【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修5双基限时练16

双基限时练(十六)一、选择题1．某次测量中，A在B的南偏东34°27′，B在A的()A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西55°33′解析画图可得．答案A2．某人向正东方向走xkm后，他向右转150°，然后朝新方向走了3km，结果他离动身点恰好eq\r(3)km，那么x的值为()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3) D．3解析如图所示，由余弦定理得3＝9＋x2－2×3x·cos30°，得x＝2eq\r(3)，或x＝eq\r(3).答案C3．一树干被台风吹断，折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为()A.eq\f(20,3)米 B．20eq\r(3)米C.eq\f(20\r(3),3)米 D．20米解析如图，在Rt△ABC中，AC＝20，∠C＝30°，AB＝AC·tan30°＝eq\f(20\r(3),3)，BC＝eq\f(AC,cos30°)＝eq\f(40\r(3),3).∴树干高h＝eq\f(20\r(3),3)＋eq\f(40\r(3),3)＝20eq\r(3)(米)．答案B4．在地面上一点A处测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方面前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为()A．237m B．227mC．247m D．257m解析由图可知tan60°＝eq\f(h,h－100)，∴eq\f(h,h－100)＝eq\r(3)，得h＝eq\f(100\r(3),\r(3)－1)≈237(m)．答案A5．海面上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°视角，从B岛望C岛和A岛成30°视角，则B与C之间的距离是()A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(3)海里解析如图BC＝ABsin60°＝5eq\答案D6．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危急区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危急区内的持续时间为()A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时解析设t小时后，B市处于危急区内，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40cos45°≤302.化简得4t2－8eq\r(2)t＋7≤0，∴t1＋t2＝2eq\r(2)，t1·t2＝eq\f(7,4).从而|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝1.答案B二、填空题7．如图，A、N两点之间的距离为________.解析由正弦定理得eq\f(AN,sin120°)＝eq\f(MA,sin180°－120°－30°)，得AN＝eq\f(40×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝40eq\r(3).答案40eq\r(3)8．两座灯塔A、B与海洋观看站C的距离都等于akm，灯塔A在观看站C的北偏东20°，灯塔B在观看站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为______________________________________________．解析由图可知∠ACB＝120°，由余弦定理可知：|AB|＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BCcos120°)＝eq\r(3)akm.答案eq\r(3)akm9．有一长为100m的斜坡，它的倾斜角为45°，现打算把倾斜角改成30°，则坡底要伸长________m.解析如图可知BC＝AB＝50eq\tan30°＝eq\f(AB,50\r(2)＋DC)＝eq\f(50\r(2),50\r(2)＋DC)＝eq\f(\r(3),3)得DC＝50(eq\r(6)－eq\r(2))m.答案50(eq\r(6)－eq\r(2))三、解答题10．在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．解在△ABC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq\f(100＋36－196,2×10×6)＝－eq\f(1,2).又∠ADC为三角形的内角，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)，所以AB＝eq\f(AD·sin∠ADB,sinB)＝eq\f(5,2)eq\r(6).11．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的大路，一辆汽车测得小岛在大路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，求小岛到大路的距离．解如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1(km)．由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以BC＝eq\f(1,sin60°)·sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))·eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km)．12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.(1)设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求sinA＋2cosBcosC的值；(2)已知a2－c2＝8b，且sinAcosC＋3cosAsinC＝0，求b的值．解(1)由题意得x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，∵z∥(x＋y)，∴cosC(sinB＋cosB)＋cosB(sinC＋cosC)＝0.即sinBcosC＋cosBsinC＝－2cosBcosC.∴sinA＋2cosBcosC＝0.(2)由已知可得sinAcosC＝－3cosAsinC，由正弦定理及余弦定理，得a×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝(－3)×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)×c.化简并整理，得a2－c2＝2b2.又由已知a2－c2＝8b，∴2b2＝8b.解得b＝4或b＝0(舍)，∴b＝4.思维探究13．如图所示，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．解在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°).∴BC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝eq\f(\r(6),4)km.在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD为正三角形．∴AC＝CD＝eq\f(\r(3),2)km.在△ABC中