福州十八中郑莹教材课程

梯形问题常用辅助线添法福州十八中郑莹ABCDABCD平移腰平移腰可将梯形的两腰、两底角放置在一个三角形.EEFGABCDEO平移对角线1、当AC⊥BD时，ΔBED是什么三角形？2、当AC=BD时，ΔBED又是什么三角形？3、哪个命题的证明应用了此法？对角线相等的梯形是等腰梯形4、ΔBED与梯形ABCD的面积关系如何?ΔBED是直角三角形ΔBED是等腰三角形相等作高ABCDEF旋转上底ABCDOE梯形ABCD面积与哪个图形面积相等?△ABEF若F为AB中点，OF与AD、CB之间有什么关系？OF∥AD∥BC,2OF=AD+CB解决梯形问题的常用辅助线方法：1.平移腰3.做高4.延长两腰2.平移对角线5.旋转上底添加辅助线的目的：将梯形分割成平行四边形和三角形，从而利用平行四边形和三角形的性质，求解梯形问题。例题：1、如图,梯形ABCD中,AB∥CD，∠D=70°

，∠C=40°

AB=4cm,CD=11cm,求BC.ABCD解：（平移腰）过B作BE∥AD交DC于E则∠1=∠D=70°,∵AB∥DE,AD∥EB∴四边形ABED为平行四边形∴

DE=AB=4∵△BCE中，∠C=40°∠1=70°∴∠2=∠1=70°∴CB=CE=CD─DE=11—4=7(cm)）12E440°70°711分析:∠D=70°,∠C=40°在一个三角形中结果会如何?如何才能在一个三角形中?4解法2：（延长两腰）ABCDO70°40°41170°7延长DA与CB交于O∵AB∥CD∴

∠OAB=∠D=70°∵∠C=40°，∠D=70°∴

∠O=70°∴∠OAB=∠O=∠D=70°∴

OB=AB=4，OC=CD=11∴

BC=7411EABCD例2：已知，直角梯形ABCD中，∠B=∠A=90°，AD∥BC，E是腰AB的中点，AD=1,AB=BC=4，CD=AD+BC.求证：DE⊥CE。分析:利用勾股定理证明：（一）在Rt△ADE中，∠A=90°,AD=1,AE=2在Rt△BCE中，∠B=90°,AD=2,BC=4∵CD=5,∴在△DCE中，∴△DCE为直角三角形∴DE⊥CE例2：已知，直角梯:形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，AD=1,AB=BC=4，CD=AD+BC.求证：DE⊥CE。F证明：（二）延长DE交CB延长线于F∴

ΔADE≌ΔBFE∴DE=FE，AD=BF∴

DE⊥CE∴CD=AD+BC=BF+BC=CF∵AD∥CF∴∠A=∠ABF,∠ADE=∠F∵AE=BE,分析:1、AD+BC怎样用一条线段表示?2、AD+BC跟哪条线段有关？EABCD练习：一、填空1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD且AC=8cm，BD=15cm，则梯形的高=cm.ABCDEF先用勾股定理求出BE，再用面积法求高DF。答案：120/17（cm)2、梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=54

°，∠C=36°，AD=10AB=12，CD=16则BC=。ABCDE)1161012平移腰后，在RtΔBDE中计算出CE=20，则BC=CE+BE=30（cm）201581754º36º3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD<CB，E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC,试说明∠B=∠CABCDEFMN分析：要证∠B=∠C，可把它们移到同一个三角形中，利用等腰三角形的有关性质解决这个问题证明：过E作EM∥AB，EN∥CD，分别交BC于M、N,得到平行四边形ABME和平行四边形NCDE。∴AE=MB,AB=EM,AB∥EM，ED=CN，CD=NE，CD∥EN∵∠1=∠B，∠2=∠C∵AE=ED，∴BM=CN又∵BF=CF，∴FM=FN又∵EF⊥BC，∴EM＝EN，∴∠1=∠2∴∠C=∠B4.已知梯形ABCD，AD=4,CB=9,点E、F分别为对角线AC、BD中点，连接EF，求EF.ABCDFEG分析：利用两个中点，考虑能否利用三角形中位线定理解：连接AF,延长AF交BC于点G∵AD∥BC∴∠ADB=∠CBD,∴∠AGB=∠GAD∵DF=FB∴ΔADF≌ΔGBF∴AF=FG,AD=GB=4又∵AE=EC所以EF=