湖南省岳阳市2024届高三下学期教学质量监测（三）（三模）数学试题

湖南省岳阳市2024届高三下学期教学质量监测（三）（三模）数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={−2,−1,A．{−1,0C．{1,22．若虚数单位i是关于x的方程ax3+bA．2 B．2 C．5 D．53．直线2x−3y+1=0的一个方向向量是（）A．(3,2) B．(2,4．下列命题正确的是（）A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线a不平行于平面α且a⊂α，则平面α内不存在与C．已知直线a，b，平面α,β，且a⊂α,b⊂β,D．已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与α相交5．已知y=f(x+1)A．−12 B．−10 C．−6 D．−56．把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（）A．96种 B．60种 C．48种 D．36种7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值508．已知函数f(x)A．(−1,0C．(−1,0二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（）A．C7nB．CC．(x−1)D．(1+x)3+10．已知函数f(A．ω=2B．f(xC．f(x)的图象可由函数y=2D．满足条件(f(x)11．如图，四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面且面积为2，四边形OO1DA绕OA．圆柱OO1B．当0<θ<π时，DC．当0<θ<π时，四面体CDD1D．当BD1三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知双曲线C过点(1,6)，且渐近线方程为y=±2x，则13．已知角α,β的终边关于直线y=x对称，且sin(α−β)=32，则α14．如图所示，直角三角形ABC所在平面垂直于平面α，一条直角边AC在平面α内，另一条直角边BC长为33且∠BAC=π6，若平面α上存在点P，使得△ABP的面积为33，则线段四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知等差数列{an}满足：a1=2，且a（1）求数列{a（2）若等差数列{an}的公差不为零且数列{bn}满足：bn16．某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示．附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则：（1）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中（2）复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为34，后两题每题能答对的概率均为317．已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，∠DAB=60°，PA=PC，PB=PD=210，M是线段PC上的点，且PC（1）证明：PC⊥平面BDM；（2）点E在直线DM上，求BE与平面ABCD所成角的最大值．18．已知动圆P过定点F(0,1)且与直线y=3（1）已知A、B两点的坐标分别为(−2,1)、(2,1)，直线AP、（2）若点M(x1,y1)、N(x2,y2)是轨迹E上的两个动点且x1x2=−4，设线段MN的中点为Q，圆19．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=2b，点D在边BC上，AD是∠BAC的角平分线，设AD=kAC（其中k为正实数）．（1）求实数k的取值范围；（2）设函数f①当k=233②设x0是f(x

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：原不等式x−3x+1≤0，转化为(x−3)(x+1)≤0x+1≠0，解得-1<x≤3，

则集合B={x|−1<x≤3}，因为集合A=故答案为：B.【分析】先解不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：因为i是方程ax3+bx2+2x+1=0(a,b∈R)的一个根，所以a故答案为：C.【分析】由题意，结合复数相等的充要条件列式求得a,3．【答案】A【解析】【解答】解：易知直线2x−3y+1=0的斜率为23，

则直线2x−3y+1=0的一个方向向量为aA、因为3×23−1×2=0，所以向量(B、因为2×23−1×3≠0，即向量(2C、因为3×23−1×(−2)≠0，即向量(3D、因为2×23−1×(−3)≠0，即向量(2故答案为：A.【分析】先求直线的斜率即可得该直线的一个方向向量a，再根据向量共线求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：A、若直线l上有无数个点不在平面α内，则l与α相交或平行，故A错误；B、若直线a不平行于平面α且a⊄α，则a与α相交，所以平面α内不存在与a平行的直线，故B正确；C、已知直线a,b，平面α,β，且D、两条相交直线a,b，且a//平面α，则b//平面α或b与故答案为：B.【分析】根据空间直线与直线、直线与平面的位置关系判断即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：因为函数y=f(所以函数y=f(x)的图象关于点(1,即f(故答案为：D.【分析】由题意，得函数y=f(x)6．【答案】D【解析】【解答】解：设这五个人分别为甲乙丙丁戊；因为乙丙安排在相邻的两天，将乙丙捆绑看成一个整体，再考虑2人之间的顺序，有A2将这个整体与丁戊全排列，有A3排好后产生4个空位，因甲乙不相邻，则只能从3个空中任选1个安排甲，有A3由分步乘法计数原理可知：不同的方案共有2×6×3=36种.故答案为：D.【分析】根据分步乘法计数原理，结合捆绑法和插空法求解即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：由S20=100，可得S20因为a2≥a1>0，所以等差数列{则a10a11即当a10=a故答案为：B.【分析】由S20=100，利用等差数列的求和公式集合等差数列的性质推出8．【答案】C【解析】【解答】解：当a<0时，若x<a，则f(x)=e因为函数f(x)=ex+a在(−∞若x≥a，则f(x)=x2+2ax=因为f(x)不存在最小值，所以−a2>a当a≥0时，若x<a，则f(x)=e因为函数f(x)=ex+a在(−∞若x≥a，则f(x)=x2+2ax=因为f(x)不存在最小值，所以3a2>a综上所述：实数a的取值范围是(−1故答案为：C.【分析】分a<0,a≥0结合指数函数单调性及二次函数性质，确定函数f(x)的取值规律，由函数不存在最小值列不等式求9．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、因为C7n=C7B、Cnm=n!C、(x−1)10展开式的第6项为TD、(1+x)3的展开式中x2的系数为C32，(1+x)4的展开式中x2的系数为C42，(1+x)5故答案为：BD.【分析】根据组合数的性质即可判断A；利用组合数的性质证明结论即可判断B；根据二项式展开式的通项公式求第6项，确定其系数即可判断C；结合二项式展开式的通项公式及组合数性质求展开式中x210．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、由图可得：34T=13π12−π3B、因为x=1312π时，函数f(x所以φ=−π6，故f(可得kπ+π12≤2x−π6C、函数y=2cos2x的图象向右平移π6D、因为f(x)f(4π3)=2cos(8π3−π6)=2由f(x)>1可得，cos(2x−π6即nπ−π取n=0可得−π12<x<π4由f(x)<0可得，cos(2x−π6即tπ+π3<x<tπ+5π6所以满足条件(f(x)故答案为：ABD.【分析】由函数的图象确定函数f(x)的周期，利用周期公式求ω即可判断A；结合x=1312π时，函数取最大值，列方程求φ，根据正弦函数的单调性求f(11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、设圆柱OO1的底面半径为r，母线长为四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，则因为四边形ABCD的面积为2，所以2rl=2，即rl=1，所以圆柱OO1的侧面积B、因为DC为圆O1的直径，所以DD1又A1D1⊥平面CDD所以DD1⊥A1D1所以DD1⊥平面A1C所以DDC、因为A1设四面体CDD1A1的外接球的半径为因为∠DO1D1=θ所以D1C=2rsin所以4R2=4所以四面体CDD1AD、因为OA1=OB=r，∠A1所以A1所以BD1=所以4r2cos2所以cosθ≤−12又因为0≤θ≤π，所以2π3故答案为：ABD.【分析】设圆柱OO1的底面半径为r，母线长为l，由已知可得rl=1，结合圆柱的侧面积公式即可判断A；由条件，根据线面垂直判定定理证明DD1⊥平面A1CD1，由此证明DD112．【答案】5【解析】【解答】解：当双曲线的焦点在x轴上时：

双曲线的方程为x2a2当双曲线的焦点在y轴上时：

设双曲线的方程为y2a2−x2b故答案为：52【分析】分焦点在x轴或y轴上两种情况，设双曲线方程，由题意列方程组结合离心率公式求解即可.13．【答案】5π12；【解析】【解答】解：因为角α,β的终边关于直线y=x对称，所以α+β=2kπ+π又因为sin(α−β)=32，所以α−β=2mπ+所以α=(k+m)π+5π12，β=(k−m)π+π12或α=(k+m)π+7π取k=0,m=0可得故α,β的一组取值可以是故答案为：5π12；π12.【分析】由题意可得α+β，再由sin(α−β)=14．【答案】6【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=33,因为平面ABC⊥α，平面ABC∩α=AC,AC⊥BC,所以BC⊥平面ABC，连接CP，如图所示：

因为CP⊂α，所以BC⊥CP，得CP=BP2−BC2则S△ABP=12AB⋅BP当sinθ=1即θ=π2即AB⊥BP此时CP取到最小值BP故答案为：63【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得BC⊥平面ABC，利用线面垂直的性质可得BC⊥CP，进而CP=BP215．【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a2、a4成等比数列，所以(2+d)2=2(当d=2时，an所以数列{an}的通项公式为a（2）解：因为等差数列{an}的公差不为零，由（1）知a所以bn所以Tn=[1+12(【解析】【分析】（1）设等差数列{an}（2）求出数列{bn}16．【答案】（1）解：由题意得，样本平均数的估计值为(40×0因为学生初试成绩X服从正态分布N(μ,σ2)，其中所以P(所以估计初试成绩不低于85分的人数为0.（2）解：记该考生的复试成绩为Y，则能进入面试的复试成绩为20分，25分，30分，P(P(P(所以该考生进入面试的概率为P(【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图平均数估算公式求出样本平均数，再根据正态分布的性质求概率，即可求解；（2）根据题意确定Y的取值，并求出对应的概率，利用互斥事件加法概率公式求解即可.17．【答案】（1）解：连接AC，BD交于点O，连接PO，由PA=PC，PB=PD=210，可得PO⊥AC又因为AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD，又因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

∠DAB=60°，边长为4，则OD=OB=2，OA=OC=23，在直角三角形BOP中，PB=210，所以OP=6则O(0,0,所以PC=所以PC⋅PC⋅所以PC⊥所以PC⊥DM,PC⊥BM又所以PC⊥平面BDM.（2）解：设DE=λ则E(2λ−2,33平面ABCD的一个法向量是n=(0,0,1)，设BE与平面当λ=0时，BE⊂平面ABCD，θ=0；当λ≠0时，sinθ=又θ∈[0,π2]所以θ≤π6，故【解析】【分析】（1）连结AC，BD交于点O，由题意推出PO⊥AC,PO⊥BD，建立空间直角坐标系，利用向量方法证明（2）根据线面角的向量求法求出BE与平面ABCD所成角的正弦值，再求其最大值，由此可求线面角的最大值即可.18．【答案】（1）解：设点P(x,y)，依题有(x−0)2+(y−1k1=y−1x+2,k2（2）解：已知如图所示：

显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+b，由x2=−4y+8y=kx+b消y在判别式大于零时，x1x2=4b−8，又所以x2+4kx−4=0，x1所以线段MN的中点坐标为Q(−2k,设Q(x,y)，则x=−2k所以Q的轨迹方程是x2圆P过定点F(0,由x2+(设C、D、G的横坐标分别为c，d，g，因为C、D、G异于F，所以c，d，g都不为零，故x3+(4−2b)x+4a=0的根为令(x−c即有x3−(故△CDG的重心的横坐标为定值．【解析】【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆心的轨迹方程，再由斜率的定义表示出斜率，最后利用轨迹方程化简斜率之差证明即可；（2）先设直线MN的方程为y=kx+b，联立直线与曲线方程，消元整理利用韦达定理表示出线段MN中点坐标Q(−2k,−2k2+1)进而得到Q的轨迹方程是x2=−2y+2，再与动圆P的方程联立，得到C、D