画法几何 - 开启工程制图的钥匙

画法几何——开启工程制图的钥匙土木工程专业基础俯瞰香港，引入主题投影在生活与工程中无处不在，在繁华的香港，建筑的影子映射在地面，如同大自然绘制的工程草图。这其中蕴含着投影的奥秘，而我们将通过画法几何，深入探索工程制图的基础原理。香港城市俯瞰图，阳光洒在建筑上，地面形成清晰影子。目录点、线、面的投影立体的投影组合体投影总结与回顾课后思考与练习点、线、面的投影-投影的基本概念投影定义与原理投影是一种通过一组投影线，将物体投射到投影面上，从而获得图形的方法。其核心原理基于光线传播的特性，就像阳光照射物体形成影子。在工程制图中，我们利用这一原理，将三维物体准确地表达在二维平面上。光线照射物体形成影子的原理图，配合文字说明投影线、物体、投影面的关系。点、线、面的投影-投影的分类中心投影中心投影的投影线汇交于一点，类似灯光照射物体的效果。其特点是能产生近大远小的立体感，但由于图形会随物体与投影中心距离变化而改变，一般不用于精确的工程制图，常用于建筑效果图等领域，以展现建筑的直观视觉效果。灯光下建筑模型的投影照片，体现近大远小的效果。平行投影-斜投影平行投影中，投影线相互平行。斜投影的投影线与投影面倾斜，它能在一定程度上反映物体的形状和尺寸，但度量性较差，在工程中应用相对较少。斜投影的示意图，标注投影线与投影面的倾斜关系。平行投影-正投影正投影是投影线垂直于投影面的平行投影。它具有良好的度量性，能准确反映物体的实际形状和尺寸，因此在工程制图中被广泛应用。我们后续学习的画法几何，主要基于正投影展开。正投影的示意图，展示物体通过正投影在投影面上的精确成像。点、线、面的投影-点的投影-两投影面体系体系构成两投影面体系由水平投影面（H面）和正立投影面（V面）组成，它们相互垂直，交线称为OX轴。两投影面体系的三维示意图，清晰标注H面、V面和OX轴。点的投影规律空间一点A在H面的投影为a，在V面的投影为a'。点的投影规律为：点的正面投影a'和水平投影a的连线垂直于OX轴；点的水平投影到OX轴的距离，等于空间点A到V面的距离；点的正面投影到OX轴的距离，等于空间点A到H面的距离。点A在两投影面体系中的投影图，详细标注各点及距离关系。点、线、面的投影-点的投影-三投影面体系体系扩展为了更全面地表达物体的形状，引入侧立投影面（W面），与H面、V面相互垂直，形成三投影面体系。H面与W面的交线为OY轴，V面与W面的交线为OZ轴，三轴交点为原点O。三投影面体系的三维示意图，清晰标注H面、V面、W面、OX轴、OY轴、OZ轴和原点O。点的投影规律-三等关系长对正：点的水平投影和正面投影在X轴方向上的坐标相等，即长度相等且相互对齐。高平齐：点的正面投影和侧面投影在Z轴方向上的坐标相等，即高度相等且相互平齐。宽相等：点的水平投影和侧面投影在Y轴方向上的坐标相等，即宽度相等。点在三投影面体系中的投影图，通过坐标标注和连线，清晰展示长对正、高平齐、宽相等的关系。点、线、面的投影-直线的投影-直线的分类与投影特性一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。其投影特性为：三个投影都倾斜于投影轴，且都不反映实长和直线与投影面的真实倾角。一般位置直线的立体图和投影图，标注直线与投影面的倾斜关系及投影特点。投影面平行线-正平线平行于V面，倾斜于H面和W面的直线为正平线。其投影特性为：正面投影反映实长，且与OX轴的夹角反映直线与H面的倾角α，与OZ轴的夹角反映直线与W面的倾角γ；水平投影平行于OX轴，侧面投影平行于OZ轴，但都不反映实长。正平线的立体图和投影图，详细标注实长、倾角及投影关系。投影面平行线-水平线平行于H面，倾斜于V面和W面的直线为水平线。其投影特性为：水平投影反映实长，且与OX轴的夹角反映直线与V面的倾角β，与OY轴的夹角反映直线与W面的倾角γ；正面投影平行于OX轴，侧面投影平行于OY轴，但都不反映实长。水平线的立体图和投影图，详细标注实长、倾角及投影关系。投影面平行线-侧平线平行于W面，倾斜于H面和V面的直线为侧平线。其投影特性为：侧面投影反映实长，且与OZ轴的夹角反映直线与V面的倾角β，与OY轴的夹角反映直线与H面的倾角α；水平投影平行于OY轴，正面投影平行于OZ轴，但都不反映实长。侧平线的立体图和投影图，详细标注实长、倾角及投影关系。投影面垂直线-正垂线垂直于V面，平行于H面和W面的直线为正垂线。其投影特性为：正面投影积聚为一点；水平投影和侧面投影反映实长，且分别垂直于OX轴和OZ轴。正垂线的立体图和投影图，标注积聚性及实长投影。投影面垂直线-铅垂线垂直于H面，平行于V面和W面的直线为铅垂线。其投影特性为：水平投影积聚为一点；正面投影和侧面投影反映实长，且分别垂直于OX轴和OY轴。铅垂线的立体图和投影图，标注积聚性及实长投影。投影面垂直线-侧垂线垂直于W面，平行于H面和V面的直线为侧垂线。其投影特性为：侧面投影积聚为一点；水平投影和正面投影反映实长，且分别垂直于OY轴和OZ轴。侧垂线的立体图和投影图，标注积聚性及实长投影。点、线、面的投影-直线的投影-直线上的点点的投影规律若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上，这是直线上点的从属性。同时，点分直线段之比等于其投影分直线段投影之比，即定比性。利用这两个特性，可判断点是否在直线上，或在直线上确定点的投影。直线上点的投影示例图，通过标注线段比例和投影关系，说明从属性和定比性。点、线、面的投影-平面的投影-平面的表示法几何元素表示法不在同一直线上的三点：通过确定三个不共线的点，可以唯一确定一个平面。一直线和直线外一点：给定一条直线和直线外一点，可确定一个平面。相交两直线：两条相交直线确定一个平面。平行两直线：两条平行直线也能确定一个平面。平面图形：如三角形、矩形等平面图形，其边界线构成的平面即为该平面的表示。每种表示方法对应一张示例图，清晰展示几何元素与平面的关系。点、线、面的投影-平面的投影-平面的分类与投影特性一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面为一般位置平面。其投影特性为：三个投影均为类似形，不反映平面的实形和平面与投影面的真实倾角。一般位置平面的立体图和投影图，标注平面与投影面的倾斜关系及投影特点。投影面平行面-水平面平行于H面，垂直于V面和W面的平面为水平面。其投影特性为：水平投影反映实形；正面投影和侧面投影分别积聚为平行于OX轴和OY轴的直线。水平面的立体图和投影图，详细标注实形投影和积聚性投影。投影面平行面-正平面平行于V面，垂直于H面和W面的平面为正平面。其投影特性为：正面投影反映实形；水平投影和侧面投影分别积聚为平行于OX轴和OZ轴的直线。正平面的立体图和投影图，详细标注实形投影和积聚性投影。投影面平行面-侧平面平行于W面，垂直于H面和V面的平面为侧平面。其投影特性为：侧面投影反映实形；水平投影和正面投影分别积聚为平行于OY轴和OZ轴的直线。侧平面的立体图和投影图，详细标注实形投影和积聚性投影。投影面垂直面-铅垂面垂直于H面，倾斜于V面和W面的平面为铅垂面。其投影特性为：水平投影积聚为一条倾斜于投影轴的直线，该直线与OX轴的夹角反映平面与V面的倾角β，与OY轴的夹角反映平面与W面的倾角γ；正面投影和侧面投影为类似形。铅垂面的立体图和投影图，详细标注积聚性投影、倾角及类似形投影。投影面垂直面-正垂面垂直于V面，倾斜于H面和W面的平面为正垂面。其投影特性为：正面投影积聚为一条倾斜于投影轴的直线，该直线与OX轴的夹角反映平面与H面的倾角α，与OZ轴的夹角反映平面与W面的倾角γ；水平投影和侧面投影为类似形。正垂面的立体图和投影图，详细标注积聚性投影、倾角及类似形投影。投影面垂直面-侧垂面垂直于W面，倾斜于H面和V面的平面为侧垂面。其投影特性为：侧面投影积聚为一条倾斜于投影轴的直线，该直线与OZ轴的夹角反映平面与V面的倾角β，与OY轴的夹角反映平面与H面的倾角α；水平投影和正面投影为类似形。侧垂面的立体图和投影图，详细标注积聚性投影、倾角及类似形投影。立体的投影-基本立体投影-平面立体（棱柱与棱锥）棱柱结构特征：棱柱由两个互相平行且全等的底面和若干个侧棱面组成，侧棱线相互平行。投影特性：在与底面平行的投影面上，投影反映底面实形；在另外两个投影面上，投影为矩形或由若干个矩形组成的图形。表面取点：利用棱柱表面的积聚性，可直接求出点的投影。若点在一般位置的侧棱面上，可通过作辅助线的方法求解。棱柱的立体图、投影图，标注各部分名称，展示表面取点示例。棱锥结构特征：棱锥由一个底面和若干个具有公共顶点的侧棱面组成，侧棱线汇交于一点。投影特性：在与底面平行的投影面上，投影反映底面实形，其余投影为三角形或由若干个三角形组成的图形。表面取点：若点在特殊位置的侧棱面上，可利用积聚性求解；若在一般位置的侧棱面上，常采用辅助线法，如过该点与锥顶作连线，或作平行于底面的辅助线。棱锥的立体图、投影图，标注各部分名称，展示表面取点示例。立体的投影-基本立体投影-曲面立体（圆柱、圆锥、圆球）圆柱结构特征：圆柱由圆柱面、上底面和下底面组成，圆柱面可看作是一条直母线绕与它平行的轴线旋转而成。投影特性：在与轴线垂直的投影面上，投影为圆；在另外两个投影面上，投影为矩形。表面取点：利用圆柱面的积聚性，可直接求出点的投影。若点在不可见的半圆柱面上，投影需注意可见性。圆柱的立体图、投影图，标注各部分名称，展示表面取点示例。圆锥结构特征：圆锥由圆锥面和底面组成，圆锥面可看作是一条直母线绕与它相交的轴线旋转而成。投影特性：在与轴线垂直的投影面上，投影为圆；在另外两个投影面上，投影为等腰三角形。表面取点：常用辅助素线法或辅助圆法。辅助素线法是过锥顶与该点作连线，辅助圆法是过该点作平行于底面的辅助圆。圆锥的立体图、投影图，标注各部分名称，展示表面取点示例。圆球结构特征：圆球由球面围成，球面可看作是一条圆母线绕其直径旋转而成。投影特性：三个投影均为圆，其直径等于圆球的直径。但需注意，三个投影圆分别是球面上不同方向轮廓素线圆的投影。表面取点：过该点在球面上作辅助圆，辅助圆的直径应小于等于球的直径。通过辅助圆的投影求解点的投影。圆球的立体图、投影图，标注各部分名称，展示表面取点示例。立体的投影-立体表面交线-截交线概述截交线定义与性质截交线是平面与立体表面相交产生的交线。它具有两个重要性质：封闭性：由于平面与立体表面相交，截交线通常是一条封闭的平面曲线或由直线段组成的封闭图形。共有性：截交线既在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面的共有线。展示一些简单立体被平面截断的实物图片或示意图，配合文字说明截交线的定义和性质。立体的投影-立体表面交线-平面立体的截交线求解方法与步骤平面立体的截交线一般为多边形，其边数取决于截平面与平面立体相交的棱线或棱面的数量。求解截交线的关键在于求出截平面与各棱线的交点，然后依次连接这些交点，得到截交线的投影。以三棱柱为例，详细说明求解步骤：分析截平面与三棱柱各棱线的相对位置，确定交点的数量。利用直线上点的投影规律，求出各交点在相应投影面上的投影。按照实际顺序依次连接各交点的投影，得到截交线的投影。注意判断可见性，可见部分用粗实线绘制，不可见部分用虚线绘制。以三棱柱、四棱锥等为例，从立体图到投影图，逐步展示求解截交线的过程，标注清晰。立体的投影-立体表面交线-曲面立体的截交线圆柱的截交线当平面与圆柱相交时，根据平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交线有三种情况：平行于轴线：截交线为矩形，矩形的两条边是圆柱面与截平面的交线，另外两条边是圆柱底面与截平面的交线。垂直于轴线：截交线为圆，该圆与圆柱底面平行。倾斜于轴线：截交线为椭圆，椭圆的长轴和短轴随截平面与轴线的夹角变化而改变。每种情况对应一组图片