2024-2025学年上海市长宁区复旦中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市长宁区复旦中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知曲线x28−λ+yA.(±2,0) B.(±23,0) C.(0,±2)2.过点P(−3,−1)的直线l与圆x2+yA.(0,π6] B.[0,π3]3.过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F(−c,0)(c>0)的直线与C的一个交点为P，与圆O：A.12 B.3−1 C.4.已知圆C1：(x−2)2+(y−3)2=1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=9，M，NA.17−1 B.52−4 二、填空题：本题共12小题，共54分。5.双曲线3x2−6.抛物线的准线方程是y=12，则其标准方程是______．7.椭圆x24+8.双曲线x2−y9.已知双曲线x22+y2−m=1的离心率10.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF11.圆x2+y2−2x−6y+9=012.已知F1，F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点，P是椭圆上在第一象限内的点，当△13.著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则C的离心率为

．14.与圆C1：(x+3)2+y215.已知P1(x1,y1)，P2(x16.已知P(x0,y0)为圆C：(x−t)2+(y−s)2=r2(r>0)上的任意一点，当a≠b时，|x0−y0+a|+|x0−y0+b|的值与x0，y0无关，下列结论正确的是______．三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知椭圆x22+y2=1的左焦点为F1，直线l：y=x−1与椭圆C交于A、B两点．

(1)求线段AB18.(本小题14分)

已知双曲线C的中心在原点，焦点F(52,0)，双曲线过点(1,3)，且直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点．

(1)求双曲线的方程；19.(本小题14分)

已知抛物线C：y2=4x的焦点为F．

(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

(2)过焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若|AF|=3，求线段AB20.(本小题18分)

已知双曲线C：x2−y23=1，点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，A(x1,y1)、B(x2,y2)为双曲线上的点．

(1)求右焦点F2到双曲线的渐近线的距离；

21.(本小题18分)

“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)：

步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F(即折叠后图中的点A与点F重合)；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；

步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．

现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点F到圆心E的距离为4，按上述方法折纸.以点F，E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点建立平面直角坐标系．

(1)若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段AE交点的轨迹，求折痕围成的轨迹的标准方程．

(2)直线x=1与C在第一象限内交于点B，直线l：y=12x+m与C交于G、H两点(均异于点B)，则直线BG、BH的斜率之和是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

(3)记(1)问所得图形为曲线C，若过点Q(1,0)且不与y轴垂直的直线l与曲线C交于M、N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点T(t,0)，使得直线TM，TN

参考答案1.A

2.B

3.B

4.B

5.y=±6.x27.4

8.39.1

10.x211.(x−4)12.1413.1314. x15.[1,+∞)

16.①②

17.解：(1)联立直线与椭圆方程得x22+y2=1y=x−1⇒32x2−2x=0，

解得x1=0,x2=43，

所以A(0,−1),B(43,1318.解：(1)设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，

由题可得c=52，1a2−3b2=1，c2=a2+b2，

解得：a2=14，b2=1，

所以双曲线的方程为：4x2−y2=1；

(2)由题，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

19.解：(1)因为2p=4，

解得p=2，

则抛物线C的焦点坐标F(1,0)，准线方程为x=−1；

(2)不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因为|AF|=x1+1=3，

所以x1=2，

当x=2时，

解得y=±22，

不妨令A(2,22)，

20.解：(1)由题，右焦点F2(2,0)，

渐近线方程为3x±y=0，

因此焦点F2到渐近线的距离为d=232=3；

(2)显然，直线AB不与x轴重合，设直线AB方程为x=my+2，

由AF2=3F2B，得y1=−3y2，

联立方程x=my+2x2−y23=1，得(3m2−1)y2+12my+9=0，

其中，Δ=36m2+36>0恒成立，y1+y2=−12m3m2−1，y1⋅y2=93m2−1，

代入y1=−3y2，消元得y2=6m3m2−1，y22=−33m2−1，

即−33m2−1=(6m3m2−1)2，解得m=±1515，

21.解：(1)如图，以点F，E所在的直线为x轴，线段EF中点为原点建立平面直角坐标系，

设交点P(x,y)，由题意知|PF|+|PE|=|PA|+|PE|=6>|EF|=4，

所以点P的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为6的椭圆，

则2a=6，2c=4，所以a=3，c=2，所以b2=a2−c2=5，

所以点P的轨迹方程为x29+y25=1．

(2)不为定值，理由如下：

直线x=1与椭圆在第一象限内的交点B(1,2103)，

设