2025年外研衔接版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研衔接版高一数学上册月考试卷741考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞；4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.（-∞；-3]

B.[3；+∞）

C.{-3}

D.（-∞；5）

2、等差数列{an}中，a2+a6=8，a3+a4=3；那么它的公差是（）

A.4

B.5

C.6

D.7

3、【题文】已知函数与函数的零点分别为和（）A.B.C.D.4、【题文】欲建一个圆柱形无盖的净水池，要求它的容积为当圆柱的半径R等于（）时，所用的材料最省（表面积最小）.A.20B.15C.10D.55、【题文】函数的图像大致是（）

6、【题文】函数的图象是下列图象中的()

7、函数f（x）=ex+2x﹣3的零点所在区间是（）A.（﹣2，﹣1）B.（﹣1，0）C.（1，2）D.（0，1）8、已知则（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、幂函数的图象过点，则的解析式是_____________10、若函数的最小值为则实数的值为_________.11、已知向量=（λ，2），=（-3，5），且向量与的夹角为锐角，则λ的取值范围是____．12、中，是的两个实数根，则的值为____．13、【题文】如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线与的位置关系是____．14、【题文】已知在R上是奇函数，且当时；

时，则15、【题文】已知y="f(x)"在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)的取值范围。

是____；16、【题文】已知函数f(x)=x2＋2︱x︱－15，定义域是值域是[－15,0]，则满足条件的整数对有____对．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)17、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．18、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．19、作出函数y=的图象．20、画出计算1++++的程序框图．21、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

22、请画出如图几何体的三视图．

23、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．24、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、解答题(共3题，共27分)25、已知直线l过点P（-2；1）．

（1）当直线l与点B（-5；4）；C（3，2）的距离相等时，求直线l的方程；

（2）当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为时；求直线l的方程．

26、【题文】如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE是等腰梯形，BC∥DE,=45O是BC的中点，AO=且BC=6，AD=AE=2CD=2

(1)证明：AO⊥平面BCD；(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.27、计算：

（1）

（2）．评卷人得分五、证明题(共3题，共21分)28、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．29、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．30、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分六、综合题(共2题，共12分)31、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．32、若反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象都经过一点A（a，2），另有一点B（2，0）在一次函数y=kx+b的图象上．

（1）写出点A的坐标；

（2）求一次函数y=kx+b的解析式；

（3）过点A作x轴的平行线，过点O作AB的平行线，两线交于点P，求点P的坐标．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】

函数f（x）=x2+2（a-1）x+2的对称轴x=1-a；

又函数在区间（-∞；4）上是减函数，可得1-a≥4，得a≤-3．

故选A．

【解析】【答案】先求函数的对称轴；然后根据二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数建立不等关系，解之即可．

2、B【分析】

∵等差数列{an}中，a2+a6=8，a3+a4=3；

∴

即

∴d=5．

故选B．

【解析】【答案】等差数列{an}中，a2+a6=8，a3+a4=3，利用等差数列通项公式，列出方程组由此能求出它的公差．

3、D【分析】【解析】设依题意可得分别是函数与以及与的交点。因为函数与的图象关于直线的对称，所以点关于直线对称且在直线上。从而有整理可得故选D【解析】【答案】D4、C【分析】【解析】依题意可得，圆柱的高为则表面积当时，当时，所以故选C【解析】【答案】C5、A【分析】【解析】试题分析：因为分子分母分别为奇函数，所以原函数为偶函数，排除C、D，而当x取很小的正数时，sin6x＞0，2x－2－x＞0；故y＞0，排除B，选A

考点：函数的图象及其性质【解析】【答案】A6、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A7、D【分析】【解答】∵函数f（x）=ex+2x+2在R上单调递增；

∴f（0）=1+0﹣3=﹣2＜0；f（1）=e+2﹣3=e﹣1＞0；

∴f（0）f（1）＜0．

根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=ex+x2﹣3的零点所在的区间是（0；1）；

故选：D．

【分析】由函数的解析式求得f（0）f（1）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=ex+2x﹣2的零点所在的区间．8、C【分析】【分析】因为所以

【点评】直接考查集合的运算和正弦函数的值域，属于基础题型。二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】试题分析：设幂函数为将代入即解得考点：待定系数法求函数解析式.【解析】【答案】10、略

【分析】试题分析：(1)当时在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得最小值3，即解得(2)当即时，在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得最小值3，即解得考点：函数最值的求法，分类讨论思想.【解析】【答案】11、略

【分析】

由题意可得＞0，且不共线，即-3λ+10＞0，且

解得λ∈

故答案为：．

【解析】【答案】由题意可得＞0，且不共线，即-3λ+10＞0，且求出λ的取值范围．

12、略

【分析】【解析】试题分析：因为，是的两个实数根，所以，即=2.故===1.考点：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，两角和的正切公式，同角公式。【解析】【答案】113、略

【分析】【解析】

试题分析：我们把正方体的展开图还原为正方体，画出图形，有图形可知直线与为异面直线。

考点：正方体的平面展开图。

点评：把一个平面图形折叠成一个几何体，在研究其性质，是考查空间想象能力的一种方法。几何体的展开与折叠问题是考试的热点。【解析】【答案】异面14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】-215、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】16、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】7三、作图题(共8题，共16分)17、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．18、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．19、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可20、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．21、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．22、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．23、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．24、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、解答题(共3题，共27分)25、略

【分析】

（1）①当直线l∥BC时，kl=kBC==．

∴直线l的方程为化为x+4y-2=0．

②当直线l过线段BC的中点时；由线段BC的中点为M（-1，3）．

∴直线l的方程为化为2x-y+5=0．

综上可知：直线l的方程为x+4y-2=0或2x-y+5=0．

（2）设直线l的方程为．

则解得或．

∴直线l的方程为x+y+1=0；或x+4y-2=0．

【解析】【答案】（1）分直线l∥BC时与直线l过线段BC的中点时两种情况；利用点斜式即可得出；

（2）设出直线的截距式；可表示出三角形的面积计算公式及把点P的坐标代人即可解出．

26、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理证即再证直线与平面垂直的判定定理即可得证明；

（2）过O点作交CD的延长线于H，根据已知可证二面角A-CD-B的平面角；然后通过解三角形即可求得.

试题解析：（1）易得OC=3，AD=2连结OD；OE，在∆OCD中；

由余弦定理可得OD==

∵AD=2∴∴

同理可证：又∵平面BCD,平面BCD,∴AO⊥平面BCD；

（2）方法一：过O点作交CD的延长线于H，连结AH，因为AO⊥平面BCD,所以故为二面角A-CD-B的平面角.

因为OC=3，=45所以OH=从而tan=

方法二：以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示.则A(0，0，),C(0；-3，0),D(1，-2，0),

所以=(0，3，),=(-1，2，).

设为平面ACD的一个法向量，则

即解得令x=1，得

由（1）知，为平面CDB的一个法向量，所以cos<>==

由A-CD-B为锐二面角，所以二面角A-CD-B的平面角的正切值为

考点：1.直线与平面垂直的判定定理；2.直线与平面垂直的性质以及直线与平面所成的角.【解析】【答案】（1）证明详见解析；（2）27、略

【分析】

（1）利用对数的运算法则即可得出；

（2）利用指数的运算法则即可得出．

本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题．【解析】解：（1）原式===2．

（2）原式=-1-+

=-+

=0.5．五、证明题(共3题，共21分)28、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．29、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．30、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．六、综合题(共2题，共12分)31、略

【分析】【分析】（1）设△ABC的边AB上的高为h，由三角形的面积公式即可得出=，=，再由点D为边AB的黄金分割点可得出=；故可得出结论；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，设直线EF与CD交于点G，由同底等高的三角形的面积相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四边形AF