导函数中的同构法高考高频考点 4大题型（解析版）

1 1 6 13 19C．(m-2)2<(n-2)2【答案】B【详解】令g(x)=ex-x-1(x>0)，则g,(x)=ex-1>en+1enemen所以f(x)=在(1,+∞)上单调递减，因为f(m)>f(n)，所以1<m<n，则lgm<lgn，故A错误，B正确；en+1enemen-ln2,e≈2.71828是自然对数的底数，则()C．b<c<aD．c<a<b【答案】A断ex≥x+1，放缩c>-ln2，再设函数-lnx，利用导数判断单调性，得即e-1>-lnx，ge是：根据ex≥x+1，放缩c>-ln2，从而构造函数-lnx，比较大小.【答案】A【分析】将三个幂式分别取对数，根据相同结构，构造函数f(x)=lnx.ln(10-x),(2≤x≤4)，求导后，注意到导函数分子的相同结构，再次构造函数g(x)=xlnx,(x>1)，利用其单调性推出f(x)的单调性，推理即得.3ln7，c不妨设f(x)=lnx.ln(10-x),(2≤x≤4)，则因2≤x≤4，则10-x≥6>x>1，故g(10-x)>g(x)，即(10-x)ln(10-x)>xlnx，因x(10-x)>0，故f,(x)>0.于是，f(x)在[2,4]上单调递增，故f(2)<f(3)<f(4)，即lnc<lnb<lna，故得a>b>c.的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易，化繁为简的作用.12024·陕西咸阳·模拟预测）设a=ln2，b=，c=，则()【答案】B / /构造函数，则f,当0<x<e2时，f,(x)>0，则f(x)在(0,e2)上单调递增， 456 456 26 26 26 26故选：B【点睛】思路点睛：构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小.22024·湖南邵阳·一模）已知a=10lg4,b=9lg5,c=8lg6，则a,b,c的大小关系为()【答案】D【分析】根据题意可得lga=lg4.lg10,lgb=lg5.lg9,8lg6，两边取对数得：lga=lg4.lg10,lgb=l则g(14-x)>g(x)，即g(14-x)-g(x)>0，可得f¢(x)>0，则f(x)=lgx.lg(14-x)在[4,6]上单调递增，可得f(4)<f(5)<f(6)，利用导数判断其单调性.【答案】C利用导数判断出函数的单调性可得答案.设g(x)=(9-x)ln(9-x)-xlnx，则g,(x)=-ln(9-x)-1-lnx-1=-ln(9-x)-lnx-2，f(3)>f(2)，即ln4ln5>l【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点取对数，构造函数，利用函数的单调性解题.例题123-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数h(x)=x-lnx.(1)求h(x)的最小值；【答案】(1)1（2）ex-x1=ex-lnex>x2-lnx2，令h(x)=x-lnx，求导判断单调性进而可得ex2>2，利用分析法可得需证h(x2)≥h(2-x2)，再次构造函数m(x)=h(x)-h(2-x)，求导判断其单调性，可证结论.-（2）由ex+lnx2>x1+x2得：ex-x1=ex-lnex>x2-lnx2，-令h(x)=x-lnx，2Qx1>0，:ex1>1，:ex1+x2>2；>2-x2，2(2-x2)又h(ex2)，:只需证h(x2)≥h(2-x2)；:m(x)在(0,1)上单调递减，:m(x)>m(1)=0，:m(x2)>0，2)，即h(ex:ex1+x2>2；【点睛】关键点点睛：本题证明不等式的关键是能够采用ex-x1=ex-lnex>x2-lnx2的形式，结合极值点偏移的分析思想将问题转化为证明(1)求f(x)在区间[-1,1]上的最大值与最小值；【答案】(1)答案见解析x（x>0由g(x)min≥0成立即可；方法二同构）由x>0，a≥1，转化为xex≥lnx+x+1，进而变形为xex=elnxex=elnx+x≥lnx+x+1，再构造函数h(x)=ex-x-1（x∈R证h(x)≥0即可.令f,(x)=0，则x=-，所以f(x)min=f(-1)=-e-a，f(x)max=f(1)=ea.所以min=f而f(-1)=-e-a<0，f(1)=ea>0.所以f(x)max=f(1)=ea综上所述，当0<a≤1时，f(x)min=-e-a，f(x)max=ea；x-lnx-x-1，x-，易知φ在上单调递增，即ex0-因此ex0=，x0=-lnx0，00,x-1，123-24高二下·山东泰安·期末）已知函数f(x)=ex-1-mlnx(1)当m=1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)令g(x)=f(x)-x2+x，若存在不相等的x1,x2使得g(x1)-g(x2)=0，求证：e>x1x2.(2)证明见解析.（2）由函数零点的意义，用x1,x2表示m，再借助分析法探讨构造函数x-1-x2+x-然后用导数证明此函数单调递增即可.【详解】（1）当m=1时，函数f(x)=ex-1-lnx的定义域为(0,+∞)，求导得f,(x)=ex-1-，令m(x)=f,(x)，求导得=ex-1+>0，函数f,在上单调递增，又f,(1)=0，则当x∈(0,1)时，f,(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f,(x)>0，所以f(x)的递减区间为(0,1)，递增区间为(1,+∞).（2）不妨设x1>x2>0，则lnx1>lnx2，由g(x1)-g(x2)=0，2m2mx-1-x2+x-只需证：h(x1)>h(x2)，只要证：ex-1-x+1≥,令φ(x)=ex-1-x+1,x>0，求导得φ,(x)=ex-1-1，当x∈(e,+∞)时，F,(x)<0,F(x)在(e,+∞)上递减，F(x)≤F(因此ex-1-x+1≥在上恒成立，2m数的单调性、极(最)值问题处理.223-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数f(x)=lnx，若存在g(x)≥f(x)恒成立，则称g(x)是f(x)的一个“上界函数”，如果函数g(x)=+x-a为f(x)的一个“上界函数”.(2)证明：若方程f(x)=g(x)有两个解x1,x2，则x1x2<1.利用导数研究函数g(x)的最小值，从而得解；数的单调性求解即可.【详解】（1）解法一：f(x)的定义域为(0,+∞)，由g(x)≥f(x解法二同构法）f(x)的定义域为(0,+∞)，由g（22）解法一：若方程f(x)=g(x)有两个解X1,x2，则方程h(x)=a有两个解x1,x2，22xx设设则解法二：由题意得：方程f(x)=g(x)有两个解x1,x2，又因为有两个零点x1,x2，故t两边取对数得：x1-lnx1=x2x2二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解.例题123-24高二下·河南商丘·期末）已知函数lnx-x-(1)若a>-2，讨论f(x)的单调性；【答案】(1)答案见解析(2-a)lnx-x=0恰有2个正实数解．继而设m(x)=(2-a)lnx-x，则m(x)恰有2个零点，利用导数结合零点存在定理即可求解.:f(x)在区间(0,2)上单调递增，在区间(2,+∞)上单调递减；当-a<x<2时，f¢(x)>0，:f(x)在区间(0,-a)上单调递减，在区间(-a,2)上单调递增，在区间(2,+∞)上单调递减.当-2<a<0时，f(x)在区间(0,-a)上单调递减，在区间(-a,2)上单调递增，（2）由题知，g(x)=+(2-a)lnx-x-xa，Qg(x)恰有2个零点，:方程+(2-a)lnx-x-xa=0恰有2个正实数解，即方程e2lnx-x+2lnx-x=ealnx+alnx恰有2个正实数解.:2lnx-x=alnx，即方程(2-a)lnx-x=0恰有2个正实数解.:若a≥2，则m,(x)<0，:m(x)在区间(0,2-a)上单调递增，在区间(2-a,+∞)上单调递减，:2-a>e，即a<2-e.Qm(ea-2)=(2-a)lnea-2-ea-2=-(a-2)2-ea-2<0，:存在x1∈(ea-2,2-a)，使得m(xQm(e2-a)=(2-a)lne2-a-e2-a=(2-a)2-e2-a，设φ(x)=ex-ex，则φ,(x)=ex-e，由于2-a>e，故e2-a>e(2设t(a)=(2-a)2-e2-a，:t(a)在区间(-∞,2-e)上单调递增，:t(a)<t(2-e)=2-(2-e)2-e2--(2e)=e2-ee<0，:存在x2∈(2-a,e2-a)，使得m(x2)=0，:当a<2-e时，m(x)恰有2个零点，:实数a的取值范围为(-∞,2-e).(2-a)lnx-x=0恰有2个正实数解.例题223-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数(1)证明：f(x)≥2x+1.(2)证明：f(x)+g(x)>4.(3)若f(x1)=g(x2)=t，求x1+的et【答案】(1)证明见解析（2）利用（1）的结论进行放缩，再利用导数求函数最小值即可.【详解】（1）设h(x)=f(x)-(2x+1)=ex-x-1，则h,(x)=ex-1，即f(x)≥2x+1恒成立.，（所以f(x)+g(x)>4.1et这是解题的关键.123-24高二下·湖南长沙·期末）已知函数f(x)=ln(ax)+(a-1)x-ex.(1)当a=1时，求证：f(x)<-2；(2)若f(x)存在两个零点，求实数a的取值范围.设g(x)=ex-x-1(x>0)，则g,(x)=ex-再证：lnx≤x-1，设=lnx-x+1，则u,令u,(x)>0Þ0<x<1,u,(x)<0Þx>1，设h(x)==(1-x)e-x，此时h(x)在(-∞,0)上单调递增，h(x)=最多一个零点，不合22024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=lnx+kx的单调递增区间为(0,1).(1)求函数f(x)的图象在点(e,f(e))处的切线方程；(2)若函数g(x)=有两个零点，求实数a的取值范围.【分析】（1）由f(x)的单调递增区间为(0,1)，得出函数f(x)在x=1处取到极值，即可求（2）由（1）→f(x)=lnx-x→g(x)=aelnx-x-(lnx-x)，令g(x)=0得aelnx-x-(lnx-x)=0，令t=lnx-x得a=，若g(x)有两个零点，则直线y=t与函数f(x)求解.因此函数f(x)在x=1处取得极值，因此=lnx-x,f,-1，令f,=0，解得x=1，当x∈(0,1)时，f,(x)>0，f(x)在(0,1)单调递增，所以函数f(x)的图象在点(e,f(e))处的切线方程为，即y=（2）由（1）知f(x)=lnx-x，则g(x)==lnx-x)=aelnx-x-(lnx-x)，时，f(x)→-∞,所以函数f(x)的最大值为f(1)=-1，即t≤-1.若g(x)有两个零点，则直线y=t与函数f(x)的图象有两个交点，此时t<-1,易知若g(x)有两个零点，则直线y=a与函数m(t)的图象有一个交点，例题12024·陕西渭南·二模）已知函数f(x)=xlnx，(1)求函数g(x)的单调区间；(2)若当x>0时，mx2-ex≤mf(x)恒成立，求实数m的取值范围.(2)(-∞,e].【分析】（1）求出函数g(x)，再利用导数求出g(x)的单调区间.（2）等价变形给定不等式得m(x-lnx)≤ex-lnx，令t=x-lnx并求出值域，再换元并分离参数构造函数，求出函数的最小值即得.所以函数g(x)的递减区间为(0,+∞)，无递增区间.（2）当x>0时，mx2-ex≤mf(x)Ûmx2-ex≤mxlnxÛm(x-lnx)≤=ex-lnx恒成立，所以实数m的取值范围(-∞,e].数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.(1)当a=1时，求曲线y=g(x)在点((2)求函数f(x)的单调区间；【答案】(1)y=e2x-1(2)函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单（3）原不等式恒成立转化为(ea(x+1)-1)lnea(x+1)≥(x-1)lnx，构造函数，根据单调性转化为≥x对任意x≥1恒成立，分离参数后得a≥,由导数求出的最大值即可.2-1,g2，所以切线方程为y-(e2-1)=e2(x-1)，即y=e2x-1.因为f又因为h(1)=0，所以x∈(0,1)时，h(x)<0，即f,(x)f,(x)>0，综上可知，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞).即lnx，即a(x+1)(x-1)lnx，即所以φ(x)单调递增，则原不等式等价于φ(ea(x+1))≥φ(x)，所以$x0)时，t(x)>0，即r,(x)>0，r(x)单调递增；0,所以整数a的最小值为1.转化恒成立结论，第三关键点在于会找函数的隐零点，得到r(x)max，难度较大.(1)若a=0，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)若a=1，求f(x)的单调性.(3)当x>1时，f(x)≥alnx恒成立，求a的取值范围