2024-2025学年上海市徐汇区高三上册10月月考数学学情诊断试题（含解析）

2024-2025学年上海市徐汇区高三上学期10月月考数学学情诊断试题一、填空题（本大题共12小题）1．若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为2．不等式的解集为．3．将化为的形式4．棱长为的正方体的内切球表面积为．5．若函数，，若的最小值为2，则6．函数在处的切线倾斜角是.7．若的展开式中常数项为.8．若数列是各项为正数的等差数列，且，则的最小值为9．把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有个10．已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点.且在上的投影为，则双曲线的离心率为11．平面点集所构成区域的面积为12．已知函数，若对任意实数，方程有解，方程也有解，则的取值集合为二、单选题（本大题共4小题）13．若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．14．函数，正确的命题是（

）A．定义域为 B．值域为C．在定义域上是严格增函数 D．有两个不同的零点15．下列四个命题中，真命题的个数为（

）①若事件A和相互独立，则；②若将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则其平均数和方差都会发生变化；③“”是“和的夹角为锐角”的必要非充分条件；④函数满足，则该函数为奇函数或偶函数；A．0 B．1 C．2 D．316．若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记.下列命题中正确的是（

）A．已知，且，则B．已知，若，则对任意，都有C．已知，，则存在实数，使得D．已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得三、解答题（本大题共5小题）17．已知集合，(1)求；(2)若不等式在集合上恒成立，求的取值范围.18．在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一动点.(1)求证：平面平面；(2)当为中点时，求点到平面的距离.19．设函数，且.(1)求的值；(2)判断函数的奇偶性和单调性（不用说明理由），并据此求解关于的不等式20．已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点.(1)求当面积最大时直线的斜率；(2)若直线与交于点，直线与交于点①求直线的方程；②记、的面积分别为、，求的最大值.21．已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)①当时，恒成立，求正整数的最大值；②证明：

答案1．【正确答案】【详解】根据题意可知的实部和虚部分别为，所以.故2．【正确答案】【详解】不等式等价于，即，解得或，所以不等式的解集为.故答案为.3．【正确答案】【详解】由题意可得.故答案为.4．【正确答案】【详解】根据正方体的性质可知棱长为2的正方体的内切球的半径为，所以其表面积.故答案为.5．【正确答案】2【详解】根据题意，函数，根据二次函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减，则的最小值为.故26．【正确答案】【分析】利用导数的几何意义求出函数在处的切线斜率，即可计算作答.【详解】依题意，，则函数在处的切线斜率，所以所求切线倾斜角为.故7．【正确答案】28【详解】的展开式的通项为，令，解得，则展开式的常数项为.故28.8．【正确答案】/【详解】由等差数列性质知，，且，所以，当且仅当，即，时等号成立.故9．【正确答案】14【详解】该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当1前面只有一个数时，有种情况；当1前面只有2个数时，有种情况；当1前面只有3个数时，有种情况.综上，这样的数列共有个.故1410．【正确答案】【详解】解：如图所示：在上的投影向量为，，又，，又在双曲线上，，则，即，整理得：，即，解得：或（舍去），.故答案为.11．【正确答案】【详解】由题设表示圆心为，其在圆心为原点，半径为1的圆上，显然轨迹是圆心在单位圆上，且半径为4的圆，故点集与原点距离最远恒为5，最近恒为3，所以的轨迹为圆心为，外径为5，内径为3的圆环，所以，平面点集所构成区域的面积为.故12．【正确答案】【详解】因为，所以，，，由三角不等式，得恒成立，所以，即，当或时，等号成立，此时，所以要对任意实数都成立，需满足.同理恒成立，所以，即，当时，等号成立，此时，所以要对任意实数都成立，需满足.综上所述，，即的取值集合为.13．【正确答案】D【详解】若，，则，，则A、B错误；若，，则，则C错误；，，又，，则D正确.故选：D.14．【正确答案】C【详解】对于A：因为，定义域，所以fx定义域，故A错误；对于B：设，则，故B错误；对于C：因为，所以fx在定义域上是严格增函数，故C正确；对于D：设，则，又因为，且fx在定义域上是严格增函数，所以fx只有一个零点，故D错误.故选：C.15．【正确答案】B【详解】对于①：若事件A和相互独立，则，所以，故①错误；对于②：设原数据的平均数为，方差为，将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则新数据的平均数为，方差为，即方差不会发生改变，故②错误；对于③：若，等价于和的夹角为锐角或为零角，所以“”是“和的夹角为锐角”的必要非充分条件，故③正确；对于④：例如，满足，但为非奇非偶函数，故④错误；综上所述：真命题的个数为1.故选：B.16．【正确答案】D【详解】A选项，由，可得，，因为，所以，，故A错误；B选项，由知，且，则且，但是不一定成立，例如：，，故B错误；C选项，由，，当，即时，；当时，可得；当时，可得；当时，可得，所以不存在实数，使得，故C错误；D选项，由，，取，可得，对任意实数，总存在使之成立，故D正确.故选：D.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以，.（2）由题意，时，不等式恒成立，由可得，解得或，所以时，不等式恒成立，需满足或，即或.故的取值范围为.18．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）证明：因为是正方形，所以，又因为平面，平面，所以，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）解：以为原点，建立如图所示的空间坐标系：因为，为中点，所以，所以，设平面的法向量为，则，取，则，设点到平面的距离为，则.19．【正确答案】(1)2；(2)偶函数，在上单调递减，在上单调递增，解集为.【详解】（1）由题知，，因为，所以，解得.（2）由（1）知，，定义域为R，又，所以为偶函数.，且，则，因为，所以，所以，即，所以在上单调递减，又因为为偶函数，所以在上单调递增，因为，所以，所以，因为为偶函数，且在上单调递减，所以，即，解得，又，所以不等式解集为.20．【正确答案】(1)；(2)①；②.【详解】（1）由题意，，所以为椭圆的上下顶点时，面积最大，若为上顶点，此时，若为下顶点，此时，综上，面积最大时直线的斜率为.（2）如下图所示：①设，由题意直线斜率一定存在，即，所以，有直线，又，且相互垂直，则，所以，故直线，综上，，结合，可得，所以直线交点横坐标为，同理得，即直线交点横坐标为，综上，直线为；②设直线，与椭圆联立并整理得，易得，同理可得，又，同理可得，所以，当且仅当时取等号，所以最大值为.21．【正确答案】(1)极小值为，没有极大值；(2)①正整数的最大值为，②证明见解析.【详解】（1）函数的定义域为，导函数，，令，又，所以，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取极小值，极小值为，所以函数的极小值为，没有极大值；（2）①因为当时，恒成立