湖南省新高考2024届高三第二次联考数学试卷

湖南省新高考2024届高三第二次联考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题1．某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为()成绩（单位：环）678910人数12241A．2 B．8 C．8.2 D．8.52．若椭圆x2A．55 B．33 C．55或12 3．张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列.有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸.几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码.现在问题是，另外一个缺货尺寸是()A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码4．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G，H分别为BBA．E，F，G，H四点共面 B．EF//GHC．EG，FH，AA1三线共点 5．设OA=(1,0)，OB=(0,2)，对满足条件A．(−∞,−7) C．(13,+∞) 6．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1A．2 B．3 C．4 D．57．2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有()A．792种 B．1440种 C．1728种 D．1800种8．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a2−b2+c2+2A．1 B．2 C．4 D．2或4二、多项选择题9．已知i为虚数单位，下列说法正确的是()A．若复数z=1+i1−iB．若|z1C．若z2≠0D．复数z在复平面内对应的点为Z，若|z+i|+|z−i|=2，则点Z的轨迹是一个椭圆10．已知f(x)=3sinωxA．若f(x)的最小正周期为π，则ω=2B．若f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则C．若f(x)在[0,2π)上恰有4个极值点，则ωD．存在ω，使得f(x)在[−π11．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，g(x+1)+f(1−x)=1，f(x+1)−g(x+2)=1，且y=f(x)的图像关于直线x=1对称，则以下说法正确的是()A．f(x)和g(x)均为奇函数 B．∀x∈R，f(x)=f(x+4)C．∀x∈R，g(x)=g(x+2) D．g(−三、填空题12．已知集合M={x|x2−2x−3<0}，N={x|x213．已知表面积为100π的球面上有四点S，A，B，C，△ABC是边长为43的等边三角形，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S−ABC的体积的最大值为14．已知f(x)=|2x+x−m|,x∈[a,a+2]四、解答题15．已知{an}是各项都为正数的等比数列，数列{bn}满足：（1）求数列{an}（2）若对任意的n∈N*都有2λa16．在直角梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AB=2AD=4，AB⊥BC点E为AD中点，沿BD将△ABD折起，使BE⊥CD，（1）求证：AB⊥平面ACD；（2）求二面角E−BC−D的余弦值，17．现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为23，56，（1）若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；（2）因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2:1:18．已知抛物线Γ:y2=4x，焦点为F，过P(4,（1）判断直线AB的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.（2）若C(x1,y1)，D(x2,19．罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]连续，在开区间(（1）运用罗尔定理证明：若函数f(x)在区间[a,b]连续，在区间(（2）已知函数f(x)=xlnx,g(x)（3）证明：当p>1，n≥2时，有1n

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：从小到大排序为6，7，7，8，8，9，9，9，9，10，则这组数据的中位数为8+92=8.5，

故答案为：D.2．【答案】C【解析】【解答】解：因为椭圆x2a2+y24=1(a>0)的焦距为2，若椭圆的焦点坐标在x轴时，

所以b=2,c=1，所以a=4+1=3．【答案】C【解析】【解答】解：因为该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列，

共有24个尺码，所以所有尺码的和为25+36.52×24=738，

又所有有货尺寸加起来的总和是677码，故另一个缺货尺寸为738-677-28.5=32.5

故答案为：C.4．【答案】D【解析】【解答】解：因为E，F，G，H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点，

连接EF，GH在三棱柱ABC−A1B1C1中，可得EF∥B1C1,GH∥B1C2且EF=B1C1,GH=12B1C2，

可得EFIIGH，所以A，B正确；

因为四边形EFHG为梯形，所以EG与FH相交于一点，设交点为P，则P∈EG，

而EG∈平面ABB1A1，所以P∈5．【答案】B【解析】【解答】解：因为OA=(1,0)，OB=(0,2)，对满足条件|OC−OA−OB|=2|OA−OB|的点C(x,y)，

所以(x-1)2+(y-2)2=20,又C到直线x-2y+m=0的距离d1=|x−2y+m|5，6．【答案】D【解析】【解答】解：因为OP在OF1上的投影向量为35OF1，所以cos∠POF1=35，

又OP=OF2,∠OF2P=∠OPF2=12∠POF1，7．【答案】B【解析】【解答】解：先分两类，第一类，当甲安排在初一或初二时，有C21C41C62C428．【答案】C【解析】【解答】解：因为a2−b2+c2=-2ac，所以由余弦定理得，

cosB=a2−b2+c22ac=-22，又B∈0,π2，所以B=3π4，

因为cos(α+A)cos(α+C)cos2α=25，则cosαcosA-sinαsinA(cosαcosC-sinαsin9．【答案】A,C【解析】【解答】解：对于A，因为z=1+i1-i=1+i2(1-i)(1+i)=2i2=i，

所以z30=i30=i2=-1，故A正确；

对于B，取z1=2i,z2=1，满足z1>z210．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：f(x)=3sinωx2cosωx2+cos2ωx2−12=32sinωx+12cosωx=sinωx+π6，

对于A，2πw=π，又w>0，所以w=2，故A正确；

对于B，将f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到y=sinwx+π3+11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由f(x+1)−g(x+2)=1，得f(x)−g(x+1)=1，又g(x+1)+f(1−x)=1，

得f(x)+f(1-x)=2，由于y=f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(-x)=f(2+x),f(x)=f(-x)，

所以f(x)是偶函数，故A错误.

f(1-x)=f(1+x),f(x)+f(1+x)=2,f(x+2)+f(1+x)=2,f(x)=f(x+2)，所以T=2,f(x)=f(x+4)，故B正确；

又g(x)+f(2-x)=1,g(x)+f(x)=1,g(-x)+f(-x)=1，又f(x)是偶函数，

所以g(-x)=g(x)，g(x)是偶函数，

因为f(x+1)-g(x+2)=1,g(x+1)+f(1-x)=1，y=f(x)的图象关于直线x=1对称，

所以f(1-x)=f(1+x),g(x+1)+g(x+2)=0,g(x)+g(x+1)=0,g(x+2)=g(x),

所以2为g(x)的周期，故C正确；

由f(x)+f(1-x)=2,f(12)=1,又f(x)=f(x+2),f(-32)=1，由g(x)+f(x)=1,g-3212．【答案】[3【解析】【解答】解：因为集合M={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},

所以①当a=0时，

N={x|x2-ax<0,x∈Z}={x|x2<0}=∅,此时M∩N=∅，不符合题意，

②当a>0时，

N={x|x2-ax<0,x∈Z}={x|0<x<a,x∈Z}，若集合M∩N恰有两个元素，则a≥3，

③当a<0时，

N={x|x2-ax<0,x∈Z}={x|a<x<0,x∈Z}，若a≤-1，则M∩N={x|-1<x<0,x∈Z}=∅,

不符合题意，若-1<a<0，则M∩N={x|a<x<0,x∈Z}=∅13．【答案】12【解析】【解答】解：

取AB中点D，连结SD，设球O半径为r，则4πr2=100π，解得r=5，

因为△ABC是边长为43的等边三角形，

所以AD=23,CD=6，过S作ABC的垂线，垂足是AB的中点时，所求三棱锥的体积最大，

令球心为O，过O作OO1⊥DC于O1，则O1为△ABC的外心，

过O作OM⊥SD，可得SO=5，0M=O1D=13CD=2,SM=14．【答案】[【解析】【解答】解：设t=2x+x,因为x∈[a,a+2]，所以t∈[2a+a,2a+2+a+2],

所以f(x)=|t-m|t∈[2a+a,2a+2+a+2],

f(x)max=g(m)|2a+a-m|,-15．【答案】（1）解：因为bn=2log2a所以b1=1=2lob4=7=2lo因为{an}是各项都为正数的等比数列，所以q所以an=2（2）解：因为2λan≥设f(n)当n≤2时，f(n+1)当n≥3时，f(n+1)所以f(n)【解析】【分析】(1)先由bn=2log2an+1，且b1=1，b4=7，利用对数运算法则计算，求得数列an的首项和公比，然后根据等比数列通项公式求得数列an的通项公式，再由b16．【答案】（1）证明：在梯形ABCD中，AB=2，AD=2，AB⊥AD，所以BD=22，CD=2又BC=4，所以BD2+C又∵BE⊥CD，BD∩BE=B，BD，BE⊂平面ABD，故CD⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴AB⊥CD，又AB⊥AD，CD∩AD=D，CD，AD⊂平面ACD，∴AB⊥平面ACD.（2）解：取BD中点O，连接AO，由于AB=AD，则AO⊥BD，AO=2因为CD⊥平面ABD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥CD，又BD∩CD=D，BD，CD⊂平面BCD，所以AO⊥平面BCD，以OB，OA分别为x轴、z轴建立如图空间直角坐标坐标系，则B(2,0,0)，设平面EBC的法向量为m=又BE=(−32∴n→·BE→=−32易知平面BCD的一个法向量为n=设二面角E−BC−D为θ，0<θ<π所以cosθ=|故二面角E−BC−D的余弦值为311【解析】【分析】(1)利用勾股定理可证BD⊥CD，结合BE⊥CD，根据线面垂直判定定理，

可得CD⊥平面ABD，从而根据线面垂直性质得AB⊥CD，再利用AB⊥AD，由线面垂直的判定定理，即可得证；

(2)取BD的中点O，以O为坐标原点以OB，OA分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系，求出所需点坐标，进而求得面EBC、平面BCD的法向量，利用向量夹角公式，两法向量夹角余弦即为二面角E−BC−D的余弦值.17．【答案】（1）解：设A=“抽的产品是优秀等级”，B1B2=“产品是从乙工厂生产”，则P(B1)=P(B2)=P(则P(则P(所以该件产品是从乙工厂抽取的概率为512（2）解：依题意，设从市场中任抽一件产品达到优秀等级的概率为p，则p=2由题意可知ξ∼B(10,则P(则ξ的分布列为：ξ012345678910P22222222222故E(【解析】【分析】(1)根据题意，设A=“抽的产品是优秀等级”，B1=“产品是从甲工厂生产”，B2=“产品是从乙工厂生产”，18．【答案】（1）解：由题意不妨设直线AB的方程为y=kx+t，设A(x4联立y=kx+ty2=4x，消去y得k所以x4+x因为直线PA与PB关于直线x=4对称，所以y4−4x4−4所以y4−4y即k(x4+x解得k=−12，所以直线AB的斜率为定值（2）解：由已知F(1,因为FC→+FD→+FE所以(x1+设直线CD的方程为x=my+n，联立x=my+ny2=4x，消去x得y所以n>−m2，y1+y2=4m所以x3=3−4m又点E在抛物线y2=4x上所以16m又n>−m2，所以32所以点E的横坐标x3同理可得C，D两点的横坐标也小于2，所以△CDE三个顶点的横坐标均小于2.【解析】【分析】(1)设直线AB的方程为y=kx+t，与抛物线