量子力学-第1章-1-2(第3讲)

第1章波函数与薛定谔方程§1波函数的统计解释§3量子态叠加原理§2薛定谔方程§1波函数的统计解释一

粒子和波的经典观点二

微观粒子波粒二象性三

微观粒子运动状态的描述四

波函数的性质五

动量分布概率六

不确定性原理与不确定度关系七

力学量的平均值与算符的引进在t

时刻,r

点，体积元dτ=dxdydz

内，找到由波函数Ψ(r,t)

描写的粒子的概率是：

dW(r,t)=|Ψ(r,t)|2

dτ根据波函数的统计解释，波函数有如下重要性质：（1）概率和概率密度

在t

时刻r点，单位体积内找到粒子的概率是：

ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=|Ψ(r,t)|2

概率分布密度在体积V

内，t时刻找到粒子的概率为

W(t)=∫V

dW=∫Vω(r,t)dτ=∫V|Ψ(r,t)|2

dτ四

波函数的性质令波函数的归一化条件和所描写状态的相对概率是相同的，这里的

是常数。时刻，在空间任意两点和处找到粒子的相对概率是：可见，和描述的是同一概率波，所以波函数有一常数因子不定性。

非相对论量子力学仅研究低能粒子，粒子不会产生与湮灭。对一个粒子而言，它在全空间出现的概率等于一，所以粒子在空间各点出现的概率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即和描述同一状态

这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的2倍）时，则相应的波动能量将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利用粒子在全空间出现的概率等于一的特性，提出波函数的归一化条件：又因其中称为归一化常数于是归一化条件消除了波函数常数因子的一种不确定性。满足此条件的波函数称为归一化波函数。求(1)、在范围内找到粒子的概率,(2)、在范围内找到粒子的概率,(3)、在及范围内找到粒子的概率.

例1:设粒子的归一化波函数为(1)在范围内找到粒子的概率,(2)在范围内找到粒子的概率,(3)在及范围内找到粒子的概率.

例1:设粒子的归一化波函数为例2:

已知一维粒子状态波函数为求归一化的波函数，粒子的概率分布，粒子在何处出现的概率最大。

例2:

已知一维粒子状态波函数为求归一化的波函数，粒子的概率分布，粒子在何处出现的概率最大。

归一化常数解:

归一化的波函数(1).求归一化的波函数（2）概率分布：

（3）由概率密度的极值条件

由于

故处，粒子出现概率最大。x=0注意（1）归一化后的波函数仍有一个模为一的因子不定性（δ为实函数）。若是归一化波函数，那末，也是归一化波函数，与前者描述同一概率波。若对空间非绝对可积时，需用所谓δ函数归一化方法进行归一化。（2）只有当概率密度对空间绝对可积时，才能按归一化条件进行归一化。小结：在非相对论量子力学中，若仅限于波函数的统计解释，则因统计解释中只涉及波函数的振幅，因此存在下述不确定性:

(i)常数因子的不确定性。若C为常数，

和描述同一状态,因为它们的相对概率相同:越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重要的物理概念，只限于统计解释还不能完全穷尽对波函数的认识。（ii）归一化后的波函数仍有一个模为一的因子不定性（δ为实函数）。若是归一化波函数，那末，也是归一化波函数，与前者描述同一概率波。量子波函数的概率解释有不足玻恩的概率解释：“波函数的振幅的平方是粒子被发现的概率”

。不是完整诠释，只关注所谓的可观察量（振幅），忽略了相位（因为不属于可观察量）。杨振宁说，规范场论就是相位场。相位是其根本。振幅与相位合起来用复数表示。相位是复杂性之源，相位导致纠缠，纠缠导致记忆与电子相干。自由度的纠缠和相干，往往会造就许多意想不到的结果。2.已知下列两个波函数试判断:(1)波函数和是否描述同一状态?(2)对取两种情况,得到的两个波函数是否等价?1.下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态?并指出每个状态由哪几个波函数描写。作业题前面讨论的是单个粒子的波函数，假设一个体系包含两个或多个粒子时，波函数如何表示？

归一化条件表示为表示

为表述方便，引进符号构成付里叶变换与逆变换任一状态可按其展开：

从数学上讲，知道其一,必可唯一地求出另一。

从物理角度看，描述粒子状态，那么描述粒子同一状态。能量为E和动量为P的自由粒子波函数：五

动量分布概率

称为坐标表象中的状态波函数，称为动量表象中的状态波函数。两者从不同的侧面描写粒子的状态,给出了粒子的不同信息（力学量和的信息）。

物理意义？

是在所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果为的概率。是在所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果为的概率。六

不确定性原理与不确定度关系海森堡于1927年在《物理学杂志》上发表论文《论量子理论运动学与力学的物理内涵》给出这原理的原本启发式论述，所以原理又称为“海森堡不确定性原理”。不确定性原理（uncertaintyprinciple）：粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性越小，则动量的不确定性越大，反之亦然。坐标和动量的不确定度关系海森堡不确定关系揭示了微观物体运动的特性和规律，对量子力学发展做出了重大贡献。不确定关系和玻恩提出的波函数的概率解释一起，共同奠定了量子力学诠释的物理基础。不确定度关系的注意点1、不确定度关系是针对“同一个态做x和p的同时测量”，

“对同一个态做同时测量”的含义是制备大量相同的

被测态，分别对他们独立、重复测量。

2、由于粒子的位置和动量不能同时具有确定值，量子

理论原则上反对静止概念和运动轨道概念，因为这

些概念是以粒子的位置和动量能够同时测准为前提

的。

类似的不确定性关系式也存在于能量和时间、角动量和角度等物理量之间两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。不确定度关系如果两力学量算符满足如下关系式可以严格证明理解：就算我们把电子的初始状态测量得精确无比，就算我们拥有最强大的计算工具可以计算一切环境对电子的影响，我们也不能预言电子最后的准确位置。这种不确定是深藏在物理定律本身内部的一种属性。这是对整个决定论观点的挑战，而决定论是当时整个科学的基础。量子理论要改造整个科学！

海森堡不确定关系揭示了微观物体运动的特性和规律，对量子力学发展做出了重大贡献。不确定关系和玻恩提出的波函数的概率解释一起，共同奠定了量子力学诠释的物理基础。

玻尔对不确定关系非常赞赏，并提出了他著名的“互补原理”，从哲学上对不确定关系加以概括，以解释量子理论的基本特征——波粒二象性。这一原理被称之为量子力学的哥本哈根解释，正是这一解释受到了爱因斯坦的尖锐批评，从而拉开了这场国际性大论战的序幕。波尔与海森堡波尔的“互补原理”玻尔提出互补原理的事实根据是

首先，微观粒子在某些实验条件下只表现波动性；在另一些实验条件只表现粒子性。波粒二象性并不能同时在同一种实验中出现。其次，根据不确定关系，要精确测量微观粒子的速度，就弄不清它的位置；反之要精确的测量它的位置，就弄不清它的速度。此外，时空描述与因果描述也不可能同时确立。因为要对客体进行精确的时空描述，就要发生仪器对客体的干扰，这就要在因果链上造成缺口，无法确定严格的因果性；要想确定因果性，就要排除任何仪器对客体的干扰，而这样一切观察就不可能了，也就无法实现对时空的描述了。因此，玻尔主张在量子物理中应当抛弃因果性和决定论的概念，而代之以互补原理。

玻尔认为，上述波动性与粒子性两种图象相互排斥，不能同时存在，但二者都是不可缺少的，只有把它们综合起来，才能提供某种完整的描述，因此这两种描述的图象又是相互补充的。

玻尔指出，物质的波粒二象性是他的互补性观点的一个很好的根据和例证，而波粒二象性是微观现象中一个很基本的要素，量子力学中许多结论，包括海森堡的不确定原理在内，都可看成是这一要素的后果。

他还把问题从量子力学的诠释引向到一般的“人类概念形式中的普遍困