中考数学二轮复习题型专练（浙江专用）专题11 手拉手模型（原卷版）

题型十一手拉手模型【要点提炼】全等型手拉手模型【识别手拉手模型】下面的图像均为手拉手模型题目中的图像，同学们能观察出两个图像共同的特点吗？形如：共顶点、双等腰、顶角相等的图形即为手拉手模型【“手”怎么判断】想象每个等腰三角形都是一个三角形的桌子，三边旁边分别有一个座位，我们选择面对顶角的座位坐下，那么左手边的顶点即左手，右手边的顶点即右手【重要结论】每一个手拉手模型都会共同的重要结论，把这些结论以及推理方法都记住，做题时可以快速求解结论如下：①▲ABC≅▲AB’C’(▲顶左左≅▲顶右右）②BC=B’C’(左左=右右）③∠BOB’=∠BAB’（左左和右右的夹角=等腰三角形的顶角）④AO平分∠BOC’(利用全等三角形对应高线相等以及角平分线性质定理的逆定理证明）【构造手拉手模型】①什么样的题目需要构造手拉手模型？如下图，图形中从一点A出发有三条线，其中两条相等，那么可以将▲ABC看作等腰三角形，那这个图形就和手拉手模型很像了，就是缺了一个等腰的手拉手因此，已知共顶点等线段时可以构造手拉手模型②如何构造手拉手模型？牢记手拉手模型的特点：共顶点、双等腰、顶角相等，只要把图形补充为符合这些特点即可即以AD为边、A为顶角、在顶角与▲ABC相等的情况下构造手拉手模型，如下图相似型手拉手模型【识别手拉手模型】和全等型不同的是，相似型手拉手模型没有等腰，但是仍然符合共顶点、“顶角”等的特点，判断左右手的方式也和全等型相同【重要结论】①▲ABC~▲ADE、▲ABD~▲AEC（▲顶左左~▲顶右右）②BD【构造手拉手模型】①什么时候构造相似型手拉手模型？已知共顶点三条线，其中两条已知比例关系的，就可以构造手拉手模型，按照图形特点补充即可【专题训练】一．选择题（共3小题）1．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连接BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM=13BE，AN=13A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形3．如图，A、B、C在同一条直线上，△ABF和△BCE均为等边三角形，AE、FC分别交FB、EB于点M、N，下列结论中：①△ABE≌△FBC，②AB＝FN，③BM＝BN，④∠ADF＝60°，⑤DB平分∠ADC，其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二．填空题（共1小题）4．匈牙利著名数学家爱尔特希（P．Erdos，1913﹣1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则∠ADO的度数是．三．解答题（共6小题）5．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．6．（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．7．请完成如下探究系列的有关问题：探究1：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上一动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF，则线段CF，BD之间的位置关系为，数量关系为．探究2：如图2，当点D运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）探究3：如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留为45°，点D在线段BC上运动，请你判断线段CF，BD之间的位置关系，并说明理由．8．已知，在△ABC中，BC＝4．（1）如图1，将边AC、AB同时绕着点A分别按逆时针、顺时针方向旋转a°，得AD、AE，连接BD、CE，求证：BD＝CE；（2）如图2，若∠ABC＝60°，AB＝1，将边AC绕着点A逆时针旋转120°，得AD，连接BD，求BD的长；（3）如图3，O为BC上一点，OB＝1，以O为圆心，OB的长为半径作⊙O，点M是⊙O上动点，连接MC，以MC为腰作等腰Rt△MCF，使∠MCF＝90°，其中M、C、F三点为逆时针顺序，连接BF，则BF的取值范围是．9．在△ABC中，∠BAC＝60°．（1）如图1，若AB＝AC，点P在△ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连接DP，补完全图，直接写出PB的长．（2）如图2，若AB＝AC，点P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC的度数；（3）如图3，若AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA=3，PB＝5，∠APC＝120°，直接写出PC10．【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：（1）如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过观察、分析、思考，他对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系…请你根据上面分析，完成该问题的解答过程