2025年高考数学一轮复习之平面解析几何

第1页（共1页）2025年高考数学一轮复习之平面解析几何一．选择题（共10小题）1．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过K（﹣1，0）的直线l与抛物线E在第一象限内交于A、B两点，若|BF|＝3|AF|，则直线l的斜率为（）A．12 B．32 C．2332．已知O是坐标原点，A（3，0），动点P（x，y）满足|PO|＝2|PA|，则x+A．12 B．32 C．1 D3．已知点M在抛物线x2＝4y上，若点M到点（0，1）的距离为3，则点M到x轴的距离为（）A．4 B．3 C．2 D．14．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，P为抛物线上任意一点，O为坐标原点，若|PF|＝3，则|OP|＝（）A．22 B．3 C．23 D5．抛物线y＝2x2的准线方程为（）A．y=-18 B．y=-126．双曲线C：y2a2-A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．27．椭圆C：x2A．5 B．25 C．26 D8．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．x22+y2=C．x24+y9．已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O是坐标原点，过F作直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝|ABA．312 B．36 C．33 10．已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，Q为线段AB的中点，P为抛物线C上任意一点，若|PF|+|PQ|的最小值为6，则p＝（）A．2 B．3 C．6 D．6二．填空题（共5小题）11．若圆M的圆心在x轴上，且与直线y＝x相切，则圆M的标准方程可以为．（写出满足条件的一个答案即可）12．已知AB＝4，点P是以线段AB为直径的圆上任意一点，动点M与点A的距离是它与点B的距离的2倍，则|PM|的取值范围为．13．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的焦距为26，C的一条渐近线与曲线y=12cos14．已知曲线G：x|x|+y|y|＝4，O为坐标原点．给出下列四个结论：①曲线G关于直线y＝x成轴对称图形；②经过坐标原点O的直线l与曲线G有且仅有一个公共点；③直线l：x+y＝2与曲线G所围成的图形的面积为π﹣2；④设直线l：y＝kx+2，当k∈（﹣1，0）时，直线l与曲线G恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是．15．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，其内切圆与AC边相切于点D，且AD＝1，延长BA到E，使BE＝BC，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2，则e1e2的取值范围是．三．解答题（共5小题）16．已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率e=5（1）求双曲线E和圆O的标准方程；（2）过双曲线E上的一点P作圆O的两条切线l1，l2，若l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值；（3）在（2）的条件下，若切线l1，l2分别与双曲线E相交于另外的两点M，N，证明：M，O，N三点共线．17．如图，双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点F1，F2分别为双曲线C2：x24a2-y24b2=1的左、右顶点，过点F1的直线分别交双曲线C1的左、右两支于A，（1）求双曲线C1的方程；（2）若直线MF2交双曲线C1的右支于D，E两点．①记直线AB的斜率为k1，直线DE的斜率为k2，求k1k2的值；②试探究：|DE|﹣|AB|是否为定值？并说明理由．18．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F斜率为2的直线与E交于A，B两点，|AB|＝10．（1）求E的方程；（2）直线l：x＝﹣4，过l上一点P作E的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．19．已知G是圆T：（x+1）2+y2＝12上一动点（T为圆心），点H的坐标为（1，0），线段GH的垂直平分线交TG于点R，动点R的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）设P是曲线C上任一点，延长OP至点Q，使OQ→=2OP→（i）求曲线E的方程；（ii）M，N为C上两点，若OQ→=OM20．已知抛物线E：y2＝2x的焦点为F，A，B，C为E上不重合的三点．（1）若FA→+FB（2）过A，B两点分别作E的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，过A，B两点分别作l1，l2的垂线l3，l4，l3与l4相交于点M．（i）若|AB|＝4，求△ABD面积的最大值；（ii）若直线AB过点（1，0），求点M的轨迹方程．

2025年高考数学一轮复习之平面解析几何参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过K（﹣1，0）的直线l与抛物线E在第一象限内交于A、B两点，若|BF|＝3|AF|，则直线l的斜率为（）A．12 B．32 C．233【考点】抛物线的焦点与准线；直线与抛物线的综合．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】B【分析】设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理、抛物线的定义及|AF||【解答】解：设l方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＞0），由y2消去x得y2﹣4my+4＝0，则有y1+y2＝4m，y1y2＝4①，由|AF||即my1由①②解得y1∴k=故选：B．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．2．已知O是坐标原点，A（3，0），动点P（x，y）满足|PO|＝2|PA|，则x+A．12 B．32 C．1 D【考点】轨迹方程；两点间的距离公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】D【分析】设P（x，y），可求点的轨迹方程，利用x+【解答】解：设P（x，y），由题意|PO|＝2|PA|，可得x2+y2=2(x-3)2+y2，整理可得x2+y2﹣8x+12＝且圆心的坐标（4，0），半径r＝2，x+3yx2+y2表示OP→=（x，要使得x+3yx2+y2取得最大值，有OP→与圆（x﹣4）2+y2可得x+3yx2+y2故选：D．【点评】本题考查点的轨迹的求法，考查向量的数量积的计算，是难题．3．已知点M在抛物线x2＝4y上，若点M到点（0，1）的距离为3，则点M到x轴的距离为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】C【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标及准线方程，再根据抛物线的定义得yM+1＝3，求得yM，可得点M到x轴的距离．【解答】解：因为抛物线得方程为x2＝4y，所以焦点坐标为（0，1），准线方程为y＝﹣1，根据题意及抛物线的定义得：yM+1＝3，解得：yM＝2，所以点M到x轴的距离为2．故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题．4．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，P为抛物线上任意一点，O为坐标原点，若|PF|＝3，则|OP|＝（）A．22 B．3 C．23 D【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】C【分析】根据抛物线定义结合|PF|＝3，求得点P的坐标，即可求解．【解答】解：由题意F为抛物线y2＝4x的焦点，则F（1，0），且准线方程为x＝﹣1，设P（xP，yP），由|PF|＝3可得xP+1＝3，∴xP＝2，代入y2＝4x得yP2=8故|OP故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．5．抛物线y＝2x2的准线方程为（）A．y=-18 B．y=-12【考点】求抛物线的准线方程．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】A【分析】根据抛物线的性质得出准线方程．【解答】解：∵抛物线方程可化为x2=1∴抛物线y＝2x2的准线方程为y=故选：A．【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题．6．双曲线C：y2a2-A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【考点】双曲线的几何特征．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】A【分析】由点到直线的距离公式，结合a，c的关系，求得a，可得渐近线方程，进而得到所求之积．【解答】解：双曲线C：y2a2-x2=1(a＞0)的上焦点F2（0，c可得c1+又1+a2＝c2，可得a＝2，即有渐近线方程为y＝±2x，则双曲线两条渐近线的斜率之积为﹣4．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7．椭圆C：x2A．5 B．25 C．26 D【考点】椭圆的几何特征．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程求出a，b，c，再求长轴长2a与焦距2c之差．【解答】解：因为椭圆C：x2所以a2＝80，b2＝35，所以a=4所以长轴长2a=85所以长轴长与焦距之差等于2a故选：B．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．8．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．x22+y2=C．x24+y【考点】椭圆的弦及弦长．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】B【分析】法一：设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|+|BF2|＝4n，在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理结合cos∠AF2F1+cos∠BF2F1＝0，两式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，然后转化求解即可．法二：设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义，在△AF1B中，由余弦定理转化求解椭圆方程即可．【解答】解：法一：由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|+|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a﹣|AF2|＝2n．在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得4n又∠AF2F1，∠BF2F1互补，∴cos∠AF2F1+cos∠BF2F1＝0，两式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，得3n2+6＝11n2，解得n=∴2a∴所求椭圆方程为x2故选：B．法二：如图，由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|+|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a﹣|AF2|＝2n．在△AF1B中，由余弦定理推论得cos∠在△AF1F2中，由余弦定理得4n2+4∴2a∴所求椭圆方程为x2故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．9．已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O是坐标原点，过F作直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝|ABA．312 B．36 C．33 【考点】椭圆的弦及弦长．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】C【分析】根据题意，设∠F1AF2＝θ，再利用余弦定理结合椭圆的性质可解．【解答】解：∵椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C交于A，B两点，且|AF1|＝∴S△AF1F2=2在△AF1F2中，设∠F1AF2＝θ，θ∈（0，π），由余弦定理可得|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1||AF2|cosθ，即4c2＝（|AF1|+|AF2）|2﹣2|AF1||AF2|﹣2|AF1||AF2|cosθ＝4a2+（﹣2﹣2cosθ）|AF1||AF2|，可得（2+2cosθ）|AF1||AF2|＝4c2﹣4a2＝4b2，∴△F1AF2的面积S=12|AF1||AF2|sinθ=sinθ1+cosθb∴3sinθ﹣cosθ＝1，即sin（θ-π6）=12，∵θ-π6∴θ=π又∵|AF1|＝|AB|，∴△AF1B是等边三角形，即|AF1|＝|BF1|＝|AB|，由椭圆的定义可得|AF1|+|BF1|+|AB|＝4a，故|AF1|=4a3，|AF2|=2a3，∴AB⊥F1F2，则|AF1|2＝|AF2|2+|F1F2|2，即（4a3）2＝（2a3）2+（2c）2，整理得a2＝故离心率e=c故选：C．【点评】本题考查椭圆的性质，考查计算能力，属于中档题．10．已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，Q为线段AB的中点，P为抛物线C上任意一点，若|PF|+|PQ|的最小值为6，则p＝（）A．2 B．3 C．6 D．6【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】对应思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】C【分析】根据抛物线的定义得到|PF|+|PQ|的最小值为|QD|，再去求|QD|的最小值p即可．【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F(p2根据题意，过点Q作准线x=-p2的垂线，垂足为D，交抛物线C于点于是|PF|+|PQ|＝|PD|+|PQ|＝|QD|，即|PF|+|PQ|的最小值为|QD|，在抛物线C上任取点P'，过P'作准线x=-p2的垂线，垂足为D'，连接P'F，P'Q，则有|P'F|+|P'Q|＝|P'D'|+|P'Q|≥|D'Q|≥|QD|≥p，当且仅当点P'与点P重合且为O时取等号，所以|PF|+|PQ|的最小值为p＝6．故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，属于中档题．二．填空题（共5小题）11．若圆M的圆心在x轴上，且与直线y＝x相切，则圆M的标准方程可以为（x﹣2）2+y2＝2（答案不唯一）．（写出满足条件的一个答案即可）【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，举出符合题意的圆，验证可得答案．【解答】解：根据题意，对于圆（x﹣2）2+y2＝2，其圆心为（2，0），在x轴上，半径为2，而圆心到直线y＝x的距离d=|2-0|1+1=2，则直线故答案为：（x﹣2）2+y2＝2（答案不唯一）．【点评】本题考查圆的标准方程，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．12．已知AB＝4，点P是以线段AB为直径的圆上任意一点，动点M与点A的距离是它与点B的距离的2倍，则|PM|的取值范围为[0，8+42]．【考点】两点间的距离公式．【专题】数形结合；定义法；直线与圆；数学运算．【答案】[0，8+42]．【分析】以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出点M的轨迹方程，利用数形结合法求出|PM|的取值范围．【解答】解：以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示：设A（﹣2，0），B（2，0），M（x，y），则：(x化简得：x2+y2﹣12x+4＝0，即（x﹣6）2+y2＝32，所以点M的轨迹是以Q（6，0）为圆心，42⊙O与⊙Q的位置关系是相交，所以|PM|的取值范围是[0，8+42]．故答案为：[0，8+42]．【点评】本题考查了求点的轨迹方程以及两圆的位置关系应用问题，是基础题．13．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的焦距为26，C的一条渐近线与曲线y=12cos【考点】直线与双曲线的综合．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】14【分析】根据题意易得a=2，b＝2，再设OM直线方程为y＝kx，从而可得x2=42-k2，y2=4k22-【解答】解：∵y=12cos2x，∴∴y'|x∴ba=2，又c=6，c2＝a2解得a=2，b＝2∴双曲线C的方程为x2设OM直线方程为y＝kx，联立y=kx2x2-y2=4，可得（2∴x2=4∴|OM|2＝x2+y2=4又以MN为直径的圆经过坐标原点O，∴OM⊥ON，∴ON直线方程为y=-以“-1k“代替|OM|2中的“k“，可得|ON|2∴1|故答案为：14【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，化归转化思想，属中档题．14．已知曲线G：x|x|+y|y|＝4，O为坐标原点．给出下列四个结论：①曲线G关于直线y＝x成轴对称图形；②经过坐标原点O的直线l与曲线G有且仅有一个公共点；③直线l：x+y＝2与曲线G所围成的图形的面积为π﹣2；④设直线l：y＝kx+2，当k∈（﹣1，0）时，直线l与曲线G恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是①③④．【考点】曲线与方程．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算．【答案】①③④．【分析】分x，y的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，由图可得①正确；当斜率为﹣1时结合渐近线可得②错误；由四分之一圆面积减去三角形面积可得③正确；由图形可得④正确．【解答】解：：|x|x+|y|y＝4可化为x2因为当x＜0，y＜0时，﹣x2﹣y2＝4无意义，无此曲线，故舍去，所以曲线G表示为x2对于①，由图象可得曲线G关于直线y＝x成轴对称图形，故①正确；对于②，由于左上和右下部分双曲线的a＝b，所以渐近线方程为y＝﹣x，所以当直线的斜率为﹣1时，过原点的直线与曲线无交点，故②错误；对于③，设直线l与x，y交点分别为A，B，因为圆方程中半径为2，且点A（2，0），B（0，2），所以直线与曲线围成的图形的面积为14×π对于④，由于直线y＝kx+2恒过（0，2），当k＝0时，直线与x平行，有一个交点；当k＝﹣1时，与渐近线平行，此时有两个交点，当﹣1＜k＜0，结合斜率的范围可得有三个交点，如图，④正确．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了曲线方程的应用，还考查了直线与曲线位置关系的应用，属于中档题．15．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，其内切圆与AC边相切于点D，且AD＝1，延长BA到E，使BE＝BC，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2，则e1e2的取值范围是（1，+∞）．【考点】双曲线的几何特征；椭圆的几何特征．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】（1，+∞）．【分析】设M，G分别是BC，BE与圆的切点，设CD＝CM＝GE＝m，利用椭圆，双曲线的定义分切求出e1，e2的表达式，进而可得e1e2的表达式，然后求出m的取值范围即可得解．【解答】解：如图以CE的中点为原点直角坐标系，设M，G分别是BC，BE与圆的切点，由圆的切线性质得AG＝AD＝1，设CD＝CM＝GE＝m（m＞1），所以AC＝1+m，AE＝GE﹣AG＝m﹣1，在△ACE中，CE2＝CA2+EA2﹣2CA•EAcos60°＝（m+1）2+（m﹣1）2﹣（m+1）（m﹣1）＝m2+3，以E，C为焦点经过点A的双曲线的离心率为e2以E，C为焦点经过点A的椭圆的离心率为e1则e1在△ABC中，设BM＝n，所以BC＝m+n，AB＝n+1，AC＝m+1，由余弦定理可得BC2＝BA2+CA2﹣2BA•ACcos120°，即（m+n）2＝（n+1）2+（m+1）2﹣2（n+1）（m+1）×（-1所以mn＝3m+3n+3，所以n=3m+3m由对勾函数的单调性可得函数y=x4+3所以e1故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查椭圆和双曲线的性质，以及圆的切线性质，根据圆锥曲线的定义结合条件表示出e1，e2，然后根据余弦定理结合条件求出参数的取值范围是解出此题的关键，属于中档题．三．解答题（共5小题）16．已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率e=5（1）求双曲线E和圆O的标准方程；（2）过双曲线E上的一点P作圆O的两条切线l1，l2，若l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值；（3）在（2）的条件下，若切线l1，l2分别与双曲线E相交于另外的两点M，N，证明：M，O，N三点共线．【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）x2-y（2）证明过程见解析；（3）证明过程见解析．【分析】（1）由题意，根据题目所给信息列出等式求出a和b的值，进而可得双曲线和圆的方程；（2）设出点P的坐标和直线l1的方程，根据点到直线的距离公式推出k1，k2是关于k的方程(3x02（3）将直线l1的方程与双曲线方程联立，结合韦达定理以及（2）中所得信息进行求证即可．【解答】解：（1）因为双曲线E的离心率e=5且双曲线E与圆O的一个交点坐标为所以e=解得a2＝1，b2＝4，则双曲线E的标准方程为x2-y24（2）证明：不妨设P（x0，y0），直线l1的方程为y﹣y0＝k1（x﹣x0），因为直线l1与圆O相切，所以|y即3(整理得(3x同理得(3x所以k1，k2是关于k的方程(3x可得k1因为点P在双曲线E上，所以12则k1故k1•k2为定值，定值为4；（3）证明：联立y-消去y并整理得(4-此时Δ=不妨设M（x1，y1），由韦达定理得x0由（2）得3(所以x0不妨设N（x2，y2），同理得x0所以x1由（2）得k1k2＝4，所以x1即x1+x2＝0，因为，M，N在双曲线上，所以y1+y2＝0或y1＝y2（舍去）．综上，M，O，N三点共线．【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．17．如图，双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点F1，F2分别为双曲线C2：x24a2-y24b2=1的左、右顶点，过点F1的直线分别交双曲线C1的左、右两支于A，（1）求双曲线C1的方程；（2）若直线MF2交双曲线C1的右支于D，E两点．①记直线AB的斜率为k1，直线DE的斜率为k2，求k1k2的值；②试探究：|DE|﹣|AB|是否为定值？并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合；双曲线的几何特征．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）x2（2）①3；②|DE|﹣|AB|为定值，定值为4．【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系列出等式求出a和b的值，进而可得双曲线的方程；（2）①设出点M的坐标，根据点M在双曲线C2上以及斜率公式再进行求解即可；②结合（1）中信息得到直线AB的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式再进行求解即可．【解答】解：（1）不妨设|F1F2|＝2c，因为△BF1F2与△ABF2的周长之差为2，所以|BF1|+|F1F2|﹣|AB|﹣|AF2|＝2，即2c﹣2a＝2，又因为F1，F2分别为双曲线C2的左、右顶点，所以c＝2a，解得a＝1，c＝2，则b2＝3，故双曲线C1的方程为x2（2）①由（1）知，双曲线C2的方程为x2不妨设M（x0，y0），因为点M在双曲线C2上，所以x0则k1②由（1）知直线AB的方程为y＝k1（x+2），联立y=k1(x不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得x1因为A，B位于双曲线的左、右两支，所以x1即k1此时|AB因为k1k2＝3，所以直线DE的方程为y=同理得|DE|=6[1+(则|DE故|DE|﹣|AB|为定值，定值为4．【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．18．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F斜率为2的直线与E交于A，B两点，|AB|＝10．（1）求E的方程；（2）直线l：x＝﹣4，过l上一点P作E的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】（1）y2＝8x；（2）证明见解析，定点（4，0）．【分析】（1）设AB的方程为x=12y+p2，A（x，y），B（x2，y2），联立方程y2=2pxx=1（2）设MN的方程为x＝my+n，M（x3，y3），N（x4，y4），联立抛物线方程可得y3+y4＝8m，y3y4＝﹣8n，然后可求得切线PM的方程y=4y3x+y12和切线PN的方程为y=4y4【解答】（1）解：设AB的方程为x=12y+p2，A（x，y），B联立方程y2=2pxx=12y+12p，消去x可得：y2﹣py﹣p所以y1+y2＝p，所以|AB|=x1+故抛物线E的方程为：y2＝8x；（2）证明：设MN的方程为x＝my+n，M（x3，y3），N（x4，y4），联立方程y2=8xx=my+n，消去x可得y2﹣8my﹣8n＝0，Δ＝64m2+32n＞0，即所以y3+y4＝8m，y3y4＝﹣8n，不妨令y3＞0当y＞0时，y2＝8x可以化为：y=22x故以M为切点的抛物线的切线PM的方程为：y-即y=4y3x联立PM与PN的方程，解得：xp所以y3y4＝﹣32＝﹣8n，n＝4，满足2m2+n＞0，则直线MN的方程为：x＝my+4，所以直线MN过定点（4，0）．【点评】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．19．已知G是圆T：（x+1）2+y2＝12上一动点（T为圆心），点H的坐标为（1，0），线段GH的垂直平分线交TG于点R，动点R的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）设P是曲线C上任一点，延长OP至点Q，使OQ→=2OP→（i）求曲线E的方程；（ii）M，N为C上两点，若OQ→=OM【考点】直线与圆锥曲线的综合；轨迹方程．【答案】（1）x2（2）（i）x2（ii）是定值，定值为6．【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及椭圆的定义得到动点R的轨迹为以T（﹣1，0），H（1，0）为焦点，长轴长为23的椭圆，设出椭圆的方程，结合a，b，c（2）（i）设出点Q的坐标，根据向量的坐标运算求出点P的坐标，代入曲线C的方程中即可求解；（ii）设出M，N的坐标，根据题目所给信息推出四边形OMQN是平行四边形，设对角线交点为D，对直线MN的斜率是否存在进行讨论，当直线MN的斜率不存在时，利用对称性以及题目所给信息求出点Q的坐标，利用三角形面积公式再求解即可；当直线MN的斜率存在时，设出直线MN的方程，将直线MN的方程与曲线E的方程联立，利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式再进行求解．【解答】解：（1）因为线段GH的中垂线交线段TG于点R，所以|RH|＝|RG|，此时|RT则动点R的轨迹为以T（﹣1，0），H（1，0）为焦点，长轴长为23不妨设椭圆方程为x2此时2a解得a=又c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝2，则曲线C的方程为x2（2）（i）不妨设Q（x，y），因为OQ→所以P(因为点P在曲线C上，所以(x解得x2则曲线E的方程为x2（ii）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），因为OQ→所以四边形OMQN是平行四边形，不妨设对角线交点为D，当直线MN的斜率不存在时，由椭圆的对称性以及OQ→可得Q（2x1，0），因为点Q在曲线E上，解得x1代入曲线C的方程中，解得y1所以S△OMD=1则四边形OMQN的面积为6；当直线MN的斜率存在时，不妨设直线MN的方程为y＝kx+b，联立y=kx+bx23+y22=1，消去y并整理得（3k2+2）因为Δ＞0，所以3k2﹣b2+2＞0，由韦达定理得x1+x所以xD则yD可得xQ=2x因为点Q在曲线E上，解得3k2+2＝2b2，此时|=1+又3k2+2＝2b2，解得|MN|=6因为原点O到直线MN的距离d=所以S△所以四边形OMQN的面积为6，综上得，四边形OMQN的面积为定值，定值为6．【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：y2＝2x的焦点为F，A，B，C为E上不重合的三点．（1）若FA→+FB（2）过A，B两点分别作E的切线l1，l2，l1与l2相交于点D，过A，B两点分别作l1，l2的垂线l3，l4，l3与l4相交于点M．（i）若|AB|＝4，求△ABD面积的最大值；（ii）若直线AB过点（1，0），求点M的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合；抛物线的焦点与准线．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）3；（2）（i）8；（ii）y2＝2x﹣4．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据向量的坐标运算即可得x1（2）（i）设直线AB的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；（ii）利用直线相交、直线过定点即可得点M的轨迹方程．【解答】解：（1）易知抛物线E的焦点F(不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），因为FA→所以(x整理得x1由抛物线定义得|FA（2）（i）易知直线AB的斜率不为0，不妨设直线AB的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立x=my+ny2=2x，消去x并整理得y2﹣此时Δ＝4m2+8n＞0，由韦达定理得y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2n，因为y2＝2x，所以y=可得y'则切线l1的方程为y=同理得切线l2的方程为y=联立y=解得x=即D（﹣n，m），又点D到直线AB的距离为d=而|AB整理得m2则S△当且仅当m＝0时，等号成立，故△ABD面积的最大值为8；（ii）若直线AB过点（1，0），不妨设设直线AB的方程为x＝my+1，联立x=my+1y2=2x，消去x并整理得y2﹣由韦达定理得y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2，所以直线l3的方程为y=同理得直线l4的方程为y=联立y=解得x=因为y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2，所以x=2m2+2y=2m，整理得y故点M的轨迹方程为y2＝2x﹣4．【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．

考点卡片1．两点间的距离公式3235136:两点间的距离公式2．圆的标准方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．【解题方法点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．【命题方向】可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d=|4a-3化简得：|4a﹣3b|＝5①，又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a=-∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故选：A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（）A．1B．2C．2D．4分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为x2+（y+1）2＝2，故半径等于2，故选B．点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．3．直线与圆的位置关系【知识点的认识】直线与圆的位置关系【解题方法点拨】判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d=①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由Ax+①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．4．椭圆的几何特征【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e=ca，且0＜e②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．5．椭圆的弦及弦长椭圆的弦及弦长6．抛物线的焦点与准线【知识点的认识】抛物线的简单性质：7．求抛物线的准线方程求抛物线的准线方程8．直线与抛物线的综合【知识点的认识】直线与抛物线的位置判断：将直线方程与抛物线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与抛物线相交⇔Δ＞0；直线与抛物线相切⇔Δ＝0；直线与抛物线相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】研究直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为二次方程，则依据根的判别式或根与系数的关系求解，同时应注意“设而不求”和“整体代入”方法的应用．直线y＝kx+b与抛物线y2＝2px（p＞0）公共点的个数等价于方程组y2（1）若k≠0，则当Δ＞0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．（2）若k＝0，则直线y＝b与y2＝2px（p＞0）相交，有一个公共点；特别地，当直线的斜率不存在时，设x＝m，则当m＞0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，直线l与抛物线相切，有一个公共点；当m＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．【命题方向】掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力．对相对固定的题型，比如弦长问题、面积问题等，要以课本为例，理解通性通法，熟练步骤．对抛物线与直线的综合研究，涉及到定点、定值等相关结论，往往是高考考试的热点．9．双曲线的几何特征【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=ca（e＞准线x＝±ay＝±a渐近线xa±yxb±y10．直线与双曲线的综合【知识点的认识】直线与双曲线的位置判断：将直线方程与双曲线方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与双曲线相交⇔Δ＞0；直线与双曲线相切⇔Δ＝0；直线与双曲线相离⇔Δ＜0；直线与双曲线的位置关系只有三种，不可能出现有多个解，因为直线与双曲线的交点个数最多有2个．值得注意的是，当直线方程和双曲线方程联立后，如果得到一元一次方程，说明此时直线与双曲线的渐近线平行，那么直线与双曲线相交，且只有一个交点．【解题方法点拨】（1）直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：①直线平行渐近线；②直线与双曲线相切．（2）弦长的求法设直线与双曲线的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=(1+k2注意：利用公式计算直线被双曲线截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．【命题方向】双曲线知识通常与圆、椭圆、抛物线或数列、向量及不等式、三角函数相联系，综合考查数学知识及应用是高考的重点，应用中应注意对知识的综合及分析能力，双曲线的标准方程和几何性质中涉及很多基本量，如“a，b，c，e“．树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助．11．曲线与方程【知识点的认识】在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．【解题方法点拨】例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（）A：直线B：圆C：椭圆D：双曲线一支．解：对定点B分类讨论：①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任