2024北京朝阳区高二（上）期末数学试题和答案

试题PAGE1试题2024北京朝阳高二（上）期末数学一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．若直线l的斜率为﹣，则l的倾斜角为（）A．﹣ B．﹣ C． D．2．已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，若a2+a5+a8＝3，则S9＝（）A．3 B．6 C．9 D．273．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B． C． D．y＝±2x4．过抛物线x2＝4y的焦点F作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AB|＝（）A． B．4 C． D．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为CD和A1B1的中点，则异面直线AF与D1E所成角的余弦值是（）A．0 B． C． D．6．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（）A．（0，4） B．（﹣∞，0） C．（4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，4）7．已知等比数列{an}各项都为正数，前n项和为Sn，则“{an}是递增数列”是“∀n∈N*，S2n＜3Sn”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，下列说法正确的是（）A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近t0时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同9．A，B是圆C1：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝4上两点，|AB|＝2，若在圆C2：（x﹣2）2+（y+1）2＝9上存在点P恰为线段AB的中点，则实数m的取值范围为（）A．[1，3] B．[﹣5，3] C．[﹣5，﹣3]∪[1，3] D．[﹣4，﹣2]∪[2，4]10．已知数列{an}的通项公式an＝2n，n∈N*．设t＝（a1+1）（a2+1）（a4+1）…（a+1），k∈N*，若log2（t+1）＝256，则k＝（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11．两条直线l1：x﹣y＝0与l2：x﹣y﹣2＝0之间的距离是．12．已知函数f（x）＝sin2x，则f′（0）＝．13．以A（4，6），B（﹣2，﹣2）为直径端点的圆的方程是．14．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），若点P（x，y，﹣1）在平面ABC内，写出一个符合题意的点P的坐标．15．某学校球类社团组织学生进行单淘汰制的乒乓球比赛（负者不再比赛），如果报名人数是2的正整数次幂，那么每2人编为一组进行比赛，逐轮淘汰．以2022年世界杯足球赛为例，共有16支队进入单淘汰制比赛阶段，需要四轮，8+4+2+1＝15场比赛决出冠军．如果报名人数不是2的正整数次幂，则规定在第一轮比赛中安排轮空（轮空不计入场数），使得第二轮比赛人数为2的最大正整数次幂．（如20人参加单淘汰制比赛，第一轮有12人轮空，其余8人进行4场比赛，淘汰4人，使得第二轮比赛人数为16．）最终有120名同学参加校乒乓球赛，则直到决出冠军共需轮；决出冠军的比赛总场数是．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝1，M为棱BC的中点，点P是侧面CC1D1D上的动点，满足∠APD＝∠CPM，给出下列四个结论：①动点P的轨迹是一段圆弧；②动点P的轨迹长度为；③动点P的轨迹与线段CC1有且只有一个公共点；④三棱锥P﹣ADD1的体积的最大值为．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（13分）已知函数f（x）＝（2x2﹣3x）ex．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．18．（13分）已知Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an﹣1，n∈N*．数列{bn}是等差数列，且b1＝﹣a1，b2+b4＝﹣10．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和．19．（14分）如图，三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝PB＝1，平面PAB⊥平面ABC，点E是棱PB的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．条件①：PC＝；条件②：直线PC与平面PAB所成角为45°．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．20．（15分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为（0，），离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过椭圆E的右焦点F作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆E于A，B两点，线段AB的垂直平分线m分别交直线l，x轴，y轴于点M，N，K，求的值．21．（15分）设正整数n≥4，若由实数组成的集合A＝{a1，a2，…，an}满足如下性质，则称A为Hn集合：对A中任意四个不同的元素a，b，c，d，均有ab+cd∈A．（Ⅰ）判断集合和是否为H4集合，说明理由；（Ⅱ）若集合A＝{0，x，y，z}为H4集合，求A中大于1的元素的可能个数；（Ⅲ）若集合A为Hn集合，求证：A中元素不能全为正实数．

参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【分析】由题意利用直线的斜率和倾斜角的关系，得出结论．【解答】解：若直线l的斜率为﹣，则l的倾斜角为，故选：C．【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，属于基础题．2．【分析】利用等差数列通项公式求出a5＝1，再由S9＝＝9a5，能求出结果．【解答】解：等差数列{an}，其前n项和为Sn，a2+a5+a8＝3，∴a2+a5+a8＝3a5＝3，解得a5＝1，则S9＝＝9a5＝9．故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．【分析】根据双曲线的几何性质即可求解．【解答】解：根据双曲线的几何性质可知：焦点到双曲线的一条渐近线的距离为b＝，又2a＝，∴a＝，∴，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，属基础题．4．【分析】根据抛物线的几何性质，抛物线的焦点弦长公式，即可求解．【解答】解：∵抛物线x2＝4y的焦点F为（0，1），又直线l的倾斜角为30°，∴直线l的斜率为，∴直线l的方程为，联立，可得3y2﹣10y+3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，∴|AB|＝p+y1+y2＝2+＝．故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦长公式的应用，属中档题．5．【分析】根据题意，以向量为基底，表示出向量与，从而利用向量的数量积与夹角公式算出答案．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，根据题意，可得，，且．所以＝，因为，同理，所以＝，可得异面直线AF与D1E所成角的余弦值等于||＝．故选：B．【点评】本题主要考查正方体的结构特征、异面直线所成角的求法及其应用等知识，属于基础题．6．【分析】变形为，利用椭圆性质即可求解．【解答】解：变形为，要表示椭圆需要满足，解得m∈（﹣∞，0）．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．7．【分析】根据题意，利用特殊值说明充分性不成立，由等比数列前n项和公式可得必要性不成立，综合可得答案．【解答】解：等比数列{an}各项都为正数，则q＞0，当q＝1时，数列{an}是常数数列，但S2n＝2na1，3Sn＝3na1，有S2n＜3Sn，反之，若S2n＜3Sn，当q＝1时，S2n＝2na1，3Sn＝3na1，有S2n＜3Sn，符合题意，当q≠1时，有＜3×，即（1+qn）＜3×，a1＞0，当q＞0且q≠1时，均有＞0，故原不等式式变形可得：qn＜2，数列{an}不一定是递增数列．故“{an}是递增数列”是“∀n∈N*，S2n＜3Sn”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的前n项和，属于基础题．8．【分析】根据题意，由两个函数的图象，判断函数的变化情况，由此分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，该月内，乙厂污水排放量减少得更多，A错误；对于B，甲图象先平缓，随后越来越陡，即甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快，B正确；对于C，在接近t0时，甲图象陡峭些，乙图象平缓些，故甲厂污水排放量减少得更快，C错误；对于D，两个函数的图象不存在斜率相等的情况，则不存在两厂污水排放量减少的速度相同的时刻，D错误．故选：B．【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的变化趋势，属于基础题．9．【分析】设AB的中点M的坐标为（x，y），由圆的弦长公式求出M的轨迹，通过M的轨迹与圆C2有公共点建立不等式组，求解即可．【解答】解：设AB的中点M的坐标为（x，y），因为A，B是圆C1：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝4上两点，|AB|＝2，所以，所以|MC1|＝1，即M的轨迹为以C1为圆心，1为半径的圆，因为在圆C2：（x﹣2）2+（y+1）2＝9上存在点P恰为线段AB的中点，则M的轨迹与圆C2有公共点，所以2≤|C1C2|≤4，即2≤|m+1|≤4，解得﹣5≤m≤﹣3或1≤m≤3，所以实数m的取值范围为[﹣5，﹣3]∪[1，3]．故选：C．【点评】本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，属于中档题．10．【分析】由对数方程，可得t的表达式，当k＝1，2，3时，求出t的表达式，可得t＝2﹣1，而t＝2256﹣1，解得k的值．【解答】解：因为log2（t+1）＝256，可得t+1＝2256，所以t＝2256﹣1，数列{an}的通项公式an＝2n，n∈N*，当k＝1时，t＝a1+1＝21+1＝3；当k＝2时，t＝（a1+1）（a2+1）＝（21+1）（22+1）＝21+22+23+1＝20+21+22+23＝＝24﹣1，当k＝3时，t＝（a1+1）（a2+1）（a4+1）＝21+22+23+24+25+26+27+1＝20+21+22+23+24+25+26+27＝＝28﹣1，..．归纳可知：t＝2﹣1，而t＝2256﹣1，所以2k＝256，解得k＝8．故选：C．【点评】本题考查对数的运算性质的应用及归纳法求函数的通项公式的应用，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11．【分析】直接代入平行线间的距离公式，即可得结果．【解答】解：直线l1：x﹣y＝0与l2：x﹣y﹣2＝0，可得平行线间的距离d＝＝．故答案为：．【点评】本题考查平行线间的距离公式的应用，属于基础题．12．【分析】利用导数的运算性质求出函数的导数，然后令x＝0即可求解．【解答】解：因为f（x）＝sin2x，则f′（x）＝2cos2x，所以f′（0）＝2cos0＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了导数的运算性质，属于基础题．13．【分析】由AB的坐标，可得AB的中点O的坐标，再求圆的半径，代入圆的标准方程即可．【解答】解：因为A（4，6），B（﹣2，﹣2），则AB的中点O的坐标为（1，2），所以以AB为直径的圆的半径r＝|AO|＝＝5，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25．【点评】本题考查圆的方程的求法，属于基础题．14．【分析】结合向量共面定理，即可求解．【解答】解：点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则，，点P（x，y，﹣1）在平面ABC内，则，即m，n∈R，，故，即x+y＝2，不妨取x＝1，y＝1，故符合题意的一个点P的坐标为（1，1，﹣1）．故答案为：（1，1，﹣1）（答案不唯一）．【点评】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题．15．【分析】由题意可知要保证第二轮比赛人数为2的最大正整数次幂即64人，则第一轮应淘汰120﹣64＝56人，接下来按照比赛规则求解即可．【解答】解：第一步，根据题目，有120名同学参加校乒乓球赛，要保证第二轮比赛人数为2的最大正整数次幂即64人，所以第一轮应淘汰120﹣64＝56人，所以第一轮进行了56场比赛，有120﹣56×2＝8人轮空，第二步，由第一步易知第二轮有64人进行64÷2＝32场比赛，获胜的32人留下继续参加第三轮比赛，第三步，同理得，第三轮有32人进行16场比赛，第四轮有16人进行8场比赛，第五轮有8人进行4场比赛，第六轮有4人进行2场比赛，最后第七轮有2人进行1场决赛，所以决出冠军共需7轮，第四步，累计7轮下来的总比赛场数，即56+32+16+8+4+2+1＝119场，所以决出冠军的比赛总场数是119场．故答案为：7；119．【点评】本题主要考查了排列组合问题，属于中档题．16．【分析】利用三角函数的定义得到PD＝2PC，再建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式求得动点P的轨迹，从而逐一分析各选项即可得解．【解答】解：对于①，由长方体性质可知：AD，BC都与平面CC1D1D垂直，而DP，CP⊂CC1D1D内，所以AD⊥DP，CP⊥BC，由，可知，即，故PD＝2PC，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，3，0），因为点P是侧面CC1D1D上的动点，故设P（0，y，z），故所求点P（0，y，z）满足，化简得（y﹣4）2+z2＝4，则动点P的轨迹为此圆在矩形CDD1C1内的部分，是一段圆弧，故①正确：对于②，当z＝1时，由（y﹣4）2+12＝4，得或（舍去），当z＝0时，由（y﹣4）2+02＝4，得y＝2或y＝6（舍去），则，易得，又，则，所以动点P的轨迹长度为，故②正确；对于③，记圆心为F（0，4，0），当v＝3时，由（3﹣4）2+z2＝4，得，显然动点P的轨迹与线段CC1没有公共点，故③错误；对于④，显然，动点P到平面ADD1的最大距离为点G到平面ADD1的距离，即，所以三棱锥P﹣1ADD1的体积的最大值为，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查立体几何和平面几何的综合应用，属于中档题．三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．【分析】（Ⅰ）由导数的几何意义利用导数求切线的斜率，再由点斜式求切线方程；（Ⅱ）按步骤利用导数求函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝（2x2﹣3x）ex，f（x）的定义域为R．则f′（x）＝（2x2+x﹣3）ex，所以f′（0）＝﹣3e0＝﹣3，又f（0）＝0，所以f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣3x．（Ⅱ）由f（x）＝（2x2﹣3x）ex，得f′（x）＝（2x2+x﹣3）ex，由f′（x）＝0，解得或x＝1，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以函数f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与切线方程，基础题．18．【分析】（Ⅰ）先由数列{an}的前n项和Sn和通项an的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列{an}的类型，再利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解；（Ⅱ）利用等比数列和等差数列的求和公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，S1＝2a1﹣1＝a1得a1＝1，当n⩾2，n∈N*时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣1①，由已知Sn＝2an﹣1②，②﹣①得an＝2an﹣2an﹣1，所以an＝2an﹣1，所以数列{an}为等比数列，且公比为q＝2，因为a1＝1，所以，设数列{bn}公差为d，b1＝﹣1，b2+b4＝（b1+d）+（b1+3d）＝2b1+4d＝﹣10，由得d＝﹣2，所以；（Ⅱ）设，前n项和＝＝2n﹣n2﹣1．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）利用已知条件结合线面垂直，面面垂直的判定定理和性质定理即可求证；（Ⅱ）建系利用空间向量即可求解．【解答】（I）证明：如图，若选择条件①：取AB的中点D，连接CD，PD，由于△ABC是等边三角形，故CD⊥AB，又平面ABC⊥平面PAB，CD⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAB＝AB，故CD⊥平面PAB，而PD⊂平面PAB，故CD⊥PD，即，所以，又，故PB2＝PD2+BD2，所以，即AB⊥PD，因为AB⊥CD，PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以AB⊥平面PCD，PC⊂平面PCD，所以AB⊥PC；若选择条件②：取AB的中点D，连接CD，PD，由于△ABC是等边三角形，故CD⊥AB，又平面ABC⊥平面ABP，CD⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABP＝AB，所以CD⊥平面ABP，所以PC在平面ABP上的射影是PD，所以是PC与平面ABP所成角，所以，所以，又，故BP2＝PD2+BD2，所以，即AB⊥PD，因为AB⊥CD，PD⊥CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以AB⊥平面PCD，PC⊂平面PCD，所以AB⊥CP；（II）解：由（I）知DP，DC，DA两两垂直，以D为原点建立如图空间直角坐标系，于是，，点E是棱PB的中点，所以，则，，设是平面EAC的法向量，则，令，可得x＝1，z＝3，所以．又是平面ABC的一个法向量，设二面角E﹣AC﹣B大小为θ，由图可知θ为锐角，所以．【点评】本题考查空间位置关系的证明和空间角的求解，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质，即可得解；（Ⅱ）联立直线l与椭圆的方程，利用韦达定理表示出点M的坐标，再写出直线m的方程，从而表示出点K的坐标，再由＝，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a＝3，b＝，c＝2，所以椭圆E的标准方程为．（Ⅱ）由题意知，F（2，0），所以直线l的方程为y＝k（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y得，（5+9k2）x2﹣36k2x+36k2﹣45＝0，所以x1+x2＝，所以y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝k（﹣4）＝，因为M是AB的中点，所以xM＝（x1+x2）＝，yM＝（y1+y2）＝，因为直线m是线段AB的垂直平分线，所以直线m的方程为y﹣＝﹣（x﹣），令x＝0，则yK＝﹣（﹣）+＝，因为点N在x轴上，所以＝＝＝．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的几何性质，中点坐标公式，两条直线垂直的条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21．【分析】（Ⅰ）由H4集合的定义即可得出答案；（Ⅱ）由题意可得{x，y，z}＝{xy，yz，xz}，不妨设x＜y＜z，分类讨论x＜y＜z＜0，x＜y＜0＜z，x＜0＜y＜z和0＜x＜y＜z结合集合的性质即可得出答案；（Ⅲ）根据已知新定义，分类讨论、反证法进行求解、证明．【解答】解：（Ⅰ）集合A1是H4集合，理由如下：当{{a，b}，＝{{0，}，{1，2}}时，；当{{a，b}，{c，d}}＝{{0，1}，时，则；当{{a，b}，{c，d}}＝{{0，2}，时，集合A2不是H4集合，理由如下：取，则，不满足题中性质；（Ⅱ）当（a，b，c，d）＝（0，z，x，y）时，ab+cd＝xy∈A；当（a，b，c，d）＝（0，x，y，z）时，ab+cd＝yz∈A；当（a，b，c，d）＝（0，y，z，x）时，ab+cd＝xz∈A．所以{x，y，z}＝{xy，yz，xz}．不妨设x＜y＜z．①若x＜y＜z＜0，因为yz＞0，从而yz∉A，与yz∈A矛盾．②若x＜y＜0＜z，因为xz＜yz＜xy，故xz＝x，yz＝y，xy＝z，所以z＝1，xy＝1．经验证此时A＝{0，x，，1}是H4集合，元素大于1的个数为0．③若x＜0＜y＜z，因为xz＜xy＜0，所以与{x，y，z}＝{xy，yz，xz}矛盾．④若0＜x＜y＜z，因为xy＜xz＜yz，故xy＝x，xz＝y，yz＝z，所以．经验证此时A＝{0，x，1，}是H4集合，大于1的个数为1．综上，A中大于1的元素的可能个数为0，1；证明：（Ⅲ）假设集合A中全为正实数．若A中至少有两个正实数大于1，设0＜a1＜a2＜⋯＜an，则an＞an﹣1＞1，取（a，b，c，d）＝（an﹣3，an﹣2，an﹣1，an），则ab+cd＝an﹣3an﹣2+an