中考数学二轮复习题型专练（浙江专用）专题11 手拉手模型（解析版）

题型十一手拉手模型【要点提炼】全等型手拉手模型【识别手拉手模型】下面的图像均为手拉手模型题目中的图像，同学们能观察出两个图像共同的特点吗？形如：共顶点、双等腰、顶角相等的图形即为手拉手模型【“手”怎么判断】想象每个等腰三角形都是一个三角形的桌子，三边旁边分别有一个座位，我们选择面对顶角的座位坐下，那么左手边的顶点即左手，右手边的顶点即右手【重要结论】每一个手拉手模型都会共同的重要结论，把这些结论以及推理方法都记住，做题时可以快速求解结论如下：①▲ABC≅▲AB’C’(▲顶左左≅▲顶右右）②BC=B’C’(左左=右右）③∠BOB’=∠BAB’（左左和右右的夹角=等腰三角形的顶角）④AO平分∠BOC’(利用全等三角形对应高线相等以及角平分线性质定理的逆定理证明）【构造手拉手模型】①什么样的题目需要构造手拉手模型？如下图，图形中从一点A出发有三条线，其中两条相等，那么可以将▲ABC看作等腰三角形，那这个图形就和手拉手模型很像了，就是缺了一个等腰的手拉手因此，已知共顶点等线段时可以构造手拉手模型②如何构造手拉手模型？牢记手拉手模型的特点：共顶点、双等腰、顶角相等，只要把图形补充为符合这些特点即可即以AD为边、A为顶角、在顶角与▲ABC相等的情况下构造手拉手模型，如下图相似型手拉手模型【识别手拉手模型】和全等型不同的是，相似型手拉手模型没有等腰，但是仍然符合共顶点、“顶角”等的特点，判断左右手的方式也和全等型相同【重要结论】①▲ABC~▲ADE、▲ABD~▲AEC（▲顶左左~▲顶右右）②BD【构造手拉手模型】①什么时候构造相似型手拉手模型？已知共顶点三条线，其中两条已知比例关系的，就可以构造手拉手模型，按照图形特点补充即可【专题训练】一．选择题（共3小题）1．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确∵∠DOF＝∠AOE，∴∠DFO＝∠EAO＝90°，∴BD⊥EC，故②正确，∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，∴AM＝AN，∴FA平分∠EFB，∴∠AFE＝45°，故④正确，若③成立，则∠EAF＝∠BAF，∵∠AFE＝∠AFB，∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，所以AF不一定平分∠CAD，故③错误，故选：C．2．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连接BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM=13BE，AN=13A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形【答案】C【解析】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴BC＝AC，EC＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，在△BCE与△ACD中BC=AC∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD（SAS），∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，∵BM=13BE，AN=∴BM＝AN，在△MBC与△NAC中BM=AN∠MBC=∠NAC∴△MBC≌△NAC（SAS），∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，∵∠BCM+∠MCA＝60°，∴∠NCA+∠MCA＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MCN是等边三角形，故选：C．3．如图，A、B、C在同一条直线上，△ABF和△BCE均为等边三角形，AE、FC分别交FB、EB于点M、N，下列结论中：①△ABE≌△FBC，②AB＝FN，③BM＝BN，④∠ADF＝60°，⑤DB平分∠ADC，其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【解析】解：∵△ABF和△BCE均为等边三角形，∴AB＝FB，BC＝BE，∠ABF＝∠CBE＝60°，∴∠MBN＝180°﹣∠ABF﹣∠CBE＝60°，∵∠ABE＝∠ABF+∠MBN＝60°+60°＝120°，∠FBC＝∠CBE+∠MBN＝60°+60°＝120°，∴∠ABE＝∠FBC，在△ABE和△FBC中，AB=FB∠ABE=∠FBC∴△ABE≌△FBC（SAS），故①正确；∵△ABE≌△FBC，∴∠BAM＝∠BFN，在△ABM和△FBN中，∠BAM=∠BFNAB=FB∴△ABM≌△FBN（ASA），∴AB＝FB，BM＝BN，故②错误，③正确；∵△ABE≌△FBC，∴∠AEB＝∠FCB，∠ADF＝∠DAC+∠DCA＝∠DAC+∠AEB＝∠CBE＝60°，故④正确；作BP⊥AD，BQ⊥CD，∴∠BPM＝∠BQN＝90°，∵△ABM≌△FBN，∴BM＝BN，∠PMB＝∠QNB，在△BPM和△BQN中，∠BPM=∠BQNBM=BN∴△BPM≌△BQN（ASA），∴BP＝BQ，即点B到AD和DC的距离相等，∴BD是∠ADC的角平分线，故⑤正确；故选：B．二．填空题（共1小题）4．匈牙利著名数学家爱尔特希（P．Erdos，1913﹣1996）曾提出：在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则∠ADO的度数是18°．【答案】18°【解析】解：由题意知点A、B、C、D为正五边形任意四个顶点，且O为正五边形中心，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD=360°∴∠AOD＝360°﹣3∠AOB＝144°，又∵OA＝OD，∴∠ADO=180°−∠AOD故答案为：18°．三．解答题（共6小题）5．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED．理由：∵四边形EFGD是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠GDE＝∠ADC，∴∠ADG＝∠CDE，∴△AGD≌△CED（SAS）．②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．∵△AGD≌△CED，CD＝CE，∴AD＝AG＝4，∵AT⊥GD，∴TG＝TD＝1，∴AT=A∵EF∥DG，∴∠GHF＝∠AGT，∵∠F＝∠ATG＝90°，∴△GFH∽△ATG，∴GHAG∴GH4∴GH=8（2）①如图3中，设AD交PC于O．∵△AGD≌△CED，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，∴∠AOP+∠DAG＝90°，∴∠APO＝90°，∴CP⊥AG．②∵∠CPA＝90°，AC是定值，∴当∠ACP最小时，PC的值最大，∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，∴EC=CD2∵EF＝DE＝2，∴CP＝CE+EF＝2+23，∴PC的最大值为2+23．6．（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是MG＝NG；位置关系是MG⊥NG．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【解析】解：（1）如图①，连接BE，CD相交于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°∴∠CAD＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∴∠BDC+∠DBH＝∠BDC+∠ABD+∠ABE＝∠BDC+∠ABD+∠ADC＝∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠BHD＝90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG=∥1同理：NG=∥1∴MG＝NG，MG⊥NG，故答案为：MG＝NG，MG⊥NG；（2）如图②，连接CD，BE相交于点H，同（1）的方法得，MG＝NG，MG⊥NG；（3）如图③，连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG＝NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD，∴∠CEH+∠ECH＝∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE＝∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°＝90°，∴∠DHE＝90°，同（1）的方法得，MG⊥NG，∴△MGN是等腰直角三角形．7．请完成如下探究系列的有关问题：探究1：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上一动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF，则线段CF，BD之间的位置关系为CF⊥BD，数量关系为CF＝BD．探究2：如图2，当点D运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）探究3：如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留为45°，点D在线段BC上运动，请你判断线段CF，BD之间的位置关系，并说明理由．【解析】解：探究1：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∵四边形ADEF为正方形，∴∠DAF＝90°，∴∠CAD+∠CAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF．∴在△ABD和△ACF中，AB=AC∠BAD=∠CAF∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，∴∠BCF＝90°，∴CF⊥BD；故答案为：CF⊥BD，CF＝BD；探究2：探究1中的两条结论是否仍然成立．理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°+∠CAD，∵四边形ADEF为正方形，∴∠DAF＝90°，∠CAF＝90°+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF．∴在△ABD和△ACF中，AB=AC∠BAD=∠CAF∴△ABD≌△CAF（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，∴∠BCF＝90°，∴CF⊥BD．探究3：线段CF，BD之间的位置关系是CF⊥BD．理由如下：如图，过点A作AP⊥AC，交BC于点P．∵∠BCA＝45°，∴∠APD＝45°，AP＝AC．∵四边形ADEF为正方形，∴AD＝AF，∵∠CAP＝∠DAF＝90°，∴∠PAD＝∠CAF，∴△APD≌△ACF（SAS），∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝90°，∴线段CF，BD之间的位置关系是CF⊥BD．8．已知，在△ABC中，BC＝4．（1）如图1，将边AC、AB同时绕着点A分别按逆时针、顺时针方向旋转a°，得AD、AE，连接BD、CE，求证：BD＝CE；（2）如图2，若∠ABC＝60°，AB＝1，将边AC绕着点A逆时针旋转120°，得AD，连接BD，求BD的长；（3）如图3，O为BC上一点，OB＝1，以O为圆心，OB的长为半径作⊙O，点M是⊙O上动点，连接MC，以MC为腰作等腰Rt△MCF，使∠MCF＝90°，其中M、C、F三点为逆时针顺序，连接BF，则BF的取值范围是4≤BF≤6．【解析】解：（1）边AC、AB同时绕着点A分别按逆时针、顺时针方向旋转a°，∴AB＝AE，AC＝AD，而∠EAC＝∠BAC+a°＝∠BAD＝∠BAC+a°，∴△ACE≌△ADB（SAS），∴BD＝CE；（2）如图：按照（1）的方法，将边AB逆时针方向旋转120°得AE，连接BE、CE，由（1）知：△ACE≌△ADB（SAS），∴BD＝EC，∵△ABE是顶角120°的等腰三角形，AB＝1，易求：BE=3而∠ABE＝30°，即∠EBC＝90°，由勾股定理：BD＝EC=B答：BD的长为19；（3）如图：将CO顺时针旋转90°，得CE，连接BE、EF、OM，由（1）知：△OMC≌△EFC（SAS），∴EF＝OM＝1，EC＝OC＝4﹣1＝3，在Rt△BCE中，BE=CBE﹣EF≤BF≤BE+EF，即：4≤BF≤6．9．在△ABC中，∠BAC＝60°．（1）如图1，若AB＝AC，点P在△ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连接DP，补完全图，直接写出PB的长．（2）如图2，若AB＝AC，点P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC的度数；（3）如图3，若AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA=3，PB＝5，∠APC＝120°，直接写出PC【解析】解：（1）依题意补全图形，如图1所示，由旋转有，AD＝AP，BD＝PC，∠DAB＝∠PAC，∴∠DAP＝∠BAC＝60°，∴△ADP为等边三角形，∴DP＝PA＝3，∠ADP＝60°，∵∠ADB＝∠APC＝150°，∴∠BDP＝90°，在Rt△BDP中，BD＝4，DP＝3，∴PB=BD（2）如图2，把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，连接PD，∴△APC≌△ADB，∴AD＝AP＝3，DB＝PC＝4，∠PAC＝∠DAB，∠APC＝∠2，∴∠DAP＝∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠DAP＝60°，∴△DAP是等边三角形，∴PD＝3，∠1＝60°，∴PD2+DB2＝32+42＝52＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠2＝30°，∴∠APC＝30°；（3）如图3，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，则△ABQ∽△ACP，∴∠AQB＝∠APC＝120°，∵AB＝2AC，∴△ABQ与△ACP相似比为2，∴AQ＝2AP＝23，BQ＝2CP，∠QAP＝∠QAB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP＝∠BAC＝60°，∵AQAP∴∠APQ＝90°，PQ＝3，∴∠AQP＝30°∴∠BQP＝∠AQB﹣∠AQP＝120°﹣30°＝90°，根据勾股定理得，BQ=PB∴PC=1210．【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：（1）如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过观察、分析、思考，他对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系…请你根据上面分析，完成该问题的解答过程；【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面问题：