2024-2025学年上海市黄浦区高二上册10月期中数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年上海市黄浦区高二上学期10月期中数学检测试卷一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）1.“直线和平交于点”的符号表达为_____．【正确答案】【分析】根据点线面的位置关系用符合表达即可.【详解】“直线和平交于点”的符号表达为．故．2.已知空间两个角和，若，，则__________．【正确答案】或【分析】根据题意结合空间中等角定理分析求解即可.【详解】因为，，当和开口方向相同时，；当和开口方向相反时，；综上所述：或.故或.3.一个水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积为______.【正确答案】##【分析】作出直观图，根据面积公式可得答案.【详解】如图，建立坐标系，根据斜二测画法作出直观图，根据斜二测画法的特征可知，，所以直观图面积为.故4.将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________.【正确答案】【分析】判断几何体为圆柱，根据圆柱体积公式可得结果.【详解】由题意知，形成的几何体为圆柱，且底面圆的半径，圆柱的高，所以底面圆面积，所以圆柱的体积，故答案为.5.已知球的表面积为,则该球的体积为______.【正确答案】【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积．【详解】设球半径为，∵球表面积为，∴，∴，∴该球的体积为．故答案为．解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．6.已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________.【正确答案】【分析】通过圆锥侧面展开图是半圆，求出底面母线，再用侧面积公式计算即可.【详解】圆锥侧面展开图是半圆，底面半径为1，圆锥底面周长是，则母线长为.则圆锥侧面积为.故答案为.7.如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有___________条.【正确答案】3【分析】利用异面直线的判定定理判断即可.【详解】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面，由图可知九条棱中，，，，，与相交，没有直线与平行，所以与直线是异面直线的共有3条，分别为，，，故38.已知平面外两点A，B到平面的距离分别是2和4，则的中点P到平面的距离是_________.【正确答案】3或1【分析】根据点到平面距离的意义，分A，B在同侧和A，B在异侧两种情况求解即可.【详解】设点A、B在平面的投影分别为点，，依题意，，，若A，B在同侧，如图1，设点P在平面的投影为点，则P到的距离为；若A，B在异侧，如图2，设点P在平面的投影为点O，过A作，交的延长线于点C，延长交于点，则P到的距离为，所以的中点P到平面的距离为3或1.故3或1.9.圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为________.【正确答案】【分析】把圆柱侧面展开后得一矩形，矩形对角线长为所求最短距离．【详解】沿这条母线展开圆柱侧面是一矩形，矩形的长是圆柱的底面周长为，矩形的宽为圆柱的母线长5，矩形的对角线长为，即为所求最短距离．故10.三棱锥的4个面无限延展后把空间分成________个部分.【正确答案】15【分析】根据三棱锥的几何特征分析即可求解.【详解】三个侧面平面两两相交，可以将空间分成8个部分，再增加一个底面，其中有1个封闭的空间，另外还有6个部分，所以三棱锥的4个面无限延展后把空间分成个部分.故15.11.如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为_____．【正确答案】##1.125【分析】先作出经过三点的截面，如图所示为梯形，然后求出截面的面积即可【详解】解：如图所示，取的中点P，连接、AQ和，∵分别是，的中点，∴，且，∵，∴，所以四边形是过三点的截面，且四边形是梯形，∵AB＝1，∴，，，且等腰梯形的高为，∴截面面积为，故12.在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间体积是_________cm3.【正确答案】【分析】小球不能到达的位置为正方体的8个顶点附近和12条棱附近的部分组成.【详解】顶点部分不能到达部分为棱长为1的正方体减去半径为1的球体的，如下图，所以8个顶点部分体积为，棱部分不能到达部分为底面是边长为1，高为4的长方体减去底面半径为1，高为4的圆柱体的，如下图，12条棱部分不能到达的体积是，所以不能到达的体积为.故二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）13.设、是平面外的两条直线，且，那么是的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【正确答案】A【分析】根据线面平行的判定及充分条件、必要条件判断.【详解】证明充分性：若，结合，且b在平面M外，可得，是充分条件；证明必要性：若，结合，且a，b是平面M外，则a，b可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．故是的“充分非必要”故选：A．14.已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列说法错误的是A.若，，，则a∥b B.若，，，则C.若，，，则 D.若，a∥b，则或【正确答案】C【详解】若，，则;若，则，，；若，，则而，则或；若，，则由线面平行判定定理得或；因此选C.15.如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（）A.2 B.4 C.6 D.8【正确答案】A【分析】作出与垂直的平面后判断几何关系【详解】作出平面，使得平面，当时，平面或平面，结合旋转分析可知有两次使得．故选：A16.如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（）A.直线与直线CP可能相交 B.直线与直线CP始终异面C.直线与直线CP可能垂直 D.直线与直线BP不可能垂直【正确答案】B【分析】证明平面，从而可证四点不共面，即可判断AB；设，将分别用表示，假设直线与直线CP垂直，则，求出即可判断C；证明平面，即可判断D.【详解】在正三棱柱中，因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以，又平面，平面，所以平面，因为平面，，，所以四点不共面，所以直线与直线CP始终异面，故A错误，B正确；对于C，设，则，，若直线与直线CP垂直，则，即，所以，即，解得，因为，所以不存在点使得直线与直线CP垂直，故C错误；对于D，连接，因为为的中点，所以，又因平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D错误.故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分42分）17.用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明.【正确答案】答案见解析【分析】先根据线面平行的判定定理写出已知、求证，利用反证法证明即可.【详解】平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行；已知，求证；证明如下：假设，由于，则，则在平面内过点作一条直线，使得，由于，则，这与矛盾，故假设不成立，故18.已知三棱锥满足.（1）证明：直线与直线是异面直线；（2）求异面直线与所成角大小.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断；（2）根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得.【小问1详解】因为直线平面，点平面，点，点平面,所以直线与直线是异面直线.【小问2详解】如图：取的中点，的中点，的中点，连接，，，所以，，所以异面直线与所成角为（或其补角），因为，所以，，在中，，，，所以有，由余弦定理得，所以异面直线与所成角大小为.19.如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离．【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线与平面的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解；（2）利用等体积转化法即可求解.【小问1详解】由题意知，直线与平面的夹角，即为，易知，，又，故，进而有，，由圆柱的表面积为，可得，故，故直线与平面的夹角为．【小问2详解】设点A到平面的距离为h，则，，，因为平面ABP，，所以BP⊥平面，即，在中，，故，所以，即点A到平面的距离为．20.如图，几何体中，为边长为2的正方形，为直角梯形，，，，，.（1）求证：平面；（2）求几何体的体积.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用线面垂直知识可求解.（2）利用割补转化法可得，从而求出体积.【小问1详解】由题意得：，，，CD、都在平面内，所以：平面，因为：平面，所以：，又因为四边形为正方形，所以：，因为：，且、AD都在平面内，所以：平面，因：平面，所以：，又因为四边形为直角梯形，，，，，所以：，，则：，所以：,又因为：，且、都在平面内，所以：平面.【小问2详解】连接，过作CD的垂线，垂足为，由（1）可得：平面，且，所以：，所以：几何体的体积为.21.如图，在四面体ABCD中，平面，点M为AD上一点，且，连接BM，CM.（1）；（2）求二面角的大小.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由平面，得，而，则由线面垂直的判定定理可证得平面，再利用线面垂直的性质可证