第10讲-第七章-立体几何与空间向量(综合测试)(原卷版)

第七章立体几何与空间向量（综合测试）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023春·全国·高一专题练习）如图，是的直观图，其中，，那么是一个（

）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定2．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（

）

A． B．C． D．3．（2023春·福建南平·高一校考期末）如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（

）

A． B． C． D．4．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，设分别为线段的中点，将四边形沿着直线进行翻折，使得点不在平面上，在这一过程中，下列关系不能成立的是（

）

A．直线直线 B．直线直线C．直线直线 D．直线平面5．（2023春·福建龙岩·高一校联考期中）西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（

）

A． B． C． D．6．（2023春·江苏南通·高二校考期末）如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（

）A．存在平面与直线垂直B．四边形可能是正方形C．不存在平面与直线平行D．任意平面与平面垂直7．（2023春·上海杨浦·高二统考期末）小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（

）

A．80厘米 B．100厘米 C．120厘米 D．140厘米8．（2023·全国·高三对口高考）如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为（

）

A． B． C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）设为直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，，为棱的中点，则（

）

A．与平面所成的角的余弦值为B．C．平面D．三棱锥的体积为11．（2023春·浙江宁波·高一统考期末）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点M为侧棱上的动点（包括端点），平面．下列说法正确的有（

）A．异面直线AM与可能垂直B．直线BC与平面可能垂直C．AB与平面所成角的正弦值的范围为D．若且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为12．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期中）已知直三棱柱中，ABBC，，D是AC的中点，O为的中点.点P是上的动点，则下列说法正确的是（

）

A．点P在上运动，直线与AB所成的最大角为45°B．当点P运动到中点时，直线与平面所成的角的正弦值为C．无论点P在上怎么运动,都有D．当点P运动到中点时，才有与相交于一点，记为Q，且三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知在标准正交基下，向量，，，则向量在上的投影为_________.14．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a，4a，．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是________．

15．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠，如图（1）所示．现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为O，，，，，，为圆O上的点，如图（2）所示．，，，，，分别是以AB，BC，CD，DE，EF，FA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DE，EF，FA为折痕折起，，，，，，使，，，，，重合，得到六棱锥，则六棱锥的体积最大时，正六边形ABCDEF的边长为_______cm．16．（2023·山东威海·统考二模）在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，．当直线平面时，P的轨迹被以为球心，R为半径的球面截得的长度为2，则R＝______；当时，经过A，，P的平面与棱交于点Q，则直线PQ与平面所成角的正切值的取值范围为______．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·云南红河·高一蒙自一中校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.

(1)证明：；(2)证明：平面.18．（2023春·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为上一点.

(1)若点为中点，求证：平面；(2)若，平面平面，求证：平面平面.19．（2023春·浙江宁波·高二统考期末）如图，正四棱锥的高为，体积为.

(1)求正四棱锥的表面积；(2)若点为线段的中点，求直线AE与平面所成角的正切值；(3)求二面角的余弦值.20．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；(2)若，求锐二面角的大小.21．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）如图，在四棱锥中，，，，.

(1)证明：平面平面；(2)已知，，.若平面与平面夹角