《金版学案》2022届高考数学理科一轮复习课时作业-2-16定积分及其简单应用-

第十六节定积分及其简洁应用题号1234答案1.下列式子中，正确的是()A.f(x)dx＝f(b)－f(a)＋CB.f(x)dx＝f′(b)－f′(a)C.f′(x)dx＝f(b)－f(a)D．[f(x)dx]′＝f(x)解析：由微积分基本定理(牛顿－莱布尼兹公式)易知，C正确．答案：C2．如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A．|eq\o\al(2,0)(x2－1)dx|B.eq\o\al(1,0)(x2－1)dxC.eq\o\al(2,0)|x2－1|dxD.eq\o\al(1,0)(x2－1)dx＋eq\o\al(2,1)(x2－1)dx解析：由微积分基本定理的几何意义可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S＝eq\o\al(1,0)(1－x2)dx＋eq\o\al(2,1)(x2－1)dx＝eq\o\al(2,0)|x2－1|dx.故选C.答案：C3．(2022·郑州调研)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝eq\r(x)围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)解析：依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于eq\a\vs4\al()eq\o\al(1,0)(eq\r(x)－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\s\up6(\f(3,2))－\f(1,3)x3))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,0))＝eq\f(1,3)，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于eq\f(1,3).故选D.答案：D4．已知a＝eq\o\al(e,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))dx，函数y＝ax－bx(a≠b)是奇函数，则函数y＝logbx是()A．增函数B．减函数C．常数函数D．增函数或减函数解析：由于a＝eq\a\vs4\al()eq\o\al(e,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))dx＝(lnx＋x)|eq\o\al(e,1)＝e，所以函数y＝ax－bx＝ex－bx，由于此函数是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即e－x－b－x＝－ex＋bx，eq\f(bx－ex,bxex)＝bx－ex恒成立，所以b＝eq\f(1,e)，所以函数y＝logbx＝logeq\s\do9(\f(1,e))x是减函数．故选B.答案：B5．由曲线y＝ex与直线x＝0、直线y＝e所围成的图形的面积为________．解析：曲线y＝ex与直线x＝0、直线y＝e所围成的图形的面积S＝e－eq\o\al(1,0)exdx＝1.答案：16．计算定积分eq\a\vs4\al(eq\o\al(1,－1))(x2＋sinx)dx＝________．解析：(x2＋sinx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－cosx))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,－1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－cos1))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－1,3)－cos（－1）))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)7.一物体受到与它运动方向相反的力F(x)＝eq\f(1,10)ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时F(x)所做的功等于________．解析：由题意知F(x)所做的功为－eq\o\al(1,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)ex＋x))dx＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)ex＋\f(1,2)x2))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o\al(1,0)))＝－eq\f(e,10)－eq\f(2,5).答案：－eq\f(e,10)－eq\f(2,5)8．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a(a＞0)与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积为eq\f(8\r(2),3)，则a＝________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝a，))可得A(－eq\r(a)，a)，B(eq\r(a)，a)，S＝eq\r(a)－eq\r(a)(a－x2)dx＝(ax－eq\f(1,3)x3)|eq\r(a)－eq\r(a)＝2(aeq\r(a)－eq\f(1,3)aeq\r(a))＝eq\f(4a\s\up6(\f(3,2)),3)＝eq\f(8\r(2),3)，解得a＝2.答案：29．求下列定积分：(1)eq\f(x3－3x2＋5,x2)dx；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(2)dx；(3)(sinx－sin2x)dx.解析：(1)eq\f(x3－3x2＋5,x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3＋\f(5,x2)))dx＝(eq\f(1,2)x2－3x－eq\f(5,x))eq\a\vs4\al(|eq\o\al(4,2))＝eq\f(5,4).(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＋2))dx＝(eq\f(1,2)x2＋lnx＋2x)eq\a\vs4\al(|eq\o\al(3,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)＋ln3＋6))－(2＋ln2＋4)＝lneq\f(3,2)＋eq\f(9,2).(3)eq\a\vs4\al(（sinx－sin2x）dx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cosx＋\f(1,2)cos2x))eq\a\vs4\al(|\s\up6(\f(π,3))0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,4)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,2)))＝－eq\f(1,4).10．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.(1)求常数a，b的值；(2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积．解析：(1)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(1)＝－2且f′(1)＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋a＋b＝－2，,3＋2a＋b＝0，))解得a＝0，b＝－3，(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.作出曲线y＝x3－3x的图象(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由x3－3x＝0，得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－eq\r(3)，0)，(0，0)和(eq\r(3)，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，函数图象关于原点中心对称，所以(－eq\r(3)，0)