2025高考数学一轮复习§2.11 函数的零点与方程的解【课件】

第二章§2.11函数的零点与方程的解1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.课标要求内容索引第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使

的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有

⇔函数y＝f(x)的图象与

有公共点.f(x)＝0零点x轴(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有__________，那么，函数y＝f(x)在区间

内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个c也就是方程f(x)＝0的解.2.二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且

的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间

，使所得区间的两个端点逐步逼近

，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)f(b)<0(a，b)f(c)＝0f(a)f(b)<0一分为二零点若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(

)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(

)(3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点.(

)(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.(

)××××对于B，y＝(x－2)2有唯一零点x＝2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点.2.下列函数中，不能用二分法求零点的是A.y＝2x

B.y＝(x－2)2C.y＝x＋

－3 D.y＝lnx√3.(2023·太原模拟)函数f(x)＝

－log2x的零点所在的区间是A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)√所以f(2)f(3)<0，则f(x)有唯一零点，且在区间(2,3)内.返回1，－2解得x＝1或x＝－2，即函数的零点为1，－2.第二部分探究核心题型例1

(1)(2023·忻州模拟)函数f(x)＝log3(2x＋4)－

的零点所在的区间是A.(－2，－1) B.(－1,0)C.(0,1) D.(1,2)题型一函数零点所在区间的判定√由题可知f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝log32－1<log33－1＝0，所以f(－1)f(0)<0，则由函数零点存在定理得，f(x)的零点所在的区间是(－1,0).(2)用二分法求函数f(x)＝log3(2x＋4)－

在区间(－1,0)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1A.2B.3C.4D.5√∵开区间(－1,0)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，∴至少经过4次二分后精确度达到0.1.确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.跟踪训练1

(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)内√函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点.(2)函数f(x)＝log2x＋2x－6，函数f(x)的零点所在的区间为(n，n＋1)且n∈N，则n＝______.2函数f(x)＝log2x＋2x－6的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝log22＋22－6＝－1<0，f(3)＝log23＋23－6＝log23＋2>0，即f(2)f(3)<0，因此函数f(x)的唯一零点在(2,3)内，所以n＝2.题型二函数零点个数的判定例2

(1)(2023·咸阳模拟)函数f(x)＝

的零点个数为A.5B.4C.3D.2√当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝x－2＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)若函数y＝f(x)，x∈R满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与函数y＝log4|x|的图象的交点的个数为A.3B.4C.6D.8√由题意得f(x)是以2为周期的偶函数，作出y＝f(x)与y＝log4|x|的函数图象，如图所示.由图象可知，两函数图象共有6个交点.求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点.(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.跟踪训练2

(1)(2024·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为A.0B.1C.2D.3√函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点，即函数f(x)的零点个数为2.6令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，所以f(x)的定义域为[－6,6].令f(x)＝0得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，故f(x)共有6个零点.题型三函数零点的应用例3

(2023·安阳模拟)已知函数f(x)＝

的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是√命题点1根据函数零点个数求参数如图所示，作出函数f(x)的大致图象(实线)，平移直线y＝k－x，由k－x＝x2＋2x＋2可得，x2＋3x＋2－k＝0，当k＝0时，直线y＝－x经过点(0,0)，且与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)有2个不同的交点；当k＝2时，直线y＝2－x经过点(0,2)，且与f(x)的图象有3个不同的交点.由图分析可知，当k∈(0,2]时，f(x)的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点.例4函数f(x)＝2x－

－a的零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是A.0<a<3 B.1<a<3C.1<a<2 D.a≥2命题点2根据函数零点的范围求参数√因为函数y＝2x，y＝－

在(0，＋∞)上均单调递增，所以函数f(x)＝2x－

－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－

－a的零点在区间(1,2)内，得f(1)f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝a(a－3)<0，解得0<a<3.根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围).(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.跟踪训练3

(1)(2024·邵阳模拟)已知函数f(x)＝

若g(x)＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为A.(0,4) B.(0,3)C.(0,2) D.(0,1)√作出y＝f(x)的图象(实线)，如图所示，g(x)＝f(x)－a有4个零点，即y＝f(x)与y＝a的图象有4个交点，所以实数a的取值范围为(0,4).(2)(2023·天津模拟)函数f(x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间

上有零点，则实数a的取值范围是√当a＝0时，f(x)＝3，不符合题意；返回课时精练一、单项选择题1.下列函数的图象均与x轴有交点，其中不宜用二分法求函数零点的是√1234567891011121314由题意知，利用二分法求函数的零点时，该函数的零点必须是变号零点，所以根据这个条件可知，不宜用二分法求函数零点的是选项C.2.(2023·临沂模拟)函数f(x)＝lnx＋2x－5的零点所在的区间是A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)1234567891011121314√由于y＝lnx，y＝2x－5在(0，＋∞)上都单调递减，故函数f(x)＝lnx＋2x－5在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝－3<0，f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3＋1>0，即f(2)f(3)<0，故f(x)＝lnx＋2x－5在(2,3)内有唯一零点.3.(2023·重庆检测)已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f(x)的零点的一个近似值(精确度为0.1)为1234567891011121314x10.50.750.6250.5625f(x)0.6321－0.10650.27760.0897－0.007A.0.55B.0.57C.0.65D.0.7√1234567891011121314易知f(x)在[0,1]上单调递增，由表格得f(0.5625)f(0.625)<0，且|0.625－0.5625|＝0.0625<0.1，∴函数零点在(0.5625,0.625)内，∴根据选项可知，函数f(x)的零点的一个近似值为0.57.x10.50.750.6250.5625f(x)0.6321－0.10650.27760.0897－0.0074.若函数f(x)＝lnx＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为A.(1，e2) B.(1,2)√1234567891011121314∵f(x)＝lnx＋x2－a，∴f(x)在(1，e)上单调递增.又函数f(x)＝lnx＋x2－a在区间(1，e)上存在零点，故f(1)<0，f(e)>0，1234567891011121314故实数a的取值范围为(1，e2＋1).5.函数f(x)＝

的零点之和为A.－1B.1C.－2

D.21234567891011121314√1234567891011121314当x>0时，f(x)＝6x－2，设其零点为x1，则满足

－2＝0，解得x1＝log62；当x≤0时，f(x)＝x＋log612，设其零点为x2，则满足x2＋log612＝0，解得x2＝－log612，所以f(x)的零点之和为x1＋x2＝log62－log612＝－1.√12345678910111213141234567891011121314即用“调日法”得到

的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为五.二、多项选择题7.(2023·安康模拟)下列函数在区间(－1,3)内存在唯一零点的是A.f(x)＝x2－2x－8 B.f(x)＝C.f(x)＝2x－1－1 D.f(x)＝1－ln(x＋2)1234567891011121314√√√对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，∴f(x)在区间(－1,3)内没有零点，故A错误；对于B，∵f(x)＝

在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故B正确；对于C，∵f(x)＝2x－1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－

<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故C正确；1234567891011121314∵f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln5<0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故D正确.12345678910111213148.(2024·黄冈模拟)函数f(x)＝

g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值可以是A.－2B.－

C.－1D.11234567891011121314√√1234567891011121314设与y＝4－x2(x≤2)相切的直线为l，且切点为P(x0,4－

)，x0≤2，因为y＝4－x2(x≤2)的导函数y′＝－2x，所以切线l的斜率k′＝－2x0，则切线方程为y－4＋

＝－2x0(x－x0)，因为g(x)＝kx－3k过定点(3,0)，且在切线l上，1234567891011121314因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，三、填空题9.(2024·赣州模拟)用二分法求方程x3＋x－5＝0的近似解时，已经将根锁定在区间(1,3)内，则下一步可断定该根所在的区间为_______.1234567891011121314(1,2)令f(x)＝x3＋x－5，则f(2)＝8＋2－5＝5>0，f(3)＝27＋3－5＝25>0，f(1)＝1＋1－5＝－3<0，由f(1)f(2)<0知根所在区间为(1,2).10.(2023·咸阳模拟)已知函数f(x)＝x＋x3，g(x)＝x＋3x，h(x)＝x＋log3x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小顺序为__________.1234567891011121314x3>x1>x2依题意令f(x)＝x＋x3＝0，得x3＝－x，同理可得3x＝－x，log3x＝－x，则函数的零点转化为y＝x3，y＝3x，y＝log3x与y＝－x的图象交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示.由图可得x1＝0，x2<0，x3>0，即x3>x1>x2.四、解答题12345678910111213141234567891011121314∵3a＞2c＝－3a－2b，∴3a＞－b.∵2c＞2b，∴－3a＞4b.若a＝0，则0＞－b,0＞b，不成立；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.1234567891011121314Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝(b＋2a)2＋2a2＞0.当c＞0时，f(0)＞0，f(1)＜0，∴f(x)在(0,2)内至少有一个零点；当c＝0时，f(0)＝0，f(1)＜0，f(2)＝4a＋2b＝a＞0，∴f(x)在(0,2)内有一个零点；当c＜0时，f(0)＜0，f(1)＜0，b＝－

a－c，f(2)＝4a－3a－2c＋c＝a－c＞0，∴f(x)在(0,2)内有一个零点.综上，f(x)在(0,2)内至少有一个零点.1234567891011121314123456789101112131412.(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋aln(1－x)(a∈R)的图象关于原点对称.(1)求a的值；1234567891011121314解得－1<x<1，故函数的定义域为(－1,1).由