中农大地下水动力学讲义02渗流理论基础

第二章渗流理论基础

本章所讨论的都是渗流理论的基本概念和基本定律。是以后各章所讨论的基础。没

有建立正确的概念，没有牢固地掌握基本定律，就不可能独立地创造性地分析问题和解

决问题。

第一节渗流的基本概念

地下水存在于岩层的孔隙、裂隙和溶洞中，并在其中运动。地下水动力学中，把固

体骨架和相互沟通的孔隙和裂隙（包括溶蚀裂隙等）两部分组成的整体称为空隙介质。

通常，我们所指的空隙介质包括多孔介质和裂隙介质。

赋存地下水的孔隙岩层称为多孔介质。

赋存地下水的裂隙岩层称为裂隙介质。

一.渗透与渗流

重力地下水在多孔介质和裂隙介质中的运动称为渗透。它没有方向性。

渗入：重力地下水在非饱和带中由上向下的垂直运动。它具有方向性。

由于固体骨架排列的随机性，造成空隙的大小、形状、延伸方向及相互排列等没有

一定的规律，致使地下水在其中的运动极其复杂，不仅在不同的空隙中地下水的运动方

向、速度不同，就是在同一空隙的不同部位，其运动速度也不一样。那么，我们怎样来

研究地下水在空隙介质中这种复杂的运动规律呢？显然，研究个别孔隙和裂隙中的地下

水运动特征不仅难而且实用价值也不大。但是，当我们把大量的地下水微观运动进行宏

观研究时，即研究岩层内地下水的平均运动，我们就可以寻找出地下水运动的平均性质

M渗诱知律c

,首先，.我们对实际地下水流进行概化：

1.不考虑骨架，认为空隙及骨架所占据的空间全部都可以为水流所充满；

2.不考虑地下水实际运动途径的迂回曲折，运动方向多变，只考虑运动的总体方向。

通过对这一假想水流的研究来达到了解真实水流平均渗透规律的目的。为了使这种

假想水流准确、如实地反映真实水流的特征，它还必须满足下述条件：

1.它通过任一断面的流量应与真实水流通过同一断面的流量相等；

2.它在某断面上的压力或水头应等于真实水流的压力或水头；

3.它在任意岩层体积内所受到的阻力应等于真实水流所受到的阻力。

满足上述条件的这种假想水流称为渗透水流，简称渗流。

渗流所占有的空间区域称为渗流场。

由于渗流在渗流场内是连续的，从而可利用数学分析这一有力的工具来研究渗流问

题。

在符合上述条件时，渗流与真实水流有何不同呢？

二.渗流的运动要素

渗流的运动要素：描述渗流场中渗流运动特征的物理量，如渗流速度、渗流量、水

头等。它们是时间C）和空间坐标（x,y,z）的连续函数。

1.渗流量

过水断面一一垂直于渗流方向的岩层截面，即包括空隙的面积，也包括固体骨架所

占据的面积。可以是平面，也可以是曲面。用W表示。

渗流量一一单位时间通过过水断面的水量，用。表示。常用单位：加3/昼夜，或升/

秒。

2.渗流速度

地下水在空隙介质中运动，其各个质点的实际流速是不一样的；设渗流过水断面的

空隙面积为4，则定义〃=Q/M为地下水的实际流速。显然，地下水的实际流速是各孔

隙点实际流速的平均值。

设渗流过水断面面

积为卬(包括固体骨架

面积和空隙面积)，则定

义口=。/卬为地下水的

渗流速度。

显然u=

w

当空隙分布均匀时,

断面上空隙面积R与断

面面积w之比应等于介

质的空隙体积U与介质

体积V之比，也就是等

于介质的空隙率，即

_V'图IT渗流速度与实际流速示意图

~w~~V

因而

v=nu(1—1)

如果考虑到固体骨架表层有一层薄膜水(结合水)，它是不参加渗流的，因此上式

中的〃要用岩层的给水度〃去代替，亦即

V=JLIU(1-1,)

如图1—L四个颗粒，三个孔隙大小不一。各孔隙的实际流速是不一样的；孔隙大

的其最大点实际流速相应较大，反之，较小。同一孔隙中，孔隙中心的点实际流速最大，

颗粒壁上的约为零，中间过渡大体呈抛物线型。每一个孔隙都可以作其过水断面的平均

流速；将三个孔隙的过水断面平均流速平均后即得地下水实际流速〃，当然它也可以直

接由三个点实际流速直接平均之,最后，将地下水实际流速”对整个渗流断面AA平均，

即可得到渗流速度八

3.渗流压强

渗流场中任意点所具有的压强，称为渗流压强。因为地球表面的压强都是大气压强,

所以，在地下水动力学中，将渗流压强与测压计压强等同起来，也就是说，渗流压强通

常指的就是测压计压强。

4.水头

如图1—2。我们在承压含水层中打•钻孔,

其基准面取在隔水底板(水平)含水层中的水就

沿着钻孔上升到一个高度儿。

测压高度一一自A点到其测压管水面的垂直

距离，hno

测压水头一一测压管水面至其基准面的垂直

距离，用“〃表不，Hn-hn+z=z+—

Y

据伯诺里方程，总水头

pu

Hrr=z+—+—

Y2g

由于在地下水的流动过程中，地下水的实际流速很小，比g要小得多，因而//2g可以

忽略不计。所以，在地下水动力学中，把某点的总水头在数值上看作与测压管水头相等，

亦即：

H=(1—2)

Y

5.水力坡度

根据伯诺里方程

Pl,P2,^2^2,,

Zl+一十二--Z2+—+不一+〃卬

y2gy2g

可知，地下水的水头线永远是一条下降的曲线。事实上，由于地下水在渗流过程中，沿

流程要不断克服阻力，机械能不断地被消耗，地下水的水头线就是一条沿流程水头值不

断减小的降落曲线。对潜水来说，就是潜水的浸润曲线，对承压水来说，就是承压水的

压力曲线。我们用水力坡度来描述水头线的变化特征。

水力坡度一一通过该点单位微分渗流途径长度上的水头损失。

dH

［无量纲］(1—3)

dh

随着渗流途径增加，水头值减小，则d"为负值，但习惯上J为正值，因此，在(1

—3)式中加一负号。

6.流线

在水力学中我们曾学习过流线的概念，在这里我们再复习一下。

流线是在给定时刻、于渗流场中人为绘制的一些曲线，曲线上各点的渗流速度向量

均与该点的曲线相切。因而流线上任一点处的切线方向也就是通过该点处的渗流的运动

方向。流线可以表征某一瞬间渗流场中任一点处的渗流的运动趋势。

流线有以下性质：

a.同一瞬间各流线不能相交，即通过任一点处的流线只有一条。

b.在均质各向同性含水层的条件下，流线应是光滑的曲线，不会有急转的转角。

c.流线的形状受边界形状和性质的控制。在供水边界，流线应与边界垂直正交;

在紧靠隔水边界的流线与边界彼此平行。

d.流线起着“隔水”的作用，渗流不能穿越流线运动。

7.等水头线

渗流场中水头值相等的各点连成的面称为等水头面，可为平面或曲面。它在平面上

或剖面上表现为等水头线，可为直线或曲线。

在各向同性含水层中，流线（面）与等水头线（面）正交；但在各向异性含水层中，

它们并不正交。

等水头线（面）具有“透水”的作用。事实上，等水头面也就是过水断面。

8.流网

在渗流场中，由流线（面）与等水头线（面）组成的网格称为流网。在各向同性介

质中，它是一个正交网格；在各向异性介质中它就不是正交网格。

流网全面地反映了渗流运动要素的分布及变化规律。

三.渗流的分类

为了便于分析研究，对渗流可从不同角度进行分类：

1.根据渗流的运动要素随着时间变化特征分为：稳定流和非稳定流。

稳定流一一渗流场中任一点处，渗流的运动要素不随时间发生变化的渗流。

非稳定流一一渗流场中任一点处，渗流的运动要素中只要有一个是随着时间变化的

渗流。

运动要素以水头”及渗流速度n为例：

稳定流非稳定流

H=/(x,y,z)H=/(x,y,z,r)

v=^(x,ytz)V=(p(x,y,zj)

dH八

以=0——#0

dtdt

史=0匕。

dtdt

2.根据渗流是否具有与大气接触的自由表面分为：有压流和无压流。

有压流一一渗流不具有与大气接触的自由表面，这就是承压水。

无压流一一渗流具有与大气接触的自由表面，这就是潜水。

若两隔水层间的地下水没有充满整个含水层，也为无压潜水。

3.根据流线沿流程变化的缓急程度分为：缓变流和急变流。

缓变流：流线间的夹角很小，流线的曲率很小，可以近似认为流线是相互平行的直

线。它具有以下特点：

a.缓变流正同一过水断面上各点的水头近似相等；

b.缓变流的实际过水断面可用平面近似代替。

不符合缓变流条件的称为急变流，显然上述两个特点对它是不符合的。

区分缓变流和急变流在实际计算时是非常重要的。然而它们之间并无严格的判别标

准，应该根据边界条件、流线沿程的变化特点以及计算的要求来灵活掌握和运用。

无入渗、无蒸发、无侧渗的河间地块中的地下水流一一缓变流；

井流-----种特殊的急变流。

4.根据渗流速度向量与所选坐标的关系分为：一、二、三维流。

a.一维流（线性流）：所有流线都是相互平行的直线。在渗流场中，可选择坐标系

中任意坐标（如Ox轴）与渗流速度方向一致。

b.二维流（平面流）：所有流线与某一固定平面平行的地下水流。若固定面为铅垂

面，则为剖面的平面流；若固定面为水平面，则为水平面的平面流。

平面流最大的特点是存在一组相互平行的流面。研究平面流，只需研究两流面所隔

开的单位宽度（对剖面平面流）或单位厚度（对平面平面流）的渗流，即可掌握整个水

流的运动特征。

下面介绍一个概念：

单宽流量：通过单位水流宽度上的流量，用4表示。

显然通过水流宽度为B的流量。为：

Q=qB

c.三维流（空间流）：所有流线相互之间不平行的地下水流。例如：潜水井抽水。

严格地讲，自然界中的地下水流均为三维流。但考虑到求解的困难，以及计算精度

的要求和渗流在水平方向上的速度分量远大于垂直方向上的速度分量，而后者往往被忽

略，把三维流近似看作为二维流来研究、求解。

四.水流的两种型态

实际液体的流动由于粘滞性的存在而具有两种不同的型态一一层流和紊流。1883

年英国物理学家雷诺（OsborneReynolds）通过试验，揭示了这两种流动型态的不同实

质。

雷诺实验的装置如图1—3。

图1—3雷诺实验装置示意图

开始实验,轻微打开开关K2,使水以某一较小流速沿玻璃管流出，同时打开开关K,

使颜色水液随着水箱中的清水一起进入玻璃管。此时，在整个玻璃管中，出现•条固定

而明显的着色平滑直线，而不与周围清水相混杂。

继续扭开开关K?,玻璃管中的流速也随之增加，当流速增大到某一数值后，着色

直线开始颤动，发生弯曲，线条逐渐加粗，最后整个玻璃管中的清水和着色液体完全混

合。显然，管中的颜色水流呈直线状态的水流和颜色水流与清水流相混杂的紊乱状态时

的水流，其内部结构是完全不同的。

任何实际液体的流动都具有两种流动型态，即层流和紊流。

液体流动型态转变时的断面平均流速叫临界流速。

上临界流速九'：从层流转变为紊流时的临界流速。

下临界流速匕：从紊流转变为层流时的临界流速。

对同一条件下的液体，匕.'〉匕。

据雷诺试验的结果，流态不同，沿程水头损失的规律也不同，若以Igu为横轴，1g即

为纵轴的直角坐标系，将试验数据描绘成Igv—1g勺曲线，图1—4。

图中，AB和DE为直线，方程为：

lghf=Igk+"21gv

hf=k\T

"层流时，加=1

v紊流时，m=2

.过渡区，加=1.75~2

因此，要判别沿程水头损失，必须首先确定液

体的流态.那么，用什么作为判别流态的标准呢？！

在图1—4中，似乎下临界流速可作为判别流态的

标准，但是，大量实验证明，临界流速并不是一个

固定的数值，它和流速、过水断面的形状及尺寸，

液体的物理性质等有关：在圆管中

图1—4lghf〜Igy曲线

vk=R’k三(1—4)

pd…嗫

式中：〃一一动力粘滞系数;

p一一液体密度;

d一一圆管的内直径;

R&、Rek----常数。

变化(1—4)式：

vkdpvkd

(1—4')

般dp二"d

式中：u=巴:运动粘滞系数。

P

我们称凡=以为雷诺数。相应地，Rek一一下临界雷诺数；&J一一上临界雷诺数。

V

雷诺数是一个无量纲的数，它仅反映了介质一定时，惯性力与粘滞力的对比关系

(-)o当液体为层流时，粘滞力的作用占统治地位，对质点的运动起控制作用，如果

U

某一液体质点企图脱离它自己的流层，粘滞力就会阻止它，因而各液体质点都必须规则

地有条不紊地沿着自己的流层作线状流动。此时，雷诺数较小。当液体为紊流时，惯性

力对质点的运动起控制作用，质点的运动在惯性力的作用下，互相混杂；此时雷诺数较

大。

因此，雷诺数是判别流动型态的准数。在工程实际中，总是用下临界雷诺数尺★与

实际雷诺数比较来判别流态的。凡是实际雷诺数大于下临街雷诺数时就是紊流了；小于

时为层流。

「此实＜Rek，层流

实》Rek，紊流

大量试验确定，圆管的下临界雷诺数4人=2300。

在渗流中，也可以用类似的雷诺数来判别渗流的流态，当饱和岩层由粗砂组成时:

_""。10J(巴浦洛夫斯基)(1-5)

u0.75/+0.23

式中：一—地下水的渗流速度；

含水层颗粒的有效粒径；

D10——

D一—地下水的运动粘滞系数。

地下水绝大多数情况下都呈层流运动状态，只有在卵石层的大孔隙中，当水力坡度

很陡时，以及在大的裂隙和洞穴中，才会出现紊流运动状态。

大量实验资料得：R4.=7〜9,平均可取8。

例：设有一饱水岩层由粗砂组成：n=0.4,D10=0.05cw,水温在15℃时,

z>=0.011W/5,地下水渗流速度〃=50米/昼夜，此时的雷诺数为：

]__________5000x0.05

Re=0.48<<

0.75x0.4+0.324x3600x0.0114

所以，在这种状态下，水流呈层流状态。

五.岩层按渗流性质的分类

1.按渗透性能的强弱，将岩层分为透水层和隔水层。而充满重力水的透水层称为含水

层。

一般认为亚砂土、砂土、砂砾石土是透水的，而亚粘土、粘土等是隔水的。当然，

透水层与隔水层之间并无绝对的界限存在，它们完全是相对关系。

2.根据岩层的透水性在空间上是否变化分为均质含水层和非均质含水层。

均质含水层：渗透系数是与渗流区域坐标无关的常数，亦即含水层中各点的渗透系

数相同。

非均质含水层：渗透系数随着空间坐标而变化，含水层中各点的渗透系数不同。

事实上，自然界中绝对均质的含水层是不存在的，实际工作中，通常把同一岩性成

分和大致相同的渗透系数的岩层称为均质含水层。

3.根据渗透系数是否随着渗流方向而变化，将含水层分为各向同性和各向异性的。

各向同性含水层：含水层中任何一点的渗透系数与渗流的方向无关，亦即不管水流

向哪个方向运动，在同一点上都具有相同的渗透系数。

各向异性含水层：渗透系数取决于渗流的方向，在同一点上，当渗流方向不同时，

可以有不同的渗透系数。黄土就是各向异性含水层的一个例子，它垂直方向的渗透系数

大于水平方向的渗透系数。

必须注意：不要把含水层的均质与非均质的概念同各向同性与各向异性的概念混淆。

前者是指岩层透水性和空间坐标的关系，而后者指岩层透水性和渗流方向的关系。

组合起来，自然界存在均质各向同性岩层、均质各向异性岩层、非均质各向同性岩

层、非均质各向异性岩层。

第二节渗流的基本定律

地下水在含水层中的运动条件极其特征尽管千变万化，但都遵守质量守恒和能量守

恒这两条基本定律。具体应用到对地下水运动的研究上，这两条定律分别就是水均衡原

理和直线及非直线渗透定律。

一.水均衡原理

众所周知，地下水不会自生自灭。在任意时间间隔（均衡期）内，含水层中某一体

积（均衡单元）中地下水水量的变化必然遵循着一定的平衡关系一一水均衡原理。这种

平衡关系可表示为：

V入一V出=VQ（1-6）

式中：V入一一某一瞬间流入含水层中的水量（以体积表示）；

V出—同一瞬间流出含水层的水量；

V贮一一同一瞬间含水层中水量的变化值。

当V入》V出时,V贮增加，表现为水头上升；

当V入＜v出时，V贮减小，表现为水头下降。

总之，贮存水量的增减必然会引地下水水位相应地升高或下降。

二.直线渗透定律

1.达西定律

直线渗透定律是由达西通过实验得到的，所以又叫达西定律。

达西在1856年通过实验得到了下列关系式：

H-H

Q=Kw]2（1—7）

L

这就是著名的达西公式。式中：

Q----流量（相3/昼夜）

K——渗透系数（机/昼夜）

卬一一试验圆筒的横截面积，包括砂颗粒和孔隙所占的部分面积在内，亦即渗流的过水

断面的面积（m2）«

乩、H2——在渗流方向上相距为L（米）的1、2两点处渗流的水头值。

达西定律是在一维流的条件下，通过实验得到的，因而水流也必定满足缓变流的条

件。于是，出及也也是1、2两点多在过水断面的水头值，水头随流程呈线性规律递

减，因而.”2不仅表示]、2两点间所在过水断面间的平均水力坡度，亦表示任一

L

断面的水力坡度，式（1-7）可改写如下：

Q=KwJ（1—7'）

上式中两边同除以过水断面面积w可得：

v=KJ（1—8）

式中：y——渗流速度（米/昼夜）;

K一一渗透系数（米/昼夜）；

J---水力坡度（无量纲）。

该式表明，渗流速度-与水力坡度，呈线性关系，所以达西定律又称为直线渗透定

律。

2.达西定律的讨论

（1）在均质各向同性含水介质的条件下，达西公式可以微分形式表示：

(1—9)

对二维流

=­K

dx

oH

对三维流

为

dH

dz

（2）达西定律的应用条件：

当R,,<1〜10时，地下水运动服从达西定律。

多孔介质中的地下水流可以区分为以下三个区域：

第一个区域：有一个层流区，这时粘滞力占优势，惯性力可忽略不计,

达西定律适用。

第二个区域：尺尸10~100,这时，惯性力占优势的非线性层流。

第三个区域：（>100时，紊流区。

达西定律适用达西定律不适用

粘滞力占优势惯性力占优势

层流向紊流过渡

大量的实验证明，（1）达西定律既适用于均质、各向同性，也适用于非均质、各项

异性岩层；（2）既适用于稳定运动，也适用于非稳定运动。（3）既适用于饱和岩层，又

适用于非饱和岩层。

3.达西定律的实质

由—”="一"2

L

可得：H[=“2+—v

K

L

把该式与伯诺里方程加以对比，可以看出7u就是1、2两个断面间的水头损失儿修。

显然，水头损失的大小与渗流速度及渗流途径成正比，与空隙介质的透水性能成反比。

达西定律的实质就是渗流的能量守恒或者能量转换定律。

4.关于渗透系数与渗透率

由达西公式可知，渗透系数在数值上等于当水力坡度为1时的渗流速度。它是一个

重要的水文地质参数。

渗透系数不仅取决于岩石的性质（如粒度成分、颗粒排列、充填状况、裂隙的性质

和发育程度等），而且和渗透液体的物理性质（容重、粘滞性等）有关。同一岩层，对

于水是一种渗透系数，对于石油又是另一种渗透系数。就是同样都是水，当水温和水的

矿化度不同时，也会引起容重和粘滞性的一些变化，因而渗透系数也随着变化。当然,

在地下淡水的运动中，这些变化很小，常常可以忽略不计。因此在这种情况下，可以把

渗透系数作为表示岩层透水性能的一个常数。但在研究盐水、卤水、石油以及高温地下

水等液体的运动时，就不能忽略它们的影响，亦即不能把渗透系数当作一个常数来看待。

水力学中，在层流条件下，圆管中过水断面的平均流速为：

若把多孔介质透水性理想化，看成是由一系列细管组成，其空隙率仍旧不变。则地下水

的实际流速为：

渗透速度为：

=H^,L,j（1—10z）

v=nu32〃

将^=K/与上式对比：

式中：K渗透系数；

n----孔隙率；

d——孔隙的有效直径；

/----容重；

〃一一水的动力粘滞系数。

从上式中可以清楚地看出，渗透系数不仅与孔隙介质的性质(〃、d)有关，还与

水的物理性质(/、〃)有关。

若把(1-12)

32

定义为渗透率，则：

k=k°L(1—12')

渗透率也是表示介质能使液钵或气体通过介质本身的性质。它是不随渗透液体的物

理性质而变化的。它仅仅取决于介质本身的性质(〃、d)。从式(1-12)可以看出，

介质孔隙的大小起主要作用(幻和d是平方的关系)，空隙率是起次要作用。如在粘土

中，〃=0.5~0.6,而其以仅是粗砂土(n=03-0.4)的

对地下水来说，/、〃决定于矿化度、水温、压力等因素。一般条件下，水温对〃

的影响较大。

三.非直线渗透定律

当地下水呈紊流运动时，采用哲才一一克拉斯诺波里斯基公式表示紊流渗透的基本

定律：

2

Q=KTWJ^(1—13)

2

或v=KrJ^(1—13')

式中：号为地下水呈紊流型态运动时空间介质的渗透系数。需要指出的是，同一块岩

层和同一种渗透液体，当液体运动型态不同时，其渗透系数值不等〃即便是紊流，也因

紊乱程度不一样使渗透系数值不等。这是因为，液体的运动型态和岩层的渗透系数都与

液体的物理性质有关。

当地下水运动范围内层流及紊流型态的水流并存时，斯姆列盖尔给出了混合流公式

来表示这种条件下的渗透基本定律：

工

m

Q=KcwJ(1-14)

2

1z

或v=KeJ"(1—14)

式中：I为混合流条件时空隙介质的渗透系数；“称为流态指数，1<2。

四.裘布依基本微分方程

图1一5裘布依假设示£窗

达西定律。=长皿，对于均匀流/、。都是常数；但对于非均匀流，。沿程是变化

的，，不仅沿程变化，而且对于流线为曲线的非均匀流，在同一渗流断面上也是变化的。

因此，达西定律在非均匀流中运用很困难。但是，自然界中的非均匀流动绝大多数为缓

变流动。图1—5是一缓变流。取过水断面为"的水流来研究。虽然对于非均匀流，水

力坡度在同一断面上是变化的，但由于/=是坐标的连续函数，在微分面积出上，

J可以看成是常数，对面积为4y的水流可以写出达西定律:

dQ=KJdco=-Kdco

对上式积分可得整个渗流断面上的流量:

Q=[-K-dco

%ds

由于含水层是均质的，K=常数，但子能否拿到积分号之前呢？

ds

取间距无限接近的两渗流断面，其水头分别是〃及〃+""；两渗流断面的水头差

均为dH,但由于流线是曲线，使得其流线长度不等，ds.<ds2,这样也在同一断面

ds

上就不是常数。但是当流线几乎是直线的条件下，两渗流断面间各流线的长度ds也几乎

桂等，这样在同一渗流断面上，各点的水力坡度)=-"可以近似地看成相等，因此上

ds

式得:

dHrdH

Q=-K----Idco=—K-----co(1—15)

ds%ds

上式就称为裘布依基本微分方程C

一也

或K(1—15')

(1L

由式(1-15)导出的前提条件可知，裘布依基本微分方程的适用条件是层流和缓

变流。

(1—15')式虽然与达西公式的微分式(1-9)在形式上完全相同，但二者的适

用条件是有区别的。

第三节地下水在均质各向异性介质中的运动特征

前面述及，均质各向异性介质中其渗透系数K不随着空间坐标而改变，而随着渗流

方向的不同而变化。如层状构造的含水层，沿层理渗透性好，而垂直于层理的方向渗透

性就差；在裂隙含水层中，沿裂隙发育的方向渗透性好，沿垂直裂隙发育方向则渗透性

能差。实际资料表明，不同方向上的渗透系数可差几倍〜几十倍。

一.主渗透系数与方向渗透系数

1.渗透的主方向：渗透性能最强与最弱的方向。

2.土渗透系数：渗透土方向的渗透系数。

以二维流为例，令(0一孙)坐标系的Ox方向与渗透性能最强的方向一致，则K.表

示渗透性能最强方向的渗透系数，Kv、.表示渗透性能最弱方向的渗透系数。显然，K"与

均为主渗透系数。

由式(1—9)可得;

(1—16)

把上式写成矩阵的形式

v=-kgradH

(1—16')

dH

gmdH=翳

由此可见，在均质各向异性介质中，即使彳二彳，

dxdy

沿主方向的渗流速度也是不相同的。V

设Kj是与Ox夹角为。方向上的渗透系数，称为方向pr

yy

3。1“

oXkxx

图1-6

渗透系数。其方向上的渗流速度%

dH

cos<9+—sin<9

dxoy

又

心祟+K»dH

%=

dx

K3HdH

cos<9+—sin<9Mx4+K»

一0dH“涧父明、„

又,:“一心工=-(心三+K”西)cos。

一0dH明「8”、.a

"，=-K»菽=T心至+K»访)sine

也cos。+也sin。

dx力’

dH

K°K黑+K

yy8y

dHdH

dx

而2而s'"

KdH

仁江+右K—+K

xxdxyy办

dH

cos"

把

„dH°dH

dx”dy

dH

sin。

及

dHdH

代入得:

1cos20sin20

(1—17)

如图(1-6),在以上任取一点P，半径长为x=r^cosO,y=Gsin。代入(1—17)

式，可得:

■>2

X

(1—18)

K。yy

若取r；=K。，则有

2

X2y

-------1--------=1(1—18')

心K”

该式是一个标准的椭圆方程，长半轴为曲，短半轴为历，该式表明了均质各向异

性介质中任一点的渗透系数的分布规律。

如果3,、K.已给定，则由(1-17)式可得:

Ksec20

xx(1—17')

二.各向异性与流线偏转

设在均质各向异性介质中任取一点0,坐标系｛。肛｝

的坐标轴方向如图1—7所示。为方便讨论起见，不妨

设孚=如果采用K=JKJT,将介质概化为各向

同性介质，以

K阴

-一

加

-K阳

而

为基础可得出流速1此即为流线的方向。由此可见，在均质各向同性介质中，流涎与

等水头线是相互垂直的。

在各向异性介质中，Kxx»Kyyf以式

dH

Vy=-Kyy

ay

为基础，所得出的流速就不会与；重合。因此，在均质各向异性介质中任一点的流线

相对于等水头线的法向要产生偏转，且向主渗透系数较大的主方向，a称为偏转角。

当辿=也时、吟一一片+外

如嗯*

在均质各向异性介质中，沿主渗透系数小的方向水力坡度要小。

第四节地下水在非均质各向同性介质中的运动特征

由于沉积环境的差异，形成了许多具有统一流场但又由不同渗透性能的含水层组成

的统一含水体。如在广阔平原的大型古河道带，往往形成上层为透水性较弱的河漫滩粗

砂质或亚砂质、粘土质的单一含水层，下部为强透水性河床粗砂粒的单一含水层，两者

组成层状的二元结构含水体（层），就是典型的非均质各向同性含水介质。

一.流线与非均质岩层界面斜交

当地下水在非均质岩层中运动时，如果水流斜向穿过二种透水性不同的岩层介质时,

流线会发生折射（可以证明）。

如图1—8就是其流线折射情形。

对于I介质：

d=BF%

%=CG.v2

又BF=BGcos6>,,CG=BGcos%

A/7,

%=aJ〕=K]VI

K

v=KJ=KA”2

2}2WT

-a

由水流的连续性原理，必有％=私介面

/[\G

K、^-cos(9,=K2^-COS<92

△6A/2

A/,=BGsin6>,,△/?=^Gsin。?代入得:

V2

图1-8层状非均质含水层

K\bH\KQH?

吆4tg%

又因为直线8r和CG是和流线垂直的两根水头线，因此必有Ad=A”2,得

工幽(1—19)

KJtgo2

该式称为渗流的折射定律。

%=给时，4=%

K尸K?,4=0。时，02=00；，流线不发生折射现象;

K尸K2,4=90°时，02=90°；

K尸K?,水流与介质界面斜交时水流发生折射，且&与a相差愈大，仇与必相差愈

大。

二.流线与非均质岩层界面平行

如图1-9,是一层状非均质含水体。

每层厚度为Mj,渗透系数为K,,其各

层的水力坡度相同为也，整个含水体

L

的单宽流量q为各分层的单宽流量见之

和，根据裘布依公式：

则q曰=，沙四

f=i乙i=l

“图1一9层状均质含水层

设含水体总厚度为上式分子、分母同承以〃有：

I=I

■KM

q=M

L

1=1

令K,〃为水流平行层面时的含水体等效渗透系数，则上式为:

q=K,M—

,nL

(1—20)

K=—yKM

m巾M乙1't

三.流线与非均质岩层界面垂直

在这种情形下，通过每一岩层的单宽流量相等，因而每一层中的渗透速度也是相同

的，但因各层的渗透系数不同，所以水力坡度也不同。对每一层都可写出：

式中：AH］，A//„---每一层内的水头降落;

M“---每一层的厚度。

通过整个含水层的水头损失为每一层的水头损失之和:

加

t=lf=l

设K1为水流垂直层面时的整个含水层的等效渗透系数，M为整个含水层厚度，由达西

定律：

u=K,„----

M

A口M三

bH=u——=〃)----

M'白M

，一

KM(1—21)

1~泮

J-1八，

可以从数学上和物理意义上证明

第五节地下水运动的基本微分方程

一.渗流的连续性方程

设在充满液体的渗流区域内取-无限小的平行六面体,其边长分别为-、2、Az,

并且与坐标轴平行（图1—10）。如沿坐标轴方向的渗透速度分量为八、匕、匕，液体

的密度为P。

1.在。时间内，流入六面体左边界面。物力的液体质量为：

2.而从六面体右边界面a'"'。'"流出的液体质量为：

pQx+°（半）—z

OX

3.那么，沿x轴方向流入六面体和流出六面体的液体质量之差为:

同理，可以得出沿），轴方向和沿2轴方向流入与流出六面体的液体质量差分别为:

匕）

--^-^A.vAyAzAr

oy

一山g.加

dz

4.因此，在△/时间内，流入和流出平行六面体总的液体质量差为:

「逝3如乙逝叫⑥八必的

dxdydzJ

5.而在该六面体内，液体所占的体积为：

“AxAyAz

式中：n----孔隙度。

在时间内，该六面体内液体质量的变化为：

—[/7/zAxAyAzlAr

dt

而该六面体内液体质量的变化是由于流入与流出平行六面体的液体质量差造成，根

据质量守恒定律，两者在数值上是相等的:

e

(1—22)

该式就称为渗流的连续性方程。

如果把地下水当作不可压缩的均质液体，亦即地下水的密度夕=8〃sianf,同时假

定流入和流出平行六面体的液体总质量差等于零，有：

dvxdvvdv.八

&②dz（1-23）

该式为地下水稳定运动的基本微分方程。

二.承压水非稳定运动的基本微分方程

<-）假定条件

1.水流为三维流，服从达西定律；

2.承压含水层为非均质、各向异性，等厚；

3.地下水与含水层都视为弹性体，水头一发生改变，弹性贮量释放（或贮存）是瞬时

完成的：贮水系数（S）是定值；

4.有垂向的补给与排泄，补给强度（卬）为定值。但为补给与排泄二者强度的代数和。

补给强度w——单位时间内沿垂向通过单位水平面积补给含水层的水量及含水层排泄

水量的代数和。量纲为乙广，单位：米/日。

w

吗=一

当承压含水层的厚度M为定值时，.M则表示单位时间沿垂向补给单位体积含

水层的水量及单位体积含水层排泄水量的代数和。

(二)方程式的建立

下面以渗流连续性方程为基础，来建立承压水非稳定运动的基本微分方程。

在有垂向补给与排泄时，其渗流连续性方程为:

+wsp}AuVAyAz=—(p/?AvAyAz)

dt

(1—24)

在承压水非稳定运动的情况下，将产生含水层在垂向上的压缩。在(1-24)式括

号右端的加公)'，由于含水层侧向受到限制，可以视为常量，但水的密度「、孔隙度〃及

单位体积在垂向上的长度&则为变量。因此(1-24)式右端可写成:

°

—(pwAMyAz)S也+人电+”Az电］AMy

dtdtdt(1—25)

下面分别研究(4-4)式右端三项:

首先，引进含水层固体骨架垂向压缩系数。的概念。

1