广东省广州市天河区2024届高三下学期综合测试（二） 数学

广东省广州市天河区2024届高三下学期综合测试（二）数学姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x=3k，k∈N}，A．A⊆B B．B⊆A C．A=B D．A∪B=N2．设a，b为非零向量，则“|a+b|=|aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若抛物线C：y2=2px(A．6 B．4 C．2 D．14．若实数m满足log2(−m)<m+1A．(−∞，0) B．(0，+∞) C．5．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2=7.α00000x236710A．变量x与y独立B．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0C．变量x与y不独立D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过06．若直线ax+by=1与圆O：x2+yA．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点7．已知3sinα+cosα=65A．3+4310 B．3−4310 C．8．设10≤x1<x2<x3<x4<xA．D(B．D(C．D(D．D(ξ1)与D(二、､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知m，n是不同的直线，A．若m//αB．若m⊥α，n⊥βC．若α//βD．若α//β10．已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，则（）A．f(x)的最小正周期为πB．f(x)在[−5πC．f(x)的图象可由g(x)=2sin2x的图象向左平移D．函数F(x)=f(x211．双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设O为坐标原点，双曲线C：x220−y2b2A．双曲线C的渐近线方程为y=±B．双曲线C的离心率为30C．当PF2D．过点F1作F1三、､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若1+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+kx+2=0的一个虚根，则实数k=13．已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−eax，若f(ln2)=1814．如图，一块面积为定值的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为.四、､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，（1）求样本(xi，yi（2）已知20个样区中有8个样区这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.附：相关系数r=16．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC（1）证明：BC⊥平面ACC（2）棱CC1上是否存在一点D，使得直线A1D与平面ABB17．已知数列{an}（1）求数列{a（2）令bn=2nan，记Tn为{18．已知直线l1：y=22x，l2：y=−22x，动点（1）求曲线Γ的方程；（2）已知点P(−2，1)，过点P作直线l与曲线Γ交于不同的两点C，D，线段CD上一点Q满足19．已知函数f(x)=lnx+2x−b(（1）证明：f(x)恰有一个零点a，且a∈(1，（2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取x1∈(1，a)，实施如下步骤：在点(x1，f(x1))处作f(x)的切线，交x轴于点(x2（i）设xn+1=g(x（ii）证明：当x1∈(1，

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为集合A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N}={x|x=2×3z，z∈N}，且当z∈N时，2z为非负偶数，所以B⊆A，

则2．【答案】A【解析】【解答】解：充分性：若|a+b|=|a|+|b|，则a→2+2a→·b→+b→2=a→2+2a→b→+b→2,即a→·b→3．【答案】C【解析】【解答】解：因为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M(2，m)到焦点的距离为3，所2+p24．【答案】D【解析】【解答】解：对于A选项：当m=-1时，log2(−m)=m+1故A选项错误；

对于B选项：当m>0时，log2(−m)无意义，故B选项错误；

对于C选项：当m=-2时，5．【答案】A【解析】【解答】解：根据已知条件可得：χ2=7.174<7.879，所以依据α=0.6．【答案】B【解析】【解答】解：因为直线ax+by=1与圆O：x2+y2=1相切，则圆心O0,0到直线ax+by=1的距离等于半径1，

即0+0-1a2+b2=1，化简得：a2+b2=17．【答案】B【解析】【解答】解：因为3sinα+cosα=65，π3<α<5π6，所以2sinα+π6=65,即sinα+π6=38．【答案】C【解析】【解答】解：根据已知条件可得：E(ξ1)=0.2x1+x2+x3+x4+x5=x1+x2+x39．【答案】B,C【解析】【解答】解：对于A选项：若m//α，n⊂α，则m与n可能平行也可能异面，故A选项错误；对于B选项：若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：根据函数图象可得：34T=1312π-π3，解得：T=π，故f(x)的最小正周期为π，则A选项正确；

又根据周期公式：T=2πω,结合A选项知：T=π，则ω=2，故f(x)=2cos(ωx+φ)=2cos(2x+φ)，将点π3,0带入可得：f(π3)=2cos(2×π3+φ)=0，即2×π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，解得：φ=-π6+2kπ,k∈Z，令k=0,可得φ=-π6，

所以f(x)=2cos(2x-π6)，

对于B选项：令-π+2kπ≤2x-π6≤2kπ,k∈Z，解得：-512π+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：已知如图所示：

双曲线C：x220−y2b2=1(b>0)，则双曲线的渐近线方程为：y=±b25x，右顶点为A25，0，

再根据题意有：b×25b2+252=2，解得：b2=5，则a=25,b=5,c=a2+b2=20+5=5,即双曲线的方程为：x220−y25=1，对于A选项：双曲线的渐近线方程为：y=±12．【答案】-2【解析】【解答】解：因为1+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+kx+2=0的一个虚根，

则1-i（i为虚数单位也是关于x的实系数一元二次方程x2+kx+2=0的一个虚根，则根据韦达定理有：1+i+1-i=-k，

解得：k=-2.

故答案为：-2.

【分析】本题主要考查实数系一元二次方程的虚根成对出现及韦达定理，根据实数系一元二次方程的虚根成对出现可得1-i（13．【答案】3【解析】【解答】解：令x>0，则-x<0,因为f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−eax，则f(x)=-f-x=-−ea-x=e-ax,14．【答案】6【解析】【解答】解：如图所示：

正四棱锥P-ABCD，O为底面对角线的交点，则OP⊥平面ABCD，设E为AD的中点，则PE⊥AD,OE⊥AD，

则∠POE即为所求角的平面角，可设题目中的正方形的边长为2a，AD=2x，则PE=a，AE=OE=x，

故四棱锥P-ABCD的高h=OP=a2-x2,

所以VP-ABCD=13×2x2a2-x2=4x2a215．【答案】（1）样本(xi，yi)(i=1r=i=1由于相关系数|r|∈[0故r=0.（2）由题意得：X的可能取值为0，1，2，20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，所以P(P(P(所以X的分布列为：X012P334814【解析】【分析】本题主要考查概率与统计中的样本相关系数的计算，随机变量的分布列.

（1）根据相关系数公式r=i=1(xi−x)16．【答案】（1）连接CA1与由于四边形ACC1由于侧面ACC1A1与平面A1BC垂直，且两平面的交线是故AC1⊥平面A1BC，BC⊂又BC⊥AC，AC1∩AC=A故BC⊥平面AC（2）已知由（1）知BC⊥平面ACC1A1，所以平面ABC⊥平面ACC1A由于AA1=取AC中点为O，则A1O⊥AC，A1O⊂平面ACC故建立如图所示的空间直角坐标系，其中y轴与BC平行：

A(2，AB=(−4设平面ABB1A则AB⋅m=−4x+2y=0AA设CD=mCC1=(−2m，故|cosm，解得m=12故存在D，且D在CC【解析】【分析】本题主要考查线面垂直的判定与性质，运用空间向量解决直线与平面所成角的问题.

（1）连接CA1与C1A，根据菱形的性质可得C1A⊥CA1，再根据面面垂直及线面垂直的性质得到：AC1⊥BC，再根据线面垂直的判定定理即可证明结论；

17．【答案】（1）因为a1所以a1作差可得1n+1an+1=an+2−an+1因为a1=1，因为an+1所以数列{an}（2）因为bn所以Tn=1⋅2+2⋅2作差可得−T所以TnTn设f(x)=−2×2x+4x+2，故f(x)在[3，+∞)是减函数，所以当n≥3时，Tn【解析】【分析】本题主要考查数列递推公式及累乘法的运用、错位相减法进行求和、导数确定函数的单调性.

（1）利用递推关系把下标n换成n+1，得到两式相减，进而可得：an+1an+2=n+1n+2，然后运用累乘法即可求解；18．【答案】（1）根据条件可设A(2∵|AB|=22，∴2设M(x，y)，由题意知x=2代入（*）式得x24+y2（2）已知如图所示：

设|PC||PD|=|QC||QD|=λ，则PC=λPD，由PC=λPD，可知∴x1+2=λ(x2+2)∵CQ=λQD，设Q(x，y)①×②可得−2x=x∵C，D在曲线Γ上，∴∴x12−（**）式代入可得−2x4+y=1，即∴Q的轨迹方程为：x−2y+2=0.∴|OQ|的最小值为O到直线x−2y+2=0的距离.∴|OQ|min【解析】【分析】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与双曲线的综合问题运用向量法的运用.

（1）由已知可设A(2t，t)，B(−2n，n)，然后根据两点间的距离公式可得：2(t+n)2+(t−n)2=8，再利用中点坐标公式计算可t−n=2xt+n=2y，代入化简即可得到答案；

（2）设|PC||PD|=|QC||QD|19．【答案】（1）f(x)=lnx+2x−b(b>2)所以，f'(x所以函数f(x)因为f(1)=ln1+2−b=2−b<0(所以，存在唯一a∈(1，b)，使得f(a)=0，即：f（2）（i）由（1）知f'所以，曲线f(x)在(所以，曲线f(x)在(xn令y=0得x=−所以，切线与x轴的交点(−xn所以，g(证明：（ii）对任意的xn∈(0，+∞)，由（i）知，曲线f故令h(令F(所以，F'所以，当x∈(0，xn)时，F'(x)