合诱导公式可得结果.【详解】【点睛】方法点睛：利用诱导公式求值或化简时，常用拼凑角,，常见的互余关系有：与，与，与等；常见的互补关系有：与，与等；19．①③【分析】由题可知直线与函数的图象的一条对称轴可求得可化简函数的解析式为计算出的值可判断①的正误；计算可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正解析：①③【分析】由题可知，直线与函数的图象的一条对称轴，可求得，可化简函数的解析式为.计算出的值，可判断①的正误；计算、，可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取，利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正确，求出直线的方程，结合函数的最值可判断⑤的正误.【详解】由题可知，直线与函数的图象的一条对称轴，可得，整理可得，即，..对于命题①，，①正确；对于命题②，，，所以，，②不正确；对于命题③，，，则且，所以，函数不具有奇偶性，③正确；对于命题④，当时，则，当时，函数在区间上单调递减，④错误；对于命题⑤，假设经过点的直线与函数的图象不相交，则该直线与轴平行，此时该直线的方程为，则，由于，矛盾，⑤错误.故答案为：①③.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的单调性、奇偶性、三角函数值的计算，解题的关键就是从分析得出直线与函数的图象的一条对称轴，进而借助辅助角公式化简得出、的倍数关系.20．【分析】将和两边同时平方然后两式相加再由两角差的余弦公式即可求解【详解】由两边同时平方可得由两边同时平方可得两式相加可得即所以故答案为：【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式解题解析：【分析】将和两边同时平方，然后两式相加，再由两角差的余弦公式即可求解.【详解】由两边同时平方可得，由两边同时平方可得，两式相加可得即，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式，解题的关键是熟练掌握公式，,并应用，属于中档题.三、解答题21．（1）；（2）①；②.【分析】（1）利用三角形的面积公式，得到，根据是中点，即可求得的长；（2）对于①中，由（1）得到，求得，在中，由余弦定理，即可求得函数的解析式；②根据是消防水管，结合基本不等式，即可求得的值，得到的位置.【详解】（1）依题意，可得解得，又因为是中点，则，所以.（2）对于①中，由（1）得，所以，因为，可得，所以，在中，由余弦定理得，所以.②如果是消防水管，可得，当且仅当，即，等号成立．此时，故，且消防水管路线最短为.【点睛】利用基本不等式求解实际问题的解题技巧：利用基本不等式求解实际应用问题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；在应用基本不等式求最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.22．（1）；（2）【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式将函数化为，由周期公式即可求解.（2）由正弦函数的单调递减区间，整体代入即可求解.【详解】（1），所以函数的最小正周期，（2），解不等式可得，所以函数的单调递减区间为23．（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）分别选①②，②③，①③三种情况，根据三角函数的性质，即可求出函数解析式；（2）由（1）的结果根据三角函数的伸缩变换与平移原则，求出，再根据正弦函数的单调性，即可求出单调递减区间.【详解】解：（1）选①②因为为的对称中心，所以又，所以；因为，所以，所以所以，所以；所以选②③因为为的一条对称轴，所以，所以，又，所以，因为，所以；所以，所以，所以，所以；选①③，由前面两种情况，可得，根据对称性只能求得，所以；（2）当时，将函数的图象上点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图像，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，所以；当时，同理可得，令解得：所以函数的减区间为.【点睛】思路点睛：求解三角函数解析式，以及三角函数性质的题目，一般需要根据三角函数的单调性、对称性等，结合题中条件，求出参数，即可得出解析式；求解三角函数性质问题时，一般根据整体代入的方法，结合正余弦函数的性质求解.24．（1）；（2）若选择①，．若选择②，．【分析】(1)先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求;(2）若选择①，由有解，即，结合正弦函数的性质可求;若选择②，由恒成立，即，结合正弦函数的性质可求.【详解】（1）因为令，解得所以函数的单调递增区间（2）若选择①，由题意可知，不等式有解，即，因为，所以，故当，即时，取得最大值，且最大值为，所以.若选择②，由恒成立，即,因为，所以,故当，即时,取得最小值，且最小值为，所以【点睛】关键点点睛：考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，其中，考查了存在性命题与全称命题的理解，理解含量词命题转化成适当的不等式是解题关键，属于中档试题.25．（1）（2）【分析】（1）由三角函数的定义知，，，又，代入即可得到答案；（2）利用公式计算即可.【详解】（1）在单位圆上，且点的横坐标为，则，，.（2）由题知，则则.【点睛】本题考查二倍