2023年山东省泰安市中考数学试卷

2023年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.−23A.−32 B.−23 C.2.下列运算正确的是(

)A.2a+3b=5ab B.(a−bC.(ab2)33.2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果.科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记数法表示为(

)A.2.03×108年 B.2.03×109年 C.2.03×104.小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如图四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.5.把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1=35°，则∠2的度数等于(

)A.65° B.55° C.45° D.60°6.为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测.在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩(单位：个)如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．根据这组数据判断下列结论中错误的是(

)A.这组数据的众数是11 B.这组数据的中位数是10C.这组数据的平均数是10 D.这组数据的方差是4.67.如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC=115°，则∠BAC的度数是(

)A.25° B.30° C.35° D.40°8.一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx(a,b为常数且均不等于0)A. B.C. D.9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO=40°，∠ACB=70°，则阴影部分的面积是(

)A.43π B.83π C.10.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两.根据题意得(

)A.11x=9y(10y+x)−(8x+y)=13 B.C.9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13 D.11.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°.以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于12FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE.下列四个结论：①∠AED=∠ABC；②BC=AE；③ED=12BC；④A.1 B.2 C.3 D.412.如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(−6,4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM.将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是(

)A.3 B.62−4 C.2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知关于x的一元二次方程x2−4x−a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．14.为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB=4cm，则这张光盘的半径是______cm.(精确到0.1cm.参考数据：3≈1.73)15.二次函数y=−x2−3x+416.在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量.如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为50°，后退60m(CD=60m)到D处有一平台，在高2m(DE=2m)的平台上的E处，测得B的仰角为26.6°.则该电视发射塔的高度AB为______m.(精确到1m.参考数据：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5)17.如图，在△ABC中，AC=BC=16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC相交于F点，G点，若AF=8，DF=7，B′F=4，则CG的长度为______．18.已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放.三、解答题（本大题共7小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题8.0分)(1)化简：(2−x−1(2)解不等式组：2x+7>3x+1320.(本小题8.0分)2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开.为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖.并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据相关信息解答下列问题：(1)本次竞赛共有______名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是______度；(2)补全条形统计图；(3)若该党史馆有一个入口，三个出口.请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．21.(本小题8.0分)如图，一次函数y1=−2x+2的图象与反比例函数y2=kx的图象分别交于点A，点B，与y轴，x轴分别交于点C，点D，作(1)求反比例函数的表达式；(2)在第二象限内，当y1<y(3)点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P坐标．22.(本小题8.0分)为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？23.(本小题6.0分)如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC=AE．(1)求证：四边形DBEF是平行四边形；(2)求证：FH=ME．24.(本小题6.0分)∧如图，△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形EF⊥AD．(1)当AF=DF时，求∠AED；(2)求证：△EHG∽△ADG；(3)求证：AEEH=25.(本小题10.0分)如图1，二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点A(−4,0)(1)求二次函数的表达式；(2)若点P在二次函数对称轴上，当△BCP面积为5时，求P坐标；(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使∠DAB+∠ACB=90°；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．

2023年山东省泰安市中考数学试卷答案和解析1.【答案】A

【解析】解：−23的倒数为故选：A．根据倒数的定义解答即可，倒数：乘积是1的两数互为倒数．本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．2.【答案】D

【解析】解：A、2a与3b不是同类项，没法合并，故选项A不正确；B、由完全平方公式得(a−b)2=C、由积的乘方和幂的乘方得，(ab2)D、单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式，故选项D正确．故选：D．利用幂的运算，完全平方公式，单项式乘单项式的运算法则，容易选出D选项此题考查完全平方公式，幂的运算，单项式乘以单项式，较为基础．3.【答案】B

【解析】解：20.3亿年=2030000000年=2.03×10故选：B．科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．4.【答案】D

【解析】解：A、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】B

【解析】解：∵∠A=30°，∠1=35°，∴∠EDF=65°，∵DF//EG，∴∠BEG=65°，∵∠B=60°，∴∠2=180°−∠B−∠BEG=180°−60°−65°=55°．故选：B．先根据外角的性质求出∠EDF，再根据平行线的性质求出∠BEG，再根据三角形内角和求出∠2即可．本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质并灵活运用．6.【答案】B

【解析】解：这组数据中11出现的次数最多，故众数为11，故选项A不符合题意；把这组数据从小到大排列，排在中间的数分别为10和11，故中位数10+112=10.5，故选项这组数据的平均数是：110×(7+11+10+11+6+14+11+10+11+9)=10，故选项这组数据的方差为：110×[(7−10)故选：B．分别根据众数、中位数、平均数以及方差的定义解答即可．本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，掌握相关定义是解答本题的关键．7.【答案】A

【解析】解：如图，连接OC，∵∠ADC=115°，∴优弧ABC所对的圆心角为2×115°=230°，∴∠BOC=230°−180°=50°，∴∠BAC=1故选：A．连接OC，利用圆周角定理及角的和差求得∠BOC的度数，进而求得∠BAC的度数．本题考查圆周角定理，结合已知条件求得∠BOC的度数是解题的关键．8.【答案】D

【解析】解：A、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a>0，b>0，所以ab>0，则反比例y=abB、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a<0，b>0，所以ab<0，则反比例y=abC、一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a>0，b<0，所以ab<0，则反比例y=abD、一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a<0，b>0，所以ab<0，则反比例y=ab故选：D．根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．9.【答案】C

【解析】解：∵OA=OC，∠CAO=40°，∴∠CAO=∠ACO=40°，∴∠AOC=180°−∠40°−40°=100°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠ACB=140°，∴∠BOC=360°−100°−140°=120°，∴阴影部分的面积是120⋅π×4故选：C．根据∠CAO=40°，∠ACB=70°和圆周角定理，得出圆心角BOC的度数即可得出阴影部分的面积．本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键．10.【答案】C

【解析】解：∵甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，∴9x=11y；∵两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，∴(10y+x)−(8x+y)=13．根据题意可列方程组9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13故选：C．根据“甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等；两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11.【答案】C

【解析】解：由题意可知，BD是∠ABC的平分线，MN是线段BD的中垂线，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=180°−36°∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=1∴AD=BD，在△BCD中，∠C=72°，∠CBD=36°，∴∠BDC=180°−36°−72°=72°=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，∵MN是BD的中垂线，∴EB=ED，∴∠BDE=∠ABD=36°=∠CBD，∴DE//BC，∴∠AED=∠ABC，因此①正确，∴AE=AD=BD=BC，因此②正确；由于DE不是△ABC的中位线，因此③不正确；∵∠CBD=∠BAC=36°，∠BCD=∠ACB=72°，∴△BCD∽△ABC，∴AC即BC设BC=x，则CD=2−x，∴x解得x=−1−5(舍去)即BC=因此④正确，综上所述，正确的结论有①②④，共有3个，故选：C．根据角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，可得到△BCD也是含有36°角的等腰三角形，进而得出AD=BD=BC，再根据三角形内角和定理和等腰三角形的判定，进一步得出AE=AD=BD=BC，对①作出判断；在根据平行线的判定方法可得出DE//BC，对①作出判断；由AE≠BE，可得DE不是△ABC的中位线，对③作出判断，最后再根据相似三角形的判定和性质，得出△BCD∽△ABC，进而求出BC，即AD即可对④作出判断．本题考查角平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及相似三角形的判定和性质，掌握角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和是180°以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．12.【答案】A

【解析】

解：取OB中点N，连接MN，AN．在Rt△OCD中，OD=43，∴OC=4，∵M、N分别是BC、OB的中点，∴MN=1在△ABN中，AB=4，BN=3，∴AN=5，在△AMN中，AM>AN−MN；当M运动到AN上时，AM=AN−MN，∴AM≥AN−MN=5−2=3，∴线段AM的最小值是3，故选：A．由点M是BC中点，想到构造中位线，取OB中点，再利用三角形两边之差的最值模型．此题方法较多，可以用三角形两边之差的最值模型，也可用瓜豆模型．13.【答案】a>−4

【解析】解：根据题意得Δ=(−4)解得a>−4．故答案为：a>−4．根据判别式的意义得到Δ=(−4)本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当14.【答案】6.9

【解析】解：设光盘的圆心为O，由题意可知：AB，AC切⊙O于C、B，连接OC，OB，OA，如图所示：∵AC，AB分别为圆O的切线，∴AO为∠CAB的平分线，OC⊥AC，OB⊥AB，又∠CAD=60°，∴∠OAC=∠OAB=1在Rt△AOB中，∠OAB=60°，AB=4cm，∴tan∴OB=tan∴这张光盘的半径为6.9cm．故答案为：6.9．设光盘的圆心为O，连接OC，OA，OB，经过圆外一点A的两条直线AC与AB都与圆O相切，根据切线长定理得到AO为两切线的夹角，由∠CAD的度数求出∠OAB的度数为60°，同时由切线的性质得到OB与AB垂直，在直角三角形AOB中，由tan60°等于对边OB与邻边AB之比，将AB及tan60°的值代入，求出OB的长，即为圆的半径．此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．15.【答案】254【解析】解：y=−x∵a=−1<0，∴当x=−32时，y取得最大值，最大值故答案为：254将二次函数解析式变形为顶点式，利用二次函数的性质，即可解决最值问题．本题考查了二次函数的最值，牢记“当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标”是解题的关键．16.【答案】55

【解析】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，由题意得：AF=DE=2m，EF=AD，BA⊥DA，设AC=x m，∵CD=60m，∴EF=AD=AC+CD=(x+60)m，在Rt△ABC中，∠BCA=50°，∴AB=AC⋅在Rt△FBE中，∠BEF=26.6°，∴BF=EF⋅∴AB=BF+AF=[2+0.5(x+60)]m，∴1.2x=2+0.5(x+60)，解得：x=320∴AB=1.2x≈55(m)，∴该电视发射塔的高度AB为约为55m，故答案为：55．过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：AF=DE=2m，EF=AD，BA⊥DA，然后设AC=x m，则EF=AD=(x+60)m，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在Rt△FBE中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17.【答案】92【解析】解：∵△BDE与△B′DE关于DE对称，∴∠B=∠B′，又∵∠AFD=∠B′FG，∴△ADF∽△B′GF，∴AF即84∴GF=7∴CG=AC−AF−GF=16−8−7=9故答案为：92根据轴对称可得∠B=∠B′，进而得出△ADF∽△B′GF，根据相似三角形的性质可求出FG，进而求出CG．本题考查相似三角形的判定和性质以及轴对称的性质，掌握轴对称的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．18.【答案】(2023,【解析】解：如图，∵△A1A2∴OB=BA2=1∴点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为因此点A2023横坐标为2023∵2023÷3=674……1，而674是偶数，∴点A2023∴点A2023的纵坐标为即点A2023故答案为：(2023,根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…因此点A2023横坐标为2023，再根据这些正三角形的排列规律得出点A本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键．19.【答案】解：(1)原式=2(x+2)−(x−1)=2x+4−x+1=x+5=x−2(2)2x+7>3①解①得：x>−2；解②得：x<5，故不等式组的解集为：−2<x<5．

【解析】(1)直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案；(2)分别解不等式，进而得出不等式组的解集．此题主要考查了分式的混合运算以及一元一次不等式组的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．20.【答案】200

108

【解析】解：(1)本次竞赛获奖选手共有80÷144°360∘则B等级人数为200×25%=50(名)，∴C等级人数为200−(80+50+10)=60(名)，∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×60故答案为：200、108；(2)补全图形如下：(3)将三个出口分别记作A、B、C，列表如下：ABCA(A,A)(B,A)(C,A)B(A,B)(B,B)(C,B)C(A,C)(B,C)(C,C)由表知，共有9种等可能结果，其中小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的有3种结果，所以小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率为39(1)由A等级人数及其圆心角度数所占比例求出总人数，总人数乘以B等级人数求得其人数，根据各等级人数之和等于总人数求出C等级人数，最后用360°乘以C等级人数所占比例可得答案；(2)根据以上所求结果即可补全图形；(3)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．21.【答案】解：(1)∵一次函数y1=−2x+2的图象与y轴，x轴分别交于点C，点∴点C(0,2)，点D(1,0)，∵点E(0,4)，即OE=4，∴OC=CE=2，∵∠AEC=∠DOC=90°，∠ACE=∠DCO，∴△AEC≌△DCO(SAS)，∴AE=OD=1，∴点A(−1,4)，∵点A在反比例函数y2∴k=−1×4=−4，∴反比例函数的关系式为y2(2)方程组y=−2x+2y=−4x的解为x∵点A(−1,4)，∴点B(2,−2)，当y1<y2时，x的取值范围为(3)由于直线PA⊥AB，可设直线PA的关系式为y=1把点A(−1,4)代入得，4=−1解得b=9∴直线PA的关系式为y=1当y=0时，x=−9，∴点P的坐标为(−9,0)．

【解析】(1)根据一次函数的关系式可求出与x轴，y轴的交点D、点C的坐标，再利用全等三角形的判断和性质得出AE=OD=1，进而确定点A的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征确定k的值即可；(2)求出两个函数图象的交点坐标，再根据图象直观得出答案；(3)求出直线PA的关系式，再根据关系式求出其与x轴的交点坐标即可．本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握反比例函数、一次函数的图象和性质是正确解答的前提，确定点的坐标是解决问题的关键．22.【答案】解：设这个学校九年级学生有x人，根据题意得：3600x解得：x=300，经检验，x=300是所列方程的解，且符合题意．答：这个学校九年级学生有300人．

【解析】设这个学校九年级学生有x人，利用单价=总价÷速度，结合按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23.【答案】证明：(1)∵△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，∴△ADF≌△AGF，∴AD=AG，∠AGF=∠ADF=90°，∴∠AGE=∠ADC=90°，在Rt△ADC和Rt△AGE中：AD=AGAC=AE∴Rt△ADC≌Rt△AGE(HL)，∴∠ACD=∠E，在矩形ABCD中，对角线互相平分，∴OA=OB，∴∠CAB=∠ABD，又∵DC//AB，∴∠ACD=∠CAB，∴∠ABD=∠ACD，∴∠ABD=∠E，∴DB//FE，又∵DF//BE，∴四边形DBEF是平行四边形．(2)∵四边形DBEF是平行四边形，∴DF=EB，又∵DF=FG，∴FG=EB，∵DC//AE，∴∠HFG=∠E，在△FGH和△EBM中：∠FGH=∠EBM=90°FG=EB∴△FGH≌△EBM(ASA)，∴FH=ME．

【解析】(1)要证四边形DBEF是平行四边形，因为DF//BE，只要证DB//FE，进而证明∠E=∠ABD即可，需证明△ADC≌△AGE；(2)只要证明△FGH≌△EBM即可．此题以矩形为载体，考查了平行四边形的判断，三角形全等的知识，比较综合．24.【答案】(1)解：∵△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，∴∠ACB=∠BAC=45°，∠CED=∠CDE=45°，∴∠CGE=180°−∠ACB−∠CED=90°，∵CE=CD，∴EG=DG=1∵AF=DF，EF⊥AD，∴AE=DE，∴EG=1∴cos∴∠AED=60°；(2)证明：由(1)得：∠CEG=90°，∴CG⊥DE，∴∠AGD=∠EGH=∠AFH=90°，∵∠AHF=∠EHG，∴∠FAH=∠HEG，∴△EHG∽△ADG；(3)证明：如图，作AQ//BC，交EF的延长线于点Q，∴△CHE∽△AHQ，∴QHEH=AHHC∴EQ设∠GEH=∠FAH=α，由(1)知：AC是DE的垂直平分线，∴AE=AD，∴∠EAG=∠FAH=α，∴∠AEB=∠ACB+∠EAG=45°+α，∵