学习-函数的单调性资料讲解

§1.3函数的单调性蒸蒸日上每况愈下波澜起伏yxoyxoABCyxo连线题:观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随x的增大，y的值有什么变化？1、在区间____上，f(x)的值随着x的增大而______．2、在区间_____上，f(x)的值随着x的增大而_____．

f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大减小画出下列函数的图象，观察其变化规律：

x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…y246810O-2x84121620246210141822D图象在区间D逐渐上升OxDy区间D内随着x增大，y也增大x2x1f(x2)f(x1)NMxDy对区间D内x1，x2

，当x2<x1时，有f(x2)<f(x1)图象在区间D逐渐上升OxDy区间D内随着x增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)OMN任意的区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升D设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，<区间D称为f(x)的单调增区间.那么就说f(x)在区间D上是单调增函数，定义那么就说f(x)在区间D上是减函数，D称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数,写出单调减函数的定义.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，那么就说f(x)在区间D上是增

函数,D称为f(x)的单调增区间.当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<>

1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；注意：2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)

分别是增函数和减函数.（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（1）在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：判断:1)函数f(x)=x2在是单调增函数；xyo注意：（3）x1,x2取值的任意性（1）在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;yxO12f(1)f(2)判断：2)定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在[1,2]上是增函数；例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]

其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数， 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。例2、下图为函数,的图像，指出它的单调区间。123-2-3-2-11234567xo-4-1y-1.5[-1.5，3]，[5，6]解：单调增区间为[-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]单调减区间为例3、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是

所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号变形作差结论练一练试用定义法证明函数在区间上是单调增函数。例4.试判断函数f(x)=x2+２x在（－１，＋∞）上是增函数还是增函数？并给予证明。设x1，x2为区间（－1,+∞

）上的任意两个值，且x1<x2，解：函数y=x2+２x在（－1,+∞

）上是增函数证明：则f(x1)–f(x2)=(x12+２

x1

)–(x22+２x2

)=(x12–x22)+２(x1–x2)=(x1–x2)(x1+x2)+２(x1–x2)=(x1–x2)(x1+x2+２)∵

x1<x2

，∴x1–

x2<0，又∵

x1〉－1,x2〉－1，

∴x1+x2+２〉0,∴f(x1)–f(x2)<

0,即f(x1)<

f(x2)所以函数y=x2+２

x在（－1,+∞

）上是增函数定号判断取值作差变形判断函数单调性的方法：1、图象法2、定义法证明函数的单调性常用步骤：(１)取值(２)作差(４)定号(５)判断(３)变形证明函数单调性的方法判断函数单调性的方法步骤

1任取x1，x2∈D，且x1<x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：思考？思考：画出反比例函数f(x)=1/x的图象．

1这个函数的定义域是什么？ 2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

证明：函数f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2)因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。取值定号变形作差判断填表,.指出下列函数的单调区间练一练yoxyox在是增函数在是减函数在是增函数在是减函数在(-∞,+∞)是减函数