《电工与电子技术》课件第3章

3.1正弦量的三要素

3.2正弦量的相量表示方法

3.3电阻、电感及电容元件上电压和电流关系的相量形式

3.4简单正弦交流电路的计算

3.5交流电路的功率及功率因数

3.6RLC电路中的谐振

本章小结

习题3第3章正弦交流电路交流电的变化形式较多，其中随时间按正弦规律变化的交流电称为正弦交流电，也常称为正弦量。如图3-1所示的为正弦交流电流波形图，与之相对应的解析式为

i=Imsin(ωt+φi)

电路分析中常用的正弦量是电流、电压和电动势，与正弦电流类似，正弦电压、电动势的解析式分别如下：

u=Umsin(ωt+φu)

e=Emsin(ωt+φe)3.1正弦量的三要素图3-1正弦交流电流波形

1.角频率、周期和频率

在一个周期内，正弦量变化的弧度是2π，所以角频率ω、周期T和频率f具有如下关系:

2．相位、初相位和相位差

设两个同频率交流电压分别为

u1=U1msin(ωt+φ1)

u2=U2msin(ωt+φ2)

(1)如果两个正弦量到达某一确定状态的先后次序相同,即Δφ12=0，则称这两个正弦量同相(如图3-2(a)所示)。

(2)如果两个正弦量到达某一确定状态的先后次序不同，则称先到达者为超前，后到达者为滞后(如图3-2(b)所示，称u1超前于u2或u2滞后于u1)。

(3)如果两个正弦量相位差，则称这两个正弦量正交。此时，当一个正弦量到达最大值时，另一个正弦量刚好是零(如图3-2(c)所示)。

(4)如果两个正弦量相位差Δφ12=±π，则称这两个正弦量反相。此时，一个正弦量的正半周和另一个正弦量的负半周刚好对应(如图3-2(d)所示)。图3-2正弦交流电相位关系

(a)同相；(b)超前/滞后;(c)正交;(d)反相

例3-1

写出图3-3所示电压u和电流i的相位差，并说明u和i的相位关系。

图3-3例3-1图

解由图可知

φu=45°

φi=90°

据相位差定义，则

Δφui=φu－φi=45°－90°=－45°

因为Δφui=－45°<0,所以电压u滞后于电流i，且滞后45°。

3.瞬时值、最大值和有效值

根据上述定义可以得出

Q直=Q交

(3-1)

Q直=I2RT(3-2)

对正弦交流电流

i=Imsinωt

(3-3)

结合式(3-1)、(3-2)、(3-3)可推导出有效值和最大值之间有如下关系:

同理

例3-2

已知某正弦电流在t=0时，其值为5A，且该电流的初相为30°，频率为50Hz。求该电流的有效值和最大值，并写出其解析式。

解该正弦电流一般表达式为

i=Imsin(ωt+φi)

当t=0时

i(0)=Imsin30°=5A可求得

Im=10A

根据有效值和最大值关系，故其有效值

根据频率和角频率关系，该电流的角频率为

ω=2πf=314rad/s

所以，其解析式为

i=10sin(314t+30°)A

一个正弦电压可以表示为

u=Umsin(ωt+φu)

t=0时刻旋转矢量在虚轴上的投影反映了旋转矢量的初始位置，因此，把t=0时刻的旋转矢量称为初始值相量，用表示。

同理，有效值相量用表示，即3.2正弦量的相量表示方法

例3-3

已知同频率正弦电流和电压的解析式分别为

试写出电流和电压有效值相量、，并画出相量图。

解由解析式可知

相量图如图3-4所示。图3-4例3-3图3.3.1电阻元件

1．电压与电流关系

图3-5(a)是一个线性电阻元件的交流电路图，电压和电流参考方向为关联方向，电阻两端电压和流过的电流服从欧姆定律，即u=Ri。

3.3电阻、电感及电容元件上电压和电流关系的相量形式图3-5电阻元件的交流电路(a)电路图；(b)电压与电流的正弦波形；(c)电压与电流的相量图；(d)功率波形设流过电阻的电流为

根据欧姆定律可求得电阻两端电压为

比较上列两式即可看出，在电阻元件的正弦交流电路中，电流和电压是同频同相的正弦量，电压和电流的有效值(最大值)仍满足欧姆定律，即

U=RI

或Um=RIm

电流和电压的相位相同，即φu=φi，相位差Δφ=0，电压和电流的波形如图3-5(b)所示。

综上所述，电压与电流关系的相量形式为

或

此即欧姆定律的相量表示式。电压和电流的相量如图

3-5(c)所示。

2．功率

在任意瞬间，电压瞬时值u与电流瞬时值i的乘积，称为瞬时功率，用小写字母p表示:

p=ui=UmImsin2ωt=UI(1－cos2ωt)

由上式可见，p≥0，表明电阻总是从电路中吸收功率，属耗能元件。功率的波形如图3-5(d)所示。

由于瞬时功率是随时间变化的，不便于表示和比较，所以通常用平均功率来计算交流电路的功率。

平均功率是一个周期内电路瞬时功率的平均值，用大写字母P表示。

例3-4

在纯电阻电路中，已知电阻R=44Ω，交流电压u=311sin(314t+30°)V，试求通过该电阻的电流，并写出电流的解析式。

解由题可知交流电压相量为

据，可得

电流的解析式3.3.2电感元件

1.电压与电流关系

如图3-6(a)所示，电路中电压、电流为关联参考方向。设流过电感线圈的电流i=Imsinωt，根据电磁感应定律，线圈两端电压为

由上述电压、电流解析式可看出，在电感元件的正弦交流电路中，电流和电压是同频正弦量，电压和电流的有效值(最大值)满足下列关系,即

U=ωLI

或Um=ωLIm

令XL=ωL=2πfL，则

U=XLI综上所述，电压与电流关系的相量形式为

或

其对应的相量图如图3-6(c)所示。图3-6电感元件的交流电路(a)电路图；(b)电压与电流的正弦波形；(c)电压与电流的相量图

2.功率

1)瞬时功率

纯电感电路的瞬时功率为

2)平均功率

纯电感电路的平均功率为

3)无功功率

从上述分析可知，电感元件只是实现电源能量的存储与转换，这种能量转换的规模，我们用无功功率QL衡量。

QL=ULI=I2XL

例3-5

已知一电感L=80mH，外加电压

。试求感抗XL，电流，并写出电流i的解析式。

解感抗XL=ωL=314×0.08≈25Ω

由题可知，电压相量为

据，可得

电流的解析式3.3.3电容元件

1.电压与电流关系

如图3-7(a)所示，电路中电压、电流为关联参考方向。设电容两端电压为u=Umsinωt，则流过电容的电流为

由上述电压、电流解析式可看出，在电容元件的正弦交流电路中，电流和电压是同频正弦量，电压和电流的有效值(最大值)满足下列关系，即

令，则

U=XCI或图3-7电容元件的交流电路(a)电路图；(b)电压与电流的正弦波形；(c)电压与电流的相量图综上所述，电压与电流关系的相量形式为

或

2.功率

1)瞬时功率

纯电容电路的瞬时功率为

2)平均功率

纯电容电路的平均功率为

3)无功功率

从上述分析可知，电容元件只是实现电源能量的存储与转换，这种能量转换的规模，我们用无功功率QC衡量。

QC=UCI=I2XC

例3-6

已知一电容C=127μF，外加正弦交流电压

，试求：(1)容抗XC；(2)电流；(3)写出电流瞬时值iC。

解

(1)容抗

(2)据，可得

(3)电流的解析式3.4.1相量形式的基尔霍夫定律

基尔霍夫电流定律： 瞬时值形式 ∑i=0

相量形式

基尔霍夫电压定律： 瞬时值形式 ∑u=0

相量形式3.4简单正弦交流电路的计算3.4.2RLC串联电路分析

1．电压与电流的关系

由电阻、电感、电容首尾连接构成的电路叫做RLC串联电路。

如图3-8所示，电路中电压、电流为关联参考方向，电路中流过各元件的电流相同，因此以电流为参考。设电路中电流为，其相量为：，则根据RLC元件的基本特性可得各元件两端电压相量为：

图3-8RLC串联电路根据基尔霍夫电压定律(KVL)，在任一时刻总电压为

令，以作为参考相量，作出相量图，如图3-9所示，可见，电压构成一个直角三角形，称为电压三角形。由电压三角形可得，各电压之间的大小关系为

图3-9RLC串联电路的相量图

由于

令Z=R+j(XL－XC)=R+jX=|Z|∠φZ

则

其中

上式中Z称为RLC串联电路的复阻抗，|Z|叫做阻抗，其中X=XL－XC

叫做电抗，φZ称为阻抗角。

可见

2.RLC串联电路的性质图3-10阻抗三角形

例3-7

在RLC串联电路中，交流电源电压u=220

sin(314t+53.1°)V，R=30Ω，L=445mH，C=32μF。试求，阻抗Z、电流、各元件上的电压、、

，并以作为参考相量画出各电压相量图。

解

=30+j(140－100)

=50/53.1°

相量图如图3-11所示。

图3-11例3-7图

1.瞬时功率

在RLC串联电路中，设通过负载的电流

，由于负载性质不同，所以负载两端电压和电流i具有相位差，则负载两端电压，设i、u为关联参考方向，那么负载取用的瞬时功率为

3.5交流电路的功率及功率因数图3-12交流电路瞬时功率

2．有功功率(平均功率)

上述瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率，也叫有功功率。

3．无功功率

用无功功率表示这种能量交换的规模，用大写字母Q表示，无功功率的定义如下:

Q=UIsinφ

在电路中既有电感元件又有电容元件时，无功功率相互补偿，它们在电路内部先相互交换一部分能量后，不足部分再与电源进行交换，则电路的无功功率为

Q=QL+QC

4．视在功率

在交流电路中，端电压与电流的有效值乘积称为视在功率，用S表示。即

S=UI

交流电气设备的容量是按照预先设计的额定电压和额定电流来确定的。用额定视在功率SN来表示,即

SN=UNIN

交流电气设备应在额定电压UN条件下工作，因此电气设备允许提供的电流为由上所述可见，有功功率P、无功功率Q、视在功率S之间存在如下关系：

显然，S、P、Q构成一个直角三角形，如图3-13所示。此三角形称为功率直角三角形。图3-13功率三角形3.5.2功率因数的提高

1．功率因数提高的意义

前已述及，交流电路中的有功功率一般不等于电源电压U和总电流I的乘积，还要考虑电压电流的相位差的影响，即

P=UIcosφ=UIλ

(1)电源设备的容量不能充分利用。

设某供电变压器的额定电压UN=230V，额定电流IN=434.8A，额定容量

SN=UNIN=230×434.8=1000kV·A

如果负载功率因数是1，则变压器可以输出有功功率

P=UNINcosφ=230×434.8×1=100kW

如果负载功率因数是0.5，则变压器可以输出有功功率

P=UNINcosφ=230×434.8×0.5=50kW

(2)增加输电线路上的功率损耗。

当发电机的输出电压U和输出的有功功率P一定时，发电机输出的电流(即线路上的电流)为

可见电流I和功率因数λ成反比。若输电线的电阻为R，则输电线上的功率损失为

2．功率因数提高的方法

提高功率因数的简便而有效的方法，是给电感性负载并联适当大小的电容器，其电路图和相量图如图3-14所示。

由于是并联，电感性负载的电压不受电容器的影响。电感性负载的电流iL仍然等于原来的电流。但对总电流来说，却多了一个电流分量iC,即

i=iL+iC

或者

图3-14功率因数的提高

C的计算公式推导如下：

IC=ILsinφ1－Isinφ(3-4)

式中IC为电容器中的电流，IL和I分别为功率因数提高前、后时的电流。

功率因数提高前电路的有功功率：

P1=UILcosφ1

功率因数提高后电路的有功功率：

P2=UIcosφ

P1=P2=P

即

将IC、IL和I代入式(3-4)得

例3-8

已知某单相电动机(感性负载)的额定参数是功率P=120W，工频电压U=220V，电流I=0.91A。试求,把电路功率因数λ提高到0.9时，应使用一只多大的电容C与这台电动机并联。

解首先求未并联电容时负载的功率因数λ1=cosφ1。

因P=UIcosφ1，则

φ1=arccosλ1=53.2°

把电路功率因数提高到λ2=cosφ2=0.9时，φ2=arccosλ2=25.8°,则

1.谐振的定义

2．串联谐振条件

在图3-8所示电路中，XL=XC时，

3.6RLC电路中的谐振串联谐振的基本条件是

XL=XC

即

当电源频率一定时，要使电路产生谐振，就要改变电路参数L或C。常用的方法是改变电容C的数值，即要求

当电路参数一定时，则可以通过改变电源频率的办法，使电路达到谐振。谐振时的电源角频率和谐振频率为

3.串联谐振主要特征

(1)电压U与电流I同相，电路呈电阻性。

(2)电路阻抗达到最小:

|Z|min=R

(3)电路中电流达到最大:

(4)UL和UC出现新的情况：

UC或者UL与电源电压U的比值通常用Q来表示:

式中，Q称为电路的品质因数或简称为Q值。

串联谐振时的相量图如图3-15所示。图3-15串联谐振时的相量图

4.串联谐振的应用

电路中电流的大小为

由于

此式表达出电流大小与电路工作频率之间的关系，叫做串联电路的电流幅频特性。电流大小I随频率f变化的曲线，叫做谐振特性曲线,如图3-16所示。图3-16RLC串联电路的谐振特性曲线

理论分析表明，串联谐振电路的通频带为

例3-9

设在RLC串联电路中，L=30μH，C=211pF，R=9.4Ω，外加电源电压为u=

sin(2πft)mV。试求：

(1)该电路的固有谐振频率f0与通频带B。

(2)当电源频率f=f0时(即电路处于谐振状态)电路中的谐振电流I0、电感L与电容C元件上的电压UL0、UC0。

(3)如果电源频率与谐振频率偏差Δf=f－f0=10%f0，电路中的电流I为多少？

解

(1)

(2)

(3)当f=f0+Δf=2.2MHz时，

仅为谐振电流I0的13.2%。(1)RLC元件的特性。本章小结(2)RLC串联电路。(3)RLC串联谐振电路。

(4)提高功率因数的方法。

提高感性负载(RL)功率因数的方法，是用适当容量的电容器与感性负载并联。对于额定电压为U、额定功率为P、工作频率为f的感性负载来说，将功率因数从λ1=cosφ1提高到λ2=cosφ2，所需并联的电容为

1.已知工频正弦电压uab的最大值为311V，初相位为

－60°，其有效值为多少？写出其瞬时值表达式；当t=0.0025s时，uab的值为多少？

2．某正弦电流的频率为20Hz，有效值为5

A，在t=0时，电流的瞬时值为5A，且此时刻电流在增加，求该电流的瞬时值表达式。

3．一电感元件L=10mH,已知=110∠0°V，在关联参考方向下=0.01∠－90°A。求感抗和电源的频率。习题3

4．一电容元件C=50μF，已知uC=10

sin(104t－

30°)V,在关联参考方向下求ZC、,并画出相量图。

5．220V、50Hz、初相为0的电压分别加在电阻，电感和电容负载上，此时它们的电阻值、感抗值和容抗值均为22Ω，试分别求出三个元件的电流。写出各电流的瞬时值表达式，并以电压为参考相量画出相量图。若电压的有效值不变，频率由50Hz变到500Hz重新回答以上问题。

6.已知i1=5sin(ωt+30°)A，i2=10sin(ωt

+60°)A，求：

(1)(2)(3)i1+i2(4)作相量图

7.已知u1=220sinωtV，u2=220sin(ωt+120°)V,

u3=220sin(ωt－120°)V,求：

(1)

(2)

(3)u1+u2+u3

(4)作相量图

8.已知RC串联电路的电源频率为，试问电阻两端电压相位超前电源电压几度？

9.为了降低风扇的转速，可在电源与风扇之间串入电感，以降低风扇电动机的端电压。若电源电压为220V,频率