2024-2025学年陕西省渭南市富平县高三上册摸底数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年陕西省渭南市富平县高三上学期摸底数学检测试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x>1}，则A∪B=(

)A.{x|x≥−1} B.{x|x>1} C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2}2.若复数z=a−2+(a−1)i(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.33.圆(x−1)2+(y+3)2=10A.2 B.2 C.3 D.4.已知sin(α+π6)=1A.79 B.−429 5.已知m，n∈R，则“mn>0”是“mn+nmA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若函数f(x)=log0.5(ax−x2)在区间(−1,0)A.(0,2] B.[−2,0) C.[2,+∞) D.(−∞,−2]7.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x23−y23=1相交于A，A.2 B.4 C.6 D.88.已知等差数列{an}和等比数列{bn}，a1=b1=−4，aA.有且仅有1个值 B.有且仅有2个值 C.有且仅有3个值 D.有无数多个值二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.如图，在正方体ABCD−A1B1CA.|A1C|=3|AB|

B.三棱锥A1−B1D1

10.为了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60棵树木，测量底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]内，其频率分布直方图如图所示，则(

)A.图中a的值为0.025

B.样本中底部周长不少于110cm的树木的底部周长的平均数等于120

C.样本中底部周长不小于110cm的树木有18棵

D.估计该片经济林中树木的底部周长的80%分位数为11511.双曲正弦函数与“S”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为F(x)=ex−e−x2A.F(x)是奇函数

B.F(x)在R上不单调

C.S(x)的值域为(0,1)

D.函数y=F(x)−S(x)在x∈R上有且仅有一个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a，b满足|a+2b|=25，|a|=2，|13.已知x=π4和x=π2都是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)14.中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有______种.四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

在△ABC中，2cos2A2−1=3sin(B+C).

(Ⅰ)求角A的大小；

(16.(本小题12分)已知函数f(x)=4x3(1)当a=1时，求f(x)在(1,f(1）处的切线方程;(2)若x>0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.17.(本小题12分)

如图，已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60∘，E，F分别是BC，PC的中点.

(Ⅰ)证明：AE⊥平面PAD；

(Ⅱ)若PA=2，求二面角F−AE−C的余弦值18.(本小题12分)

已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元.赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：

(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；

(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X，估计X的数学期望；

(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望.19.(本小题12分)

如图，已知A，B分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点.椭圆的离心率为32，△ABO(O是坐标原点)的面积为1.

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)若过点P(a,b)的直线与椭圆E相交于M，N两点，过点M作x轴的平行线分别与直线AB，NB交于点C

答案和解析1.【正确答案】A

解：由题意，A∪B={x|x≥−1}.

故选：A.

根据集合的并集运算求解．

本题考查集合的运算，属于基础题．2.【正确答案】B

解：复数z=a−2+(a−1)i为纯虚数，则a−2=0且a−1≠0，解得a=2，

则|z|=|i|=1.

故选：B.

根据纯虚数的定义求出a，再用复数的模长公式求解．

本题考查复数的模长，属于基础题．3.【正确答案】D

解：圆(x−1)2+(y+3)2=10的圆心(1,−3)，

圆(x−1)2+(y+3)24.【正确答案】D

【分析】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

由已知利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可得解．

解：因为sin(α+π6)=13，

所以sin(2α−5.【正确答案】C

解：由mn>0，可得mn>0，nm>0，

所以mn+nm≥2mn⋅nm=2，当且仅当m=n时等号成立，所以充分性成立；

由m6.【正确答案】D

解：由于y=log0.5x在(0,+∞)上单调递减，

则由复合函数的单调性法则可知，y=−x2+ax在(−1,0)上单调递减，且y=−x2+ax>0在(−1,0)上恒成立，

由y=−x2+ax在(−1,0)上单调递减，可得a2≤−1，解得a≤−2，

由y=−x2+ax>0在(−1,0)上恒成立，可得a<x在(−1,0)上恒成立，则a<−1，

综上，实数a7.【正确答案】C

解：抛物线的焦点坐标为(0,p2)，

准线方程为：y=−p2，

准线方程与双曲线联立可得：x23−p212=1，

解得x=±3+p24，

因为△ABF为等边三角形，

所以328.【正确答案】A

解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由a1=b1=−4，a4=2，a5=8b4，可得−4+3d=2，−4+4d=−32q3，

解得d=2，q=−12，

则an=−4+2(n−1)=2n−6，bn=−4×(−12)n−1=8⋅(−12)n，

am⋅bm>1，即8(2m−6)⋅(−9.【正确答案】ACD

解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，令棱长AB=a，

则AC=2a，

对于A：在直角△A1AC中，A1C=A1A2+AC2=a2+2a2=3a，

即A1C=3AB，故A正确；

对于B：因为VA1−B1D1A=VA−A1B1D1=13×12×a2×a=a36，

而V正方体=a3，

所以三棱锥A1−B1D1A与正方体ABCD−A1B1C1D1的体积比为1：6，故B错误；

对于C：在正方体中，AD1=AB1=B1D1，

所以10.【正确答案】ACD

解：对于A选项，根据题意可得(0.015+a+0.030+0.020+0.010)×10=1，

解得a=0.025，故A选项正确；

对于B选项，因为[110,120)与[120,130)两组的频率之比为2：1，

所以样本中底部周长不少于110cm的树木的底部周长的平均数估计为：

115×23+125×13=3553≈118，故B选项错误；

对于C选项，因为不小于110cm的频数为(0.020+0.010)×10=0.3，

所以不小于110cm的树木有0.3×60=18株，故C选项正确；

对于D选项，因为前三个矩形的面积为：(0.015+0.025+0.030)×10=0.7，

前四个矩形的面积为：(0.015+0.025+0.030+0.020)×10=0.9，

所以80%分位数位于区间[110,120),则110+0.01011.【正确答案】ACD

解：对于A，F(x)=ex−e−x2的定义域为R，

且F(−x)=e−x−ex2=−ex−e−x2=−F(x)，

所以F(x)是奇函数，故A正确；

对于B，因为y=ex为增函数，y=e−x为减函数，

所以F(x)=ex−e−x2在R上单调递增，故B错误；

对于C，S(x)=11+e−x=ex1+ex=ex+1−11+ex=1−11+ex，

因为ex>0，所以0<11+ex<1，所以0<1−11+ex<1，

所以12.【正确答案】π4解：设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0,π]，

|a+2b|=25，

则a2+4a⋅b+4b13.【正确答案】4

解：因为x=π4和x=π2都是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的极值点，

所以周期为T≤2×(π2−π4)=π2，

所以2πω≤π2，

所以ω≥4，即14.【正确答案】630

解：根据题意，只需确定区域1，2，3，4的颜色，即可确定整个伞面的涂色．

先涂区域1，有6种选择，再涂区域2，有5种选择，

当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有4种选择，剩下的区域4有4种选择；

当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有5种选择，

故不同的涂色方案有6×5×(4×4+5)=630种．

故630.

根据题意，先确定区域1，2，3，4的颜色，分区域3与区域1涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案．

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15.【正确答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，2cos2A2−1=3sin(B+C)，

由二倍角的余弦公式和三角形的内角和定理、诱导公式，

可得cosA=3sinA，即有tanA=sinAcosA=33，

∵A∈(0,π)，∴A=π6；

(Ⅰ)由二倍角的余弦公式和三角形的内角和定理、诱导公式，以及同角的基本关系式，可得所求值；

(Ⅱ)由三角形的余弦定理和勾股定理的逆定理，可得证明．

本题考查余弦定理、二倍角公式、诱导公式和同角公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16.【正确答案】解：(1)当a=1时，f(x)=4x3−x2+1，则f(1)=4，

f′(x)=12x2−2x，f′(1)=10，

则f(x)在(1,f(1）处的切线方程为y−4=10(x−1)，即10x−y−6=0；

(2)∵f(x)=4x3−ax2+a2，

∴f′(x)=12x2−2ax，

令f′(x)=0，得x1=0，x2=a6>0，

当0<x<a6时，f′x<0;

当x>a6时，f′x>0本题考查导数的几何意义和利用导数研究恒成立问题，属于中档题.

(1)利用导数的几何意义即可求解;

(2)求出f(x)的单调性，由当x>0时，f(x)≥0恒成立，得f(a617.【正确答案】(Ⅰ)证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60∘，可得△ABC为正三角形，

∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，

又PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，

∴AE⊥平面PAD.

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知，AE，AD，AP两两垂直，

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，P(0,0,2)，E(3,0,0)，F(32,12,1)，

∴AE=(3,0,0)，AF=(32,12,1)，AP=(0,0,2)，

设平面AEF的法向量为m=(x,y,z)，则AE⋅m=3x=0(Ⅰ)易得△ABC为正三角形，从而知AE⊥AD，由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AE，再利用线面垂直的判定定理，即可得证；

(Ⅱ)以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角即可．

本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定与性质定理，利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【正确答案】解：(1)设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，

由题设中的统计数据可得P(A)=60+30+10800+100+60+30+10=110；

(2)(i)设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，

由题可得P(ξ=0)=8001000=45，P(ξ=0.8)=1001000=110，

P(ξ=1.6)=601000=350，P(ξ=2.4)=301000=3100，P(ξ=3)=101000=1100，

所以E(ξ)=0×45(1)根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；

(2)(i)设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求E(X)；

(ii)先算出下一期保费的变化情况，结合(i)的结果可求E(Y).

本题考查用概率的数学期望的知识解决实际应用问题，属于中档题．19.【正确答案】解：(Ⅰ)因为椭圆的离心率为32