【创新设计】2022届数学一轮(理科)浙江专用-阶段回扣练10-第十章-计数原理、概率

阶段回扣练10计数原理、概率(时间：120分钟满分：150分)一、选择题1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产状况下，消灭乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为()A．0.95B．0.97C．0.92D．0.08解析记抽验的产品是甲级品为大事A，是乙级品为大事B，是丙级品为大事C，这三个大事彼此互斥，因而抽验的产品是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92，故选C.答案C2．方案展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必需连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有()A．Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(5,5) B．Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)C．Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(5,5) D．Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(5,5)解析先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有Aeq\o\al(2,2)种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(5,5)种．答案D3．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有()A．11种B．20种C．21种D．12种解析当第一组开关有一个接通时，电路接通有Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,3))＝14(种)方式；当第一组开关有两个接通时，电路接通有Ceq\o\al(2,2)(Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,3))＝7(种)方式．所以共有14＋7＝21(种)方式，故选C.答案C4．(2022·湖北七市(州)联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个大事是()A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析留意到大事“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”在一次试验中不行能同时发生，且在一次试验中，取出的两个球也可能都是红球，因此这两个大事是互斥而不对立的大事，故选D.答案D5．(2021·武汉调研)同时掷两个骰子，则向上的点数之差的确定值为4的概率是()A.eq\f(1,18)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,9)D.eq\f(1,6)解析同时掷两个骰子共有36个结果，其中点数之差的确定值为4的结果有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)，共4个，所求概率为eq\f(4,36)＝eq\f(1,9)，故选C.答案C6．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n，则函数y＝eq\f(2,3)mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,6)解析全部大事有6×6＝36(种)，若满足条件，则y′＝2mx2－n≥0对x≥1恒成立，又m>0，即(2mx2－n)min＝2m－n，即2m≥而2m<n有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，则2m≥∴P＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).答案D7．一个盒子内有三行两列的六个小格子，现有橘子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是()A.eq\f(2,15)B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,3)解析依题意知，将这六种水果随机放入六个小格中有Aeq\o\al(6,6)＝720种放法．其中满足每行、每列不同的放法为：第一步，确定第一行两个格子中水果的放法，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝24种；其次步，确定其次行两个格子中水果的放法，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝4种，剩余的两个水果放入第三行，有1种放法，所以共有96种放法，故所求概率为eq\f(96,720)＝eq\f(2,15).答案A8．(2021·湖南卷改编)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．则从三角形地块的内部和边界上各分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”(注：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．)()A.eq\f(3,8)B.eq\f(2,9)C.eq\f(5,8)D.eq\f(5,9)解析所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上各分别随机选取一株的不同结果有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,12)＝36种．选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上各分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).答案B二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)9．(x－y)10的开放式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．解析∵Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(k,10)x10－kyk，∴－Ceq\o\al(3,10)＋(－Ceq\o\al(7,10))＝－2Ceq\o\al(3,10)＝－240.答案－24010．在(1＋x)3＋(1＋eq\r(x))3＋(1＋eq\r(3,x))3的开放式中，x的系数为________(用数字作答)．解析由条件易知(1＋x)3、(1＋eq\r(x))3、(1＋eq\r(3,x))3开放式中x的系数分别是Ceq\o\al(1,3)、Ceq\o\al(2,3)、Ceq\o\al(3,3)，即所求系数是3＋3＋1＝7.答案711．若(eq\r(2)－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2的值为________．解析设f(x)＝(eq\r(2)－x)10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…－a9＋a10)＝f(1)f(－1)＝(eq\r(2)－1)10(eq\r(2)＋1)10＝1.答案112．(2021·扬州中学模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后消灭的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________．解析将一枚骰子抛掷两次共有36种结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，方程x2＋bx＋c＝0有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2eq\r(c)，则A包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共19种，由古典概率的计算公式可得P(A)＝eq\f(19,36).答案eq\f(19,36)13．甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参与公益活动，若每个社区至少有一名义工，则甲、乙两人被安排到不同社区的概率为________．解析由于甲、乙两人被分到同一个社区的状况有Aeq\o\al(3,3)＝3×2＝6种，而将四名义工安排到三个不同的社区，每个社区至少分到一名义工的状况有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36种，故甲、乙两人被安排到不同社区的状况共有36－6＝30种，故所求概率为eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)14．从(eq\r(4,x)＋eq\f(1,\r(x)))20的开放式中任取一项，则取到有理项的概率为________．解析(eq\r(4,x)＋eq\f(1,\r(x)))20的开放式通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,20)(eq\r(4,x))20－k(eq\f(1,\r(x)))k＝Ceq\o\al(k,20)x5－eq\f(3,4)k，其中k＝0,1,2，…，20.而当k＝0,4,8,12,16,20时，5－eq\f(3,4)k为整数，对应的项为有理项，所以从(eq\r(4,x)＋eq\f(1,\r(x)))20的开放式中任取一项，则取到有理项的概率为P＝eq\f(6,21)＝eq\f(2,7).答案eq\f(2,7)15．(2022·新课标全国Ⅱ卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的全部可能状况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的全部可能状况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)三、解答题16．在一次“学问竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2犯难度相同的简洁题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．(1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；(2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．解由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，全部可能的结果有16个，它们是：(A1，A1)，(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A2，A1)，(A2，A2)，(A2，B)，(A2，C)，(B，A1)，(B，A2)，(B，B)，(B，C)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，(C，C)．(1)用M表示大事“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M包含的基本大事有：(A1，A1)，(A1，A2)，(A2，A1)，(A2，A2)，(B，B)，(C，C)，共6个，所以P(M)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).(2)用N表示大事“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N包含的基本大事有：(B，A1)，(B，A2)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，共5个，所以P(N)＝eq\f(5,16).17．(2022·南昌高三其次次模拟)某公司生产产品A，产品质量按测试指标分为：大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查娴熟工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)甲3720402010乙515353573依据上表统计结果得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率，用频率去估量他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率．(1)计算甲生产一件产品A，给工厂带来盈利不小于30元的概率；(2)若甲一天能生产20件产品A，乙一天能生产15件产品A，估量甲、乙两人一天生产的35件产品A中三等品的件数．解(1)甲生产一件产品A，给工厂带来盈利不小于30元的概率P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).(2)估量甲一天生产的20件产品A中有20×eq\f(1,10)＝2件三等品，估量乙一天生产的15件产品A中有15×eq\f(15＋5,100)＝3件三等品，所以估量甲、乙两人一天生产的35件产品A中共有5件三等品．18．(2021·济南模拟)一个袋中装有5个外形大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球．(1)从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．解(1)2个红球记为a1，a2,3个白球记为b1，b2，b3，从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本大事有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10个．设大事A＝“取出的两个球颜色不同”，A中的基本大事有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6个．所以P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，即取出的两个球颜色不同的概率为eq\f(3,5).(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本大事有：(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)，(b2，b3)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b3，b1)，(b3，b2)，(b3，b3)，共25个．设大事B＝“两次取出的球中至少有一个红球”，B中的基本大事有：(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，共16个．所以P(B)＝eq\f(16,25)，即两次取出的球中至少有一个红球的概率为eq\f(16,25).19．(2021·江西卷)小波以玩耍方式打算是去打球、唱歌还是去下棋．玩耍规章为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图所示)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)写出数量积X的全部可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解(1)X的全部可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有eq\o(OA2,\s\up7(→))·eq\o(OA5,\s\up7(→))共1种，数量积为－1的有eq\o(OA1,\s\up7(→))·eq\o(OA5,\s\up7(→))，eq\o(OA1,\s\up7(→))·eq\o(OA6,\s\up7(→))，eq\o(OA2,\s\up7(→))·eq\o(OA4,\s\up7(→))，eq\o(OA2,\s\up7(→))·eq\o(OA6,\s\up7(→))，eq\o(OA3,\s\up7(→))·eq\o(OA4,\s\up7(→))，eq\o(OA3,\s\up7(→))·eq\o(OA5,\s\up7(→))共6种．数量积为0的有eq\o(OA1,\s\up7(→))·eq\o(OA3,\s\up7(→))，eq\o(OA1,\s\up7(→))·eq\o(OA4,\s\up7(→))，eq\o(OA3,\s\up7(→))·eq\o(OA6,\s\up7(→))，eq\o(OA4,\s\up7(→))·eq\o(OA6,\s\up7(→))共4种情形．数量积为1的有eq\o(OA1,\s\up7(→))·eq\o(OA2,\s\up7(→))，eq\o(OA2,\s\up7(→))·eq\o(OA3,\s\up7(→))，eq\o(OA4,\s\up7(→))·eq\o(OA5,\s\up7(→))，eq\o(OA5,\s\up7(→))·eq