2023-2024学年河北省金太阳高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省金太阳高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x|−2−x<x<2}，B={−1,0,1,2}，则A∩B=(

)A.⌀ B.{0,1} C.{−1,0} D.{−1,0,1}2.已知命题p：∀x∈[0,+∞)，x2−4x+4>0，命题q：∃x∈R，ex=10xA.p和q都是真命题 B.￢p和q都是真命题

C.p和￢q都是真命题 D.￢p和￢q都是真命题3.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x2−f′(2)x，则f′(2)=A.2 B.−2 C.1 D.−14.已知函数f(x)=lg(6x−x2)在(a,a+1)上单调递增，则A.[0,2] B.(0,2] C.[3,5] D.[3,5)5.已知a=log72,b=logA.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a6.已知a，b为正实数，则“1a+1b≥2”是“A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数之间的计算而发明了对数，利用对数运算可以求出大数的位数.已知lg5=0.699，则89是(

)A.11位数 B.10位数 C.9位数 D.8位数8.若直线l是曲线y=lnx−1与y=ln(x−1)的公切线，则直线l的方程为(

)A.y=x−2 B.y=x C.y=x+1 D.y=二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图所示，连接棱长为2的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，直至注满水为止.图中水面的高度为ℎ，水面对应四边形的面积为S，容器内水的体积为V，则下列说法正确的是(

)A.S是ℎ的函数 B.ℎ是S的函数 C.S是V的函数 D.V是S的函数10.定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，则(

)A.f(0)=0 B.f(−1)=0

C.f(x)为偶函数 D.f(x)可能在(1,+∞)上单调递增11.已知函数f(x)=|2x−1|,x≤25−x,x>2，a<b<c<d，且A.c≥1 B.a+c<0

C.2ad<5 D.2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a是函数f(x)=x3−x+6的极大值点，则a=13.已知函数f(x)=ln(|x|+1)−1x214.若不等式|ax3+(a+b)x−a|≤x对x∈[1,2]恒成立，则8a+b四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知p：∃x∈R，ax2+2ax+1=0，q：a≤m或a≥m+3．

(1)若命题￢p是真命题，求实数a的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数16.(本小题15分)

已知幂函数f(x)=(a2−3a+3)xa为偶函数，且函数g(x)满足g(x−1)=f(x)．

(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；

(2)对任意实数x∈(−1,4),f(x)+a17.(本小题15分)

已知函数f(x)=2ex+1+ax．

(1)若f′(x)≥0，求a的最小值；

18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−12ax2−x−1．

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)的单调性；

19.(本小题17分)

已知函数f(x)，g(x)，若存在实数m，n，使得f(m)+g(n)=0，则称f(x)与g(x)为“互补函数”，m，n为“互补数”．

(1)判断函数f(x)=1x+x16(x<0)与g(x)=lnxx是否为“互补函数”，并说明理由．

(2)已知函数f(x)=xex−1(x<0),g(x)=(x+1)ex为“互补函数”，且m，n为“互补数”．

(i)是否存在m，n，使得m+n=0参考答案1.B

2.B

3.A

4.A

5.D

6.C

7.C

8.A

9.AC

10.ABD

11.CD

12.−13.(−∞,114.3

15.解：(1)因为命题￢p是真命题，所以命题p是假命题，即关于x的方程ax2+2ax+1=0无实数根．

①当a=0时，方程化为1=0，解集为空集，符合题意；

②当a≠0时，Δ=4a2−4a<0，解得0<a<1．

综上所述，实数a的取值范围是[0,1)．

(2)根据(1)的结论，可知：若命题p是真命题，则a∈(−∞,0)∪[1，+∞)．

若p是q的必要不充分条件，

则设M={a|a≤m或a≥m+3}，N=(−∞,0)∪[1，+∞)，M⫋N，

即m<0m+3≥1，解得16.解：(1)由f(x)为幂函数，得a2−3a+3=1，解得a=1或a=2．

因为f(x)为偶函数，

所以a=2，

则f(x)=x2；

由g(x−1)=f(x)，

可得g(x−1)=x2，

令x−1=t，

则g(t)=(t+1)2=t2+2t+1，

所以g(x)=x2+2x+1；

(2)由f(x)+ag(x)≥0，

可得x2+a(x+1)≥0，x∈(−1,4)，

故x2x+1≥−a，

令x+1=m，m∈(0,5)，17.解：(1)f′(x)=−2ex(ex+1)2+a≥0，即a≥2ex(ex+1)2，

因为2ex(ex+1)218.解：(1)由题可知f′(x)=ex−ax−1，

设g(x)=f′(x)，则g′(x)=ex−a，

当a≤0时，g′(x)=ex−a>0在R上恒成立，所以g(x)=f′(x)在(−∞,+∞)上单调递增；

当a>0时，令g′(x)>0，得x>lna，令g′(x)<0，得x<lna，

所以g(x)=f′(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．

综上所述，当a≤0时，y=f′(x)是(−∞,+∞)上的增函数，

当a>0时，y=f′(x)在(−∞,lna)上是减函数，在(lna,+∞)上是增函数．

(2)当a≤0时，f′(x)在(0,+∞)上单调递增，f′(0)=0，

则f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，故f(x)>f(0)=0成立；

当0<a≤1时，lna≤0，所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增，f′(0)=0，

则f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)>f(0)=0成立；

当a>1时，当0<x<lna时，g′(x)=ex−a<0，f′(x)在(0,lna)上单调递减，

又f′(0)=0，所以f′(x)<0，f(x)在(0,lna)19.解：(1)因为f(x)=1x+x16(x<0)，所以f(x)≤−21−x⋅−x16=−12，

当且仅当1−x=−x16，即x=−4时取等号，所以f(x)∈(−∞,−12],

因为g(x)=lnxx，所以g′(x)=1−lnxx2，当x∈(0,e)时，g′(x)>0，当x∈(e,+∞)时，g′(x)<0，

则g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，所以g(x)max=g(e)=1e，

所以g(x)∈(−∞,1e]，故不存在实数m，n，使得f(m)+g(n)=0，

则f(