2023年黑龙江省绥化市中考数学真题

二。二三年绥化市初中毕业学业考试数学试题

考生注意：

1.考试时间120分钟

2.本试题共三道大题，28个小题

3.所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内

一、单选题

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴时称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折置，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果

旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐

一判断即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意：

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的美键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对

称图形的定义.

2.计算卜5|+2°的结果是（）

A.-3B.7C.-4D.6

【答案】D

【解析】

【分析】根据求一个数的绝对值，零指数鼎进行计算即可求解.

【详解】解：卜5|+20=5+1=6,

故选：D.

【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数塞，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数幕是解题的关

键.

3.如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（）

【解析】

t分析】根据左视图的意义判断即可.

【详解】根据题意，该几何体的左视图为:

故选B.

【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键.

4.纳米是非常小的长度单位，lnm=0.000000001m,把0.000000001用科学记数法表示为（）

A.1x10-9B.1x10-8c.Ixio8D.1X109

【答案】A

【解析】

【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为〃xi（r"，其中1＜忖＜io,〃为整数.

【详解】解：0.000000001=ixio-9.

故选:A.

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为axl（r"，其中1＜忖＜10,

〃为由原数左边起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定，确定。与〃的值是解题的关键.

5.下列计算中，结果正确的是（）

A.（-pg）'.%'B.+X2x2=x8C.>/25=±5D.（*=*

【答案】D

【解析】

【分析】根据积的乘方与幕的乘方运算，同底数幕的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求解.

【详解】解:A.Jpq）3=-p3q3,故该无项不正确，不符合题意；

B.心/+l2./=2/,故该选项不正确，不符合题意；

C.725=5,故该选项不正确，不符合题意；

D.（〃2丫=。6,故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了积的乘方与嘉的乘方运算，同底数幕的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握以

上运算法则是解题的关键.

6.将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，Zl=25°,Z2=30°,则N3的度数为（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解.

【详解】解：依题意，Zl+90°=Z3+45°,

VZl=25°,

・•・Z3=70°,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键.

7.下列命题中叙述正确的是（）

A.若方差其>或，则甲组数据的波动较小

B.直浅外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离

C.三角形三条中线的交点叫做三角形的内心

C.90~100这组数据的组中值是96

D.110〜120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51。

【答案】B

【解析】

【分析】根据。组的人数除以占比求得样本的容量，结合统计图求得80Wx<90的人数为15,进而根据中

位数的定义，即可判断B选项，根据组中值为90+1°°=95,即可判断C选项，根据110〜120的占比乘

2

以360。，即可判断D选项.

【详解】解：A、该组数据的样本容量是12・24%=50,故该选项不正确，不符合题意；

B、80KXV90的人数为：50-4-12-12-7=15,4+15<25,4+15+12>25,

该组数据的中位数落在90~100这一组，故该选项正确，符合题意；

C、90〜100这组数据的组中值是95,故该选项不正确，不符合题意；

7

D、110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为%*360。=50.4。，故该选项不正确，不符合

题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了样本的容量，条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数的定义，求扇形统计图的圆

心角的度数，求频数分布直方图组中值，从统计图表中获取信息是解题的关键.

9.在平面直角坐标系中，点A在），轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B,C的横坐标都是3,BC=2,

k

点。在AC上，且其横坐标为1,若反比例函数>=一（x>0）的图像经过点8,D,则2的值是（）

X

2

【答案】C

【解析】

【分析】设8（3,m），则。（3,6+2）,。（1,机+2）根据反比例函数的性质，列出等式计算即可.

【详解】设

•・•点B,C的横坐标都是3,BC=2,4c平行于x轴，点。在AC上，且其横坐标为1,

:.C（3,7H4-2）,D（l,/n+2）,

/.3帆=m+2,

解得机=1>

・•・8（3』），

:.k=3x1=3,

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握〃的意义，反比例函数的性质是解题的关键.

10.某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运

4

送货物，两车又共同运送货物3天，运完全部货物.求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送

这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解.

【详解】解：设乙车单独运送这批货物需“天，由题意列方程

故选：B.

【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键.

11.如图，在菱形A5CD中，ZA=60°,AB=4,动点M,N同时从A点出发，点M以每秒2个单

位长度沿折线A-8-C向终点。运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AQ向终点O运动，当其中一点

运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，eAMN的面积为个平方单位，则下列正确

表示了与x函数关系的图象是（）

BC

AD

1/I

C.2c卜.“：D.2/3r•^y；

2

J-i-of2-4*J

q2~Tf-

【答案】A

【解析】

【分析】连接30,过点8作5£_1_4）于点E，根据已知条件得出△A3。是等边三角形，进而证明

二AMVSABE得出N/WMnNAEBnOO。，当0v，v4时，A/在AB上，当4Wfv8时，M在3C

上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，

【详解】解：如图所示，连接30,过点B作鹿_LA。于点E

当0vzv4时，”在48上，

B_____________c

ANED

菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4，

：.AB=AD,则△ABO是等边三角形，

AAE=ED=^AD=2,BE=6AE=26

・・•AM=2x,AN=x,

AMAB「r

•・“J，又ZA-ZA

・•・^AMN^ABE

ZANM=ZAEB=90°

•*-MN=\lAM2-AN2=显，

**•y=-xxy/3x=—x2

22

当4W，v8时，M在8c上，

：.y=-ANxBE=-xx2y/3=y/3x,

.22

综上所述，0<f<4时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当4Wfv8时，函数图象是直线的一部

分，

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾

股定理，等边三角形的性质与判定，相彳归角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.

12.如图，在正方形A5CD中，点E为边CO的中点，连接AE,过点3作MJ_AE于点尸，连接8。

交AE于点G,FH平分NBFG交BD于点H.则下列结论中，正确的个数为（）

22

①AB'b/AE；②SABGF'MAF=23③当时，BD-BDHD=a

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【解析】

【分析】①根据题意可得NABb=900—N5AF=ZDAE,贝iJcosNABF=cos/EW,即

—=—,又A8=A£>,即可判断①；②设正方形的边长为明根据勾股定理求得AF，证明

ABAE

-GABs.GED,根据相似三角形的性质求得GE,进而求得口，即可判断②；过点”分别作BRAE

的垂线，垂足分别为M,N,根据②的结论求得BH，勾股定理求得50,即可判断③.

【详解】•・•四边形A8C£>是正方形，

/.ZBAD=ZADE=90°,AB=AD

VBF1AE

:.ZABF=90°-ZBAF=ZDAE

・•・cosZABF=cosZE4Z)

即变

又AB=A£>,

ABAE

AB2=BFAE^故①正确：

设正方形的边长为。，

•・•点E为边CO的中点，

:.DE=—,

2

:.tan/.ABF-tansNEAD=—,

2

在RtAABE中，AB=y]AF2+BF2=45AF=a^

・“亚

・・AF=——a

5

在RtZXAOE中，AE=yjAD2+DE2=—

2

•1717ACAf小逐3小

••Er=AE-AF=——a----a=------a，

2510

AB//DE

；・；.GABS：.GED

AGABc

r.—=—=2

GEDE

：•GE=-AE=—a

36

・"A一口「口小石加26

・・FG=AE-AF-GE=——a----a-------a=------a

25615

.竺=二。

••FG2后2

-----a

15

S4BGF•S/XMF=2:3,故②正确；

VAB=a,

：・BD2=AB2+AD2=2a2,

如图所示，过点”分别作BfAE的垂线，垂足分别为M,N,

又・・・M_LAE,

・•・四边形BW7N是矩形，

,:切是NBFG的角平分线,

・•・HM=HN,

，四边形FWW是正方形，

・•・FN=HM=HN

•・•BF=2AF=—«,FG=—6/

515

MHFG1

:.=——=-

BMBF3

设MH=b,则BF=BM+FM=BM+MH=3b+b=4b

在RQ8M”中，BHZBM2+MH?=

..2x/5

•BF=----ci

5

・2卡/入

••----a=4o

5

解得：b=—a

10

・，・BH=\fi0x^-a=^-a，

102

ABD2-BDHD=2a2-42ax—a=a2故④正确.

2

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性

质与判定是解题的关键.

二、填空题

13.因式分解：x2+xy-xz-yz=.

【答案】(x+y)(x-z)

【解析】

【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解.

【详解】解：/+9一xz-yz=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z),

故答案为：(x+j)(x-z).

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

14.若式子虫士2有意义，则x的取值范围是.

x

【答案】］之一5且％工0##工。0且不之一5

【解析】

【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可.

【详解】•・•式子史上2有意义，

X

，%+520且xxO,

，x2-5且x¥0,

故答案为：工之一5且4。0.

【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件

是解题的关键.

15.在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2,3,4,从中随机抽取1张后，放回再混合在一起.再随

机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是.

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】根据题意列表法求概率即可求解.

【详解】解：列表如下，

1234

1=1?]_££

1

1234

2=2W221

2—=—

12342

3=3，33

3吗

1234

<44丁4

4—=2L如

1234

共有16种等可能结果，符合题意的有8种，

Q1

・•・第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是三=:,

162

故答案为：!.

【点睛】本题考查了列表法求概率，整除，熟练掌握列表法求概率是解题的关键.

11

16.已知一兀二次方程%2+1=5%+6的两根为不与巧，则一+—的值为.

百马

【答案】—

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出药+超=4,%/=-6,将分式通分，代入即可求解.

【详解】解：•・•一元二次方程f+x=5jv+6,即工2一4工一6=0,的两根为王与反，

:.玉+/=4,%|%2=-6,

11Xj+x42

...--+---=2―=---=---

巧

x2xxx2—63

2

故答案为：一；.

3

【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的

关系是解题的关键.

x+2______x-lj二x-4

17.化简:

x2-2xx2-4x4-4)'X2-2X

【答案】力制会

【解析】

【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解.

x+2x-lYx-4

【详解】解:

x2-2xx2-4x+4JX2-2X

(x+2)(x-2)-x(x-l)x(x-2)

x(x-2)2x-4

_。2_4_%2+彳工屹―2)

x(x-2)2x-4

1

x-2'

故答案为：.

x—2,

【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键.

18.如图，OO的半径为2cm,A8为。O的弦，点。为AB上的一点，将A8沿弦AB翻折，使点。

与圆心。重合，则阴影部分的面积为.(结果保留)与根号)

【解析】

【分析】根据折叠的性质得出以。C是等边三角形，则NAOC=60。，OD=CD=1,根据阴影部分面积

=S麻形AOC一SAOC即可求解.

【详解】解：如图所示，连接。A。。，设A氏CO交于点。

;将沿弦A8翻折，使点C与圆心。重合，

/.AC=AO,OCA.AB

又OA=OC

:.OA=OC=AC>

・•・aAOC是等边三角形，

・・・Z4OC=60。，OD=CD=T,

-AD=ylAO2-CD2=>/3>

,阴影部分面积=S附形48—5€=瞿兀x22—<x2xg=£7r—6(cm2)

JoU23'

故答案为：弓兀一Gcm2.

19.如图，在平面直角坐标系中，“8C与△AB'C的相似比为1：2,点A是位似中心，已知点A（2,0）,

点C3份，ZC=90°.则点。'的坐标为.（结果用含“，〃的式子表示）

【答案】（6—2。,一2勾

【解析】

【分析】过点C,C分别作X轴的垂线CDC'D垂足分别为R。，根据题意得出AD=2AD，则

AD=a-2,CD=b,得出。'(2—2a+4,0),即可求解.

【详解】解：如图所示，过点CC'分别作x轴的垂线C。,C'。垂足分别为

・・・与△ABC的相似比为1：2,点A是位似中心，A(2,0)

：.Aiy=2AD

C(a,b),

.・.AD=a-ZCD=h,

,,

・・・AD=2a-4yCD=2bt

・・・。12-2«+4,0)

C'(6—2a,—2。)

故答案为：(6—2a,—2b).

【点睛】本题考杳了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.

20.如图，是边长为6的等边三角形，点E为高3。上的动点.连接CE,将CE绕点C顺时针旋

转60。得至iJCV.连接AF，EF,DF，则©CD尸周长的最小值是.

【答案】3+3石##3石+3

【解析】

【分析】根据题意，证明△CBEgeCA尸，进而得出尸点在射线A尸上运动，作点。关于A尸的对称点

C',连接。C',设CC交AF于点O,则N4OC=90°,则当。，户,C三点共线时，/C+尸。取得最

小值，即产C+ED=FC+/Z）=S,进而求得CO,即可求解.

【详解】解：YE为高30上的动点.

・•・ZCBE=-ZABC=30°

2

•・•将CEt绕点。顺时针旋转60。得到CF.^ABC是边长为6的等边三角形,

・•.CE=CF,/ECF=/BCA=60°,BC=AC

A^CBE^CAF

:.NC4产=NCBE=30。，

・•・尸点在射线AF上运动，

如图所示，

作点C关于4尸的对称点（7,连接。C,设CC交A/于点。，则/AOC=90。

在Rt&AOC中，NC4O=30。，则CO=，4C=3,

2

则当三点共线时，/C+FZ）取得最小值，叩FC+FD=F'C+F'D=CD

-CC=AC=6,ZACO=/CCD,CO=CD

・•・

・•・ZCDC=ZAOC=90°

在AC'DC中，CD=yJc^-CD1=V62-32=3>/3>

・・・.CDF周长的最小值为CO+FC+CO=CO+OC'=3+3旧，

故答案为：3+36.

【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定,

勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键.

21.在求1+2+3+……+100的值时，发现：1+100=101,2+99=101…•…，从而得到

1+2+3+-+100=101x50=5050.按此方法可解决下面问题.图（1）有1个三角形，记作4=1；

分别连接这个三角形三边中点得到图（2）,有5个三角形，记作生=5：再分别连接图（2）中间的小三

角形三边中点得到图（3）,有9个三角形，记作&=9；按此方法继续下去，则4+4+6+・+〃”=

【解析】

【分析】根据题意得出。“=1+4（〃-1）=4〃-3,进而即可求解.

【详解】解：依题意,q=1,q=5,q=9,…，an=1+4（n-1）=4w-3,

l+4〃-3/_八_2

・'・4++…,+〃“==------------拉=（2/1—ljn=2n~-n,

故答案为：2n2—n-

【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键.

22.已知等腰〜46C,ZA=120°,AB=2.现将认BC以点3为旋转中心旋转45。，得到△ABC',

延长CA'交直线3c于点D.则A7）的长度为.

【答案】4+26或4-2百

【解析】

【分析】根据题意，先求得BC=2百，当以5c以点B为旋转中心逆时针旋转45。，过点B作

BE工A'B交A'D于点、E,当a43c以点8为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作OFJLBC交BC'于

点F，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作AM_L8c于点M,

・•・ZABC=ZACB=30°,

AAM=-AB=]tBM=CM=dAB?-AM2=5

:.BC=25

如图所示，当cABC以点8为旋转中心逆时针旋转45。，过点8作BE_LA'3交AO于点£，

■:ZR4C=120°,

AZDAB=60°,ZA'EB=30。，

在中，A'E=2A3=4,BE=J4®_26,

：等腰金C，ZBAC=120°,AB=2.

・•・ZABC=ZACB=30°,

•・•可5C以点8为旋转中心逆时针旋转45。，

・•・N/®T=45。，

・・・ZDBE=180o-900-45o-30o=15o,ZABD=180°-45°-30°=105°

在中，ZD=180O-ZDArB一N/T8。=180。-60。-105°=15°,

・•・ND=NEBD，

：,EB=ED=26

:.A!D=A!E+DE=4+2百，

如图所示，当aABC以点8为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作。尸_LBC交8C于点尸,

在43尸。中，NBDF=/CBC=450,

:.DF=BF

在Rt,OC'产中，ZC=30°

：•DF=—FC,

3

:.BC=BF+6BF=26

:.DF=BF=3-6

・•・DC=2DF=6-26

・•.A,D=C,D-A,C,=6-2y/3-2=4-2y/3

综上所述，40的长度为4一26或4+26，

故答案为：4-26或4+26.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分

类讨论是解题的关键.

三、解答题

23.已知：点P是。。外一点.

3）尺规作图：如图，过点?作出0。的两条切线PE，PF,切点分别为点E、点（保留作图痕

迹，不要求写作法和证明）

（2）在（1）的条件下，若点。在00上（点。不与E，尸两点重合），且NEP尸=30。.求NEDF的

度数.

【答案】（1）见解析（2）/瓦卯=75。或105。

【解析】

【分析】（1）①连接尸O,分别以点P,。为圆心，大于!尸。的长为半径画圆，两圆交于点两点，

作直线MN交OP于点A,②以点A为圆心，OA为半径画圆，与。。交于瓦尸两点，作直线「日尸尸,

（2）根据切线的性质得出NPfO=N/¥O=90。，根据四边形内角和得出NEOF=150。，进而根据圆周

角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解.

【小问1详解】

解：如图所示,

①连接尸。，分别以点P,。为圆心，大于g尸。的长为半径画弧，两弧交于点M,N两点，作直线MN交

0P于点A,

②以点A为圆心，为半径画圆，与0。交于£尸两点，作直线尸已尸尸，

则直线即为所求；

【小问2详解】

如图所示，点。在0。上（点D不与E,尸两点重合），且NEP尸=30。,

・・・PE,尸尸是0。的切线，

・•・ZPEO=ZPFO=90°,

・•・ZEOF=360°-90°-90°-30°=150°,

当点。在优弧斯上时，NEDF=；NEOF=75。,

当点。在劣弧郎上时，Z^DF=180o-75°=105°,

・•・NEDF=75。或105°.

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定

理，熟练掌握以上知识是解题的关键.

24.如图，直线MN和砂为河的两岸，且MN〃EF,为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸正

的8点测得NC8E=30。，从8点沿河岸所的方向走40米到达。点，测得NCDE=450.

（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）

（2）若从。点继续沿。E的方向走（12百+12）米到达P点.求tan/CFE的值.

【答案】（1）河两岸之间的距离是20J5+20米

（2）tanNCPE=」

2

【解析】

【分析】（1）过点。作CN_LE尸于点M,设CM=。米，在RlZXMCB中，MB=6a，在

RtzXMCD中，MD=MC=a,根据3。=40,建立方程，解方程即可求解；

（2）根据题意求得MP的长，进而根据正切的定义，即可求解.

【小问1详解】

解：如图所示，

过点C作CMJ_M于点设CM=a米，

•・•ZCBE=30°

・•・tanNCBM=—=tan30°=—，

PB3

:.MB=小，

CM

在RtaMCD中，tanZ.CDM=------=tan45°=1,

MD

:.MD=MC=a

:.BD=MB-MD=C"a=40

解得：〃=20G+20

答：河两岸之间的距离是206+20米；

【小问2详解】

解：如图所示,

依题意，P8=8O+£>P=40+（12后+12）=52+12逐，

.•.MP=MB-PB=（20V3+20）>/3-（52+12>/3）=8+85/3,

在RtaCMP中，tan/CPM=丝=第⑺子。=3,

MP8+8石2

・•・tanZCPE=-.

2

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键.

25.某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、8两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）.A型

车每辆租金500元，8型车每辆租金600元.若5辆A型和2辆8型车坐满后共载客310人；3辆A型和

（2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的

地.该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？

（3）在这次活动中，学校除租用A、3两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令

营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达

目的地.下图是两车离开学校的路程5（千米）与甲车行驶的时间，（小时）之间的函数图象.根据图象

信息，求甲乙两车第一次相遇后，f为何值时两车相距25千米.

【答案】（1）每辆A型车、5型车坐满后各载客40人、55人

（2）共有4种租车方案，租8辆A型车，2辆B型车最省钱

(3)在甲乙两车第一次相遇后，当f=3小时或二小时时，两车相距25千米

3

【解析】

【分析】(1)设每辆A型车、〃型车坐满后各载客人人、丁人，由题意列出一元一次方程组，解方程组即

可求解；

(2)设租用A型车m辆，则租用8型车(10-加)辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整

数解即可得出加的值，设总租金为卬元，根据一次函数的性质即可求解；

(3)设$甲二灯，s乙=k'+b,由题意可知，甲车的函数图像经过(4,300)；乙车的函数图像经过

(0.5,0),(3.5,300)两点.求出函数解析式，进而即可•求解.

【小问1详解】

解：设每辆A型车、B型车坐满后各载客X人、y人，由题意得

5x+2y=310

3x+4y=340

x=40

解得

y=55

答：每辆A型车、B型车坐满后各载客40人、55人・

【小问2详解】

设租用A型车加辆，则租用3型车(10-加)辆，由题意得

500/w+600(10-m)<55002

40w+55(10-w)>420解得：5-W-83

•机取正整数,

••tn=5,6,7,8

共有4种租车方案

设总租金为卬元，则卬=500m+600(10-m)=-l00川+6000

-100<0

.•.故随着加的增大而减小

・"=8时，w最小

・二租8辆A型车，2辆8型车最省钱•

【小问3详解】

设$甲=七,5乙=k”b.

由题意可知，甲车的函数图象经过(4,300)；乙车的函数图象经过(0.5,0),(3.5,300)两点.

s甲=75/,s乙=1007-50

S乙一S甲=25,gpioor-50-75/=25

解得，=3

或300—75,=25

解得

3

所以，在甲乙两车第一次相遇后，当，=3小时或U小时时，两车相距25千米.

3

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等

量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键.

26.已知：四边形43C。为矩形，A3=4,AD=3f点尸是5c延长线上的一个动点(点尸不与点。

重合).连接AF交CO于点G.

图一图二图三

(1)如图一，当点G为CD的中点时，求证：△ADGNXFCG.

(2)如图二，过点C作。E_LAb，垂足为E.连接跳，设BF=x,CE=y.求y关于x的函数关系

式.

(3)如图三，在(2)的条件下，过点8作交£4的延长线于点M.当C『二l时，求线段

BM的长.

【答案】(1)见解析(2)y=：丁2(或(4工一,)>/，+16)

7

Jf+16X2+16

3

【解析】

【分析】3)根据矩形的性质得出〃防，则N0=NDC/，根据题意得出Z)G=CG,即可证明

△ADG^AFCG(ASA)；

222

(2)在RjAB/中，AF=y/AB+BF=Vx+16»证明△。£尸6八46尸，根据相似三角形的性质即

可求解；

(3)过点E作硒工BF于点N,得出AA3/，△CEF为等腰直角三角形，在RtuBNE中,勾股定理

求得BE,证明△BAMsABCE,根据相似三角形的性质即可求解.

【小问1详解】

证明：•・•四边形ABC。为矩形，

・•・AD//BF，

:.ZD=ZDCF,

•：GCO中点，

:,DG=CG,

△ADG和△尸CG中

ND=NGCF

<DG=CG,

NAGD=4FGC

・•・AAOGg△尸CG(ASA)；

【小问2详解】

•・•四边形ABC。为矩形，

•・Z4BC=90°,

：CE±AF,

•・NCEF=90。=ZABC,

・•/F=/F,

•・MEFsAABF,

•C_E___C_F

•而一而‘

AB=4，BF=x，

・••在Rt二AB/中，AF7AB=&+16，

*.*CE=yt

y_x-3

4J?+16'

4x-12(4x-12)J/+i6、

…不不（或》

-2+16

【小问3详解】

过点E作硒_L8产于点N,

•••四边形ABC。为矩形，且40=3,

:.AD=BC=3>

VAB=4,CF=1,

：・AB=BF,

・・・ZXAB/为等腰直角三角形，

・•・NCFE=NBAF=45。,

f：CE±AF,

・•・ACEF为等腰直角三角形，

・•・NEC户=45。，

VEVACF,

:・EN平%CF,

：.CN=NF=NE=-,

2

在RL8VE中，

VBE2=BN2+EN\

.LifpY5V2

••BE=4|3H—+—=--,

VZ£，CF=Z^4F=45°,

・•・ZaAM=ZBCE=135°,

vBM_LBE,

・•・ZMBA+ZABE=90°,

•・,ZABE+NEBC=90。,

:・/MBA=/EBC,

:.ABAMSABCE,

.BMBA4

/.----=----=一,

BEBC3

BM_4

A-S/2-3>

~2~

.a,10x/2

••BM—----------•

3

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，列函数关系式,

勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

27.如图，MV为。。的直径，且MN=15,MC与ND为圆内的一组平行弦，弦A3交MC于点

H.点4在面上，点8在州c上，NOND+NAHM=900.

(1)求证：MHCH=AHBH.

(2)求证：AC=BC.

(3)在。。中，沿弦NQ所在的直线作劣弧NO的轴对称图形，使其交直径MN于点G.若

3

sinZCM7V=-,求NG的长.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】（1）证明▲AM//S...CEH即可；

（2）连接0C,交于点/，根据平行线的性质和已知条件证明垂直平分即可;

（3）利用对称的性质作辅助线，根据已知条件，转化为解直角三角形问题即可.

【小问1详解】

N45。和/AMC是AC所对的圆周角，

?ABC2AMC,

2AHM?CHB,

A-&CBH,

:.——AH=——MH，

CHBH

：・MHCH=AHBH.

【小问2详解】

MC与NO为一组平行弦，即：MC〃ND,

..?OND?OMC,

OM=OC,

••4OMC=/OCM,

NOND+ZAHM=90°,

?OCM2AHM20cM2cHB90?,

・•.ZZ/FC=90°,

OC1AB,

・••OC是AB的垂直平分线，

AC=BC•

【小问3详解】

连接DM、DG,过点。作OE_LMV,垂足为七，设点G的对称点G',连接G/、G'N,

DG=DG',2GsiND?GND,

•••DM=DG'f

DG0=DM,

DG=DM,

・・是等腰三角形，

DE1MN,

GE=ME,

DN〃CM,

.?CMN2DNM,

MN直径，

/MDN=90。,

NMDE+/EDN=90。,

DE1MN,

•.ZDE/V=90°,

?DNM2EDN90?,

3

sin?EDMsin?DNMsin?CMN

5

在Ri丛MND中,MN=15,

MD_3

sin?DNM

~MN~5

MD3

.•.----------,

155

MD=9,

3ME

在RhMED中,sin?EDM,

5MD

ME3

.•.------...

95

27

ME=—,

5

2721

：.NG=MN-MG=MN-2ME=15-2?——

55

91

，NG=—

5

21

故答案为：y.

【点睛】本题考查了圆的综合问题，同弧所对圆周角相等、构建合适的辅助线是解题的关键；熟练掌握相

似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、熟悉锐角三角函数解决直角三角形.

28.如图，抛物线M=a?+bx+c的图象经过4一6,0）,B（-2,0）,C（0,6）三点，且一次函数

（1）求抛物线和一次函数的解析式.

（2）点£,产为平面内两点，若以E、F.B、C为顶点的四边形是正方形，且点石在点尸的左

侧.这样的E，尸两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请

说明理由.

（3）将抛物线y=以2+法十。的图象向右平移&个单位长度得到抛物线％,此抛物线的图象与％轴交于

M,N两点（M点在N点左侧）.点P是抛物线当上的一个动点且在直线NC下方.已知点尸的横坐标

为加.过点P作QD_LNC于点O.求用为何值时，有最大值，最大值是多少？

2

【答案】（1）y.=~X2+4X+6,y=3x+6

2

⑵满足条件的E、尸两点存在，”一8,2）,与（4，-2）,巴（-4,4）

（3）当上时，CD+’PO的最大值为3迪

3224

【解析】

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解;

(2)①当BC为正方形的边长时，分别过B点。点作£与_18。，FXFZLBC,使EiB=E?B=BC,

CF、=CF2=BC,连接片6、E2F2,证明△BE［”］名△CBO(AAS),得出E、H、=BO=2,

H}B=0C=6,则£(一8,2)同理可得，七2(4,-2)；②以8C为正方形的对角线时，过8C的中点G作

E3K，,使E3F3与BC互相平分且相等，则四边形E?BF3c为正方形，过点/作E3N±y轴于点N,

过点8