2025年高考数学一轮复习之相等关系与不等关系

第1页（共1页）2025年高考数学一轮复习之相等关系与不等关系一．选择题（共10小题）1．已知实数a，b，c，d满足：a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式一定正确的是（）A．a+d＞b+c B．ad＞bc C．a+c＞b+d D．ac＞bd2．设集合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}，B＝{x|x＜﹣2}，则A∪（∁RB）＝（）A．（﹣2，1） B．[﹣2，1） C．[﹣2，+∞） D．（1，+∞）3．若p：2-xx+1≤A．﹣1≤x≤2 B．|x|＞1 C．|x|＞2 D．2＜x≤54．若A={x∈Z|x-28-x≤0}，B＝{A．0 B．1 C．2 D．35．已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．[2，3） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．（0，+∞）6．设集合A＝{x∈N|1＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜6} B．{x|1＜x＜5} C．{3，4，5} D．{2，3，4}7．命题p：(12)x＜1，命题q：lnxA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．若集合M={x|logA．{x|0＜x≤2} B．{x|0≤x＜9} C．{x|x＜9} D．{x|0＜x＜9}9．已知A={x|mx+1mx-A．-12≤m＜C．m≤-12或m＞1210．已知a＞0，b＞0且a+b＝1，则（1+1a）（1A．49 B．50 C．51 D．52二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，则x+4x的最小值为12．已知ab=12，a，b∈（0，1），则11-a+413．已知x＞1，求x+4x-1的最小值是14．已知两个正数a，b的几何平均值为1，则a2+b2的最小值为．15．已知正实数a，b，c满足b+c＝1，则8ab2+abc三．解答题（共5小题）16．已知a+b＝3（a＞0，b＞0）．（1）若|b﹣1|＜3﹣a，求b的取值范围；（2）求a+317．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈（0，+∞），且1a+12b+13c=18．已知a，b，c为正实数且a+2b+3c＝5．（1）求a2+b2+c2的最小值；（2）当2ab+3ac+6bc19．已知函数f（x）=|x+2|+|（1）求实数m的范围；（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足4a+5b+13a20．已知函数y＝f（x）的定义域为D，值域为A．若D⊆A，则称f（x）为“M型函数”；若A⊆D，则称f（x）为“N型函数”．（1）设f(x)=x2-5x+8x，D＝[1，（2）设f(x)=x12，g（x）＝af（2+x）+bf（2﹣x），若g（x）既是“M型函数”又是“（3）设f（x）＝x2﹣2ax+b，D＝[1，3]，若f（x）为“N型函数”，求f（2）的取值范围．

2025年高考数学一轮复习之相等关系与不等关系参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知实数a，b，c，d满足：a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式一定正确的是（）A．a+d＞b+c B．ad＞bc C．a+c＞b+d D．ac＞bd【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】C【分析】ABD可举出反例，可根据不等式的基本性质检验选项C．【解答】解：不妨设a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，此时a+d＝b+c，A错误，ad＝﹣4＜bc，B错误；因为a＞b，c＞d，根据不等式的基本性质，同向可加性得到：a+c＞b+d，C正确；a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2时，ac＝bd，D显然错误．故选：C．【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．2．设集合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}，B＝{x|x＜﹣2}，则A∪（∁RB）＝（）A．（﹣2，1） B．[﹣2，1） C．[﹣2，+∞） D．（1，+∞）【考点】指、对数不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．【答案】C【分析】根据已知条件，结合集合的运算，即可求解．【解答】解：合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∁RB＝{x|x≥﹣2}，故A∪（∁RB）＝[﹣2，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查并集、补集的运算，属于基础题．3．若p：2-xx+1≤A．﹣1≤x≤2 B．|x|＞1 C．|x|＞2 D．2＜x≤5【考点】其他不等式的解法；充分条件与必要条件．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；数学抽象．【答案】B【分析】解不等式2-xx+1≤0得x＜﹣1或【解答】解：p：2-xx+1≤0，即（2﹣x）（x+1）≤0且x≠﹣1，解得x＜﹣1或所以p：x＜﹣1或x≥2，对于A，﹣1≤x≤2是p的既不充分也不必要条件；对于B，|x|＞1即x＜﹣1或x＞1，是p的必要不充分条件；对于C，|x|＞2即x＜﹣2或x＞2，是p的充分不必要条件；对于D，2＜x≤5是p的充分不必要条件；故选：B．【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，还考查了充分必要条件的应用，属于基础题．4．若A={x∈Z|x-28-x≤0}，B＝{A．0 B．1 C．2 D．3【考点】指、对数不等式的解法；其他不等式的解法；交集及其运算．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】C【分析】分别确定集合A，B，再求交集．【解答】解：根据题意，可得集合A＝{x∈Z|x≤2或x＞8}，B＝{x|0＜x＜5}，则A∩B＝{1，2}，所以A∩B的元素个数为2个．故选：C．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．5．已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．[2，3） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．（0，+∞）【考点】指、对数不等式的解法；并集及其运算．【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算．【答案】B【分析】先求出集合A，然后结合集合的并集运算即可求解．【解答】解：由A＝{x|log2x≥1}＝[2，+∞），B＝{x|1＜x＜3}，可得A∪B＝（1，+∞）．故选：B．【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．6．设集合A＝{x∈N|1＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜6} B．{x|1＜x＜5} C．{3，4，5} D．{2，3，4}【考点】指、对数不等式的解法；补集及其运算．【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算．【答案】D【分析】先求出两集合，再求两集合的交集即可．【解答】解：∵A＝{x∈N|1＜x＜6}＝{2，3，4，5}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}＝{x|0＜x﹣1＜4}＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{2，3，4}．故选：D．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．7．命题p：(12)x＜1，命题q：lnxA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】指、对数不等式的解法；充分条件与必要条件．【专题】对应思想；转化法；简易逻辑．【答案】B【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：p：(12)x＜1命题q：lnx＜1，即：0＜x＜e，则p是q成立的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．8．若集合M={x|logA．{x|0＜x≤2} B．{x|0≤x＜9} C．{x|x＜9} D．{x|0＜x＜9}【考点】指、对数不等式的解法；并集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】B【分析】先化简集合M，N，再根据集合的并集运算求解．【解答】解：由题意得M＝{x|0＜x＜9}，N＝{x|0≤x≤2}，则M∪N＝{x|0≤x＜9}．故选：B．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，并集的运算及定义，是基础题．9．已知A={x|mx+1mx-A．-12≤m＜C．m≤-12或m＞12【考点】其他不等式的解法；元素与集合关系的判断．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；集合；数学运算．【答案】A【分析】由已知结合元素与集合关系及分式不等式的求法即可求解．【解答】解：因为A={若2∈A，则2m解得-1故选：A．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题．10．已知a＞0，b＞0且a+b＝1，则（1+1a）（1A．49 B．50 C．51 D．52【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；对应思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】B【分析】先变形，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0且a+b＝1，∴（1+1a）（1+8b）＝（1+＝（2+ba）（9+8≥2144+26＝50当且仅当9ba=16ab，即∴（1+1a）（1+8故选：B．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，则x+4x的最小值为【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】因为x＞0，直接利用基本不等式求出其最小值．【解答】解：∵x＞0，则x+4x≥24=4故答案为4．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于基础题．12．已知ab=12，a，b∈（0，1），则11-a+41-【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；对应思想；转化法；不等式．【答案】见试题解答内容【分析】先根据条件消掉b，即将b=12a代入原式得11-【解答】解：∵ab=12，a，b∈（0，∴b=1∴1﹣a＞0，1﹣b＝1-12∴2a﹣1＞0，∴11-=1=11-=22-2＝2（12-2a+＝2（12-2a+22a-1）[（2﹣2a）+＝2（1+2+2a-≥2（3+22a-12-2a⋅2(2-2a)2a-1当且仅当2a-12-2故11-a+4故答案为：10+42【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及消元，裂项，凑配，乘1等恒等变形，以及取等条件的确定，属于难题．13．已知x＞1，求x+4x-1的最小值是【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式，求出最小值．【解答】解：由于x＞1，所以x﹣1＞0，所以x+4x-1=(故答案为：5【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式，属于基础题．14．已知两个正数a，b的几何平均值为1，则a2+b2的最小值为2．【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】2．【分析】由几何平均值的定义得到ab＝1，利用基本不等式求解即可．【解答】解：由题意得ab=1，即ab＝1，故a2+b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1故答案为：2．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．15．已知正实数a，b，c满足b+c＝1，则8ab2+abc【考点】运用基本不等式求最值．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】变形得到8a【解答】解：任意的正实数a，b，c，满足b+c＝1，所以8a由于b，c为正实数，故由基本不等式得9bc+cb≥29所以a⋅(9bc+cb综上，8ab2故答案为：16．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．三．解答题（共5小题）16．已知a+b＝3（a＞0，b＞0）．（1）若|b﹣1|＜3﹣a，求b的取值范围；（2）求a+3【考点】运用基本不等式求最值．【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（1）(1（2）8．【分析】（1）由a+b＝3得|b﹣1|＜b，则﹣b＜b﹣1＜b，可得结果．（2）利用基本不等式先求出a+3+b+2的最值，再求出（a【解答】解：（1）因为a+b＝3（a＞0，b＞0），所以a＝3﹣b且0＜b＜3，所以|b﹣1|＜b，则﹣b＜b﹣1＜b，解得b＞又0＜b＜3，所以b的取值范围为(1（2）(a+1)b≤(a+1+b2)2=(3+14×即a+3+b+2≤4，当且仅当a＝1所以a+3+b+2+(【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．17．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈（0，+∞），且1a+12b+13c=【考点】基本不等式及其应用．【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）运用绝对值的解法，即可得到所求值；（2）运用乘1法和基本不等式，即可得到证明．【解答】解：（1）函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即有[﹣m，m}＝{﹣1，1]，可得m＝1；（2）证明：a，b，c∈（0，+∞），且1a+则a+2b+3c＝（a+2b+3c）（1a＝3+（2ba+a2b）+（≥3+22ba⋅a＝3+2+2+2＝9，当且仅当a＝2b＝3c＝3，取得等号．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用绝对值的含义，考查不等式的证明，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．18．已知a，b，c为正实数且a+2b+3c＝5．（1）求a2+b2+c2的最小值；（2）当2ab+3ac+6bc【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；整体思想；对应思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（1）a2+b2+c2的最小值为2514；（2）a+b+c=【分析】（1）由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件；（2）由基本不等式可得2ab+3ac+6bc≤5，结合条件得2ab+3ac+6【解答】解：（1）由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2＝25，故a2+b2+c2≥25当且仅当a1=b2=c3，即a=故a2+b2+c2的最小值为2514（2）由基本不等式可得，a+2b≥22aba+3c≥23ac2b+3c≥6故2（a+2b+3c）≥2（2ab故2ab+当且仅当a＝2b＝3c，且a+2b+3c＝5，即a=53，b=56又∵2ab∴2ab+即a=53，b=56a+b+c=55【点评】本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=|x+2|+|（1）求实数m的范围；（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足4a+5b+13a【考点】基本不等式及其应用；函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可得出；（2）利用柯西不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣4|﹣m≥0在R上恒成立，即m≤（|x+2|+|x﹣4|）min，∴|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|＝6，∴m≤6；（2）由（1）知n＝6，4a+7b=16（4a+7b）（4a+5b+13a+2b）=16[（a+5b）当且仅当a=126，b∴4a+7b的最小值为32【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知函数y＝f（x）的定义域为D，值域为A．若D⊆A，则称f（x）为“M型函数”；若A⊆D，则称f（x）为“N型函数”．（1）设f(x)=x2-5x+8x，D＝[1，（2）设f(x)=x12，g（x）＝af（2+x）+bf（2﹣x），若g（x）既是“M型函数”又是“（3）设f（x）＝x2﹣2ax+b，D＝[1，3]，若f（x）为“N型函数”，求f（2）的取值范围．【考点】基本不等式及其应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】数形结合；整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（1）f（x）是“M型函数”；（2）a＝﹣1，b＝1；（3）[1，2]．【分析】（1）利用基本不等式以及双勾函数的性质求出函数的值域可求解；（2）分a＞0，b＜0和a＜0，b＞0结合函数的单调性分类讨论求解；（3）分a不同的取值结合“N型函数”的定义即可求范围．【解答】解：（1）当x∈[1，4]时，f(当且仅当x=2由于f（1）＝4，f（4）＝1，所以函数f（x）的值域为A=[4因为42-5＜1所以f（x）是“M型函数”；（2）g(x)=a2+x+由题意得函数g（x）的值域也为[﹣2，2]，显然ab＜0，否则值域不可能由负到正，当a＞0，b＜0时，g（x）在[﹣2，2]上单调递增，则g(2)=2a=2g(-2)=2b=-2，得a当a＜0，b＞0时，g（x）在[﹣2，2]上单调递减，则g(2)=2a=-2g(-2)=2b=2（3）f（x）＝x2﹣2ax+b＝（x﹣a）2+b﹣a2，D＝[1，3]，由题意得函数f（x）的值域A⊆[1，3]，当a≤1时，f（x）的最小值f（1）＝1﹣2a+b≥1，当1＜a≤3时，f（x）的最小值f（a）＝b﹣a2≥1，当a≥3时，f（x）的最小值f（3）＝9﹣6a+b≥1，当a≤2时，f（x）的最大值f（3）＝9﹣6a+b≤3，当a＞2时，f（x）的最大值f（1）＝1﹣2a+b≤3，因为f（2）＝4﹣4a+b，由点（a，b）所在的可行域，当a＝2，b＝6时，f（2）取最大值，最大值为2，当f（2）＝4﹣4a+b与b＝a2+1相切，即a＝2，b＝5时，f（2）取最小值，最小值为1，因此f（2）的取值范围是[1，2]．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了基本不等式及函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．

考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．2．并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言：．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算形状：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．3．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．4．补集及其运算【知识点的认识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．【命题方向】通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．5．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．6．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．7．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且8．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．9．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．10．运用基本不等式求最值运用基本不等式求最值11．指、对数不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：12．其他不等式的解法【知