2-4-1-圆的标准方程(导学案)(原卷版)

班级：姓名：日期：2.4.1圆的标准方程导学案地位：本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章直线和圆的方程2.4圆的方程学习目标：1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征，培养数学抽象的核心素养.2.能根据所给条件求圆的标准方程，培养数学运算的核心素养.3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题，提升逻辑推理的核心素养.学习重难点：重点：会用定义推导圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系难点：根据所给条件求圆的标准方程自主预习：本节所处教材的第页.复习——圆的定义：3.预习——圆的标准方程：点与圆的位置关系：新课导学学习探究（一）新知导入《古朗月行》唐李白小时不识月，呼作白玉盘。又疑瑶台镜，飞在青云端。月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?（二）圆的标准方程知识点1圆的标准方程【思考1】圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？【思考2】已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？◆(1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．用集合表示为P＝{M||MA|＝r}．(2)圆的标准方程：①圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.②圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.【做一做1】(教材P85练习1改编)以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝eq\r(2)【做一做2】圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是()A．(2,1) B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)知识点2点与圆的位置关系【思考3】1．点A(1,1)，B(3,0)，C(eq\r(2)，eq\r(2))与圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|与圆的半径r＝2什么关系？2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系如何判断？◆点与圆的位置关系圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为A(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PA|.位置关系几何法图示代数法点在圆外d＞r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点在圆上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内d＜r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2【做一做1】点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是()A．在圆上 B．在圆外C．在圆内 D．以上都不对【做一做2】(教材P83例1改编)已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P，Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．（三）典型例题1.求圆的标准方程例1.求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(3,4)且经过坐标原点；(2)经过A(3,1)，B(－1,3)且圆心在直线3x－y－2＝0上．【类题通法】圆的标准方程的两种求法(1)几何法：它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解——解方程组,求出a,b,r;④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.【巩固练习1】△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8).求它的外接圆的方程．2.点与圆的位置关系的应用例2.已知A(－1,4)，B(5，－4)．求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5,1)，D(6，－3)，E(－5,1)与圆的位置关系．【变式探究】在本例的条件下，若点A(a，a－1)在此圆的外部，则实数a的取值范围是_________．【类题通法】点与圆的位置关系及其应用点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.【巩固练习2】若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．－1<a<1 B．0<a<1C．a<－1或a>1 D．a＝±13.最值问题例3.（1）已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求eq\r(x＋12＋y＋12)的最大值与最小值.（2）若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．【类题通法】与圆有关的最值问题的求解策略(1)本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．(2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．【巩固练习3】已知实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝25，那么eq\r(x2＋y2)的最小值为()A．5B．8C．13D．18（四）操作演练素养提升1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别为()A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3C．(－2,3)，eq\r(2) D．(2，－3)，eq\r(2)2.已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A．在圆心 B．在圆上C．在圆内 D．在圆外3.过两点P(2,2)，Q(4,2)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－3)2＝2B．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2C．(x－3)2＋(y－3)2＝eq\r(2)D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝eq\r(2)4.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，此圆的标准方程为()A．(x－3)2＋y2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4课堂小结通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？学习评价【自我评价】你完成本节导学案的情况为（）A.很好B.较好C.一般D.较差【导学案评价】本节导学案难度如何（）A.很好B.较好C.一般D.较差