2025年外研版高二数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、设全集则图中阴影表示的集合为（）A.{－1}B.{2}C.{3，4，5}D.{3，4}2、在△ABC中，若a、b；c成等比数例；且c=2a，则cosB等于（）

A.

B.

C.

D.

3、某单位有职工100人，其中青年人有45人，中年人有25人，剩下的为老年人，用分层抽样的方法从中抽取20人，则各年龄段分别抽取多少人（）A.7，5，8B.9，5，6C.6，5，9D.8，5，74、已知命题函数在R为增函数，函数在R为减函数，则在命题和中，真命题是（）A.B.C.D.5、随机抽取某中学甲乙两班各6名同学；测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，则甲班样本数据的众数和乙班样本数据的中位数分别是（）

A.170，170B.171，171C.171，170D.170，1726、“a=3

”是“直线ax鈭�2y鈭�1=0

与直线6x鈭�4y+1=0

平行”的(

)

A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、（理）已知实数满足则的取值范围是▲．（文）已知函数在同一周期内，当时，取得最大值2；当时，取得最小值那么该函数的解析式是▲．8、与的等比中项为．9、【题文】在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为____.10、直线l经过点P（1，9），且与两坐标轴的正半轴相交，当两截距之和最小时直线l的方程为______．11、已知正四棱锥P鈭�ABCD

的所有顶点都在半径为1

的球面上，当正四棱锥P鈭�ABCD

的体积最大时，该正四棱锥的高为______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)12、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

13、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共18分)19、要测量河对岸两地A，B之间的距离，在岸边选取相距100米的C；D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A，B，C，D在同一平面内），求A，B之间的距离．

20、）袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是（1）求袋中各色球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ和方差Dξ；评卷人得分五、综合题(共3题，共15分)21、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．22、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．23、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】【解析】【答案】A2、B【分析】

∵a、b；c成等比数列；

∴b2=ac；又c=2a；

∴b2=2a2，c2=4a2，ac=2a2；

则由余弦定理得：cosB===．

故选B

【解析】【答案】由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再根据c=2a，用a2表示出b2，c2及ac；然后利用余弦定理表示出cosB，把表示出的各量代入，即可求出cosB的值．

3、B【分析】【解析】试题分析：青年人应抽取：人，中年人应抽取：人，老年人应抽取：人。所以应选B。考点：分层抽样。【解析】【答案】B4、C【分析】【解答】在上单调递增，在上单调递增，所以在为增函数，由求导得当时，当所以函数在上递增，在上单调递减.因此命题为真命题，命题为假命题.所以命题为真命题，为假命题，为假命题，为真命题.5、B【分析】解：由茎叶图可知。

∵甲班的学生身高分别是：162；163，170，171，171，182；

∴甲班学生身高的众数是171；

∵乙班的学生身高分别是：162；165，170，172，173，181；

∴乙班的学生身高的中位数是：=171；

故选B．

由茎叶图可以看出甲班和乙班的学生身高；把这两组数据按照从小到大排列，看出甲班学生身高的众数和乙班学生身高的中位数，因为有偶数个数据，所以中位数等于最中间两个数的平均数．

本题考查众数和中位数，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．考查最基本的知识点．【解析】【答案】B6、A【分析】解：若“a=3

”成立，则两直线的方程分别是3x鈭�2y鈭�1=0

与6x鈭�4y+1=0k1=k2=32

．

所以两直线一定平行；

反之，当“直线ax鈭�2y鈭�1=0

与直线6x鈭�4y+1=0

平行”成立时，有a6=12

所以a=3

所以“a=3

”是“直线ax鈭�2y鈭�1=0

与直线6x鈭�4y+1=0

平行”的必要充分条件；

故选：A

．

利用直线与直线的平行条件得出k1=k2

结合充分必要条件判断即可．

本题简单的考查了直线的平行的条件，充分必要条件的概念，难度不大，属于容易题．【解析】A

二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】【解析】【答案】（理）____．（文）____8、略

【分析】试题分析：等比中项考点：等比中项【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：由方程可知

考点：求离心率。

点评：求离心率问题首先由方程找到【解析】【答案】10、略

【分析】解：设所求直线l方程为（a，b＞0）．

∵直线l经过点P（1；9）；

∴=1．

∴a+b==10+=16，当且仅当b=3a=12时取等号．

∴直线l的方程为=1；化为3x+y-12=0．

故答案为：3x+y-12=0．

设所求直线l方程为（a，b＞0）．由于直线l经过点P（1，9），可得=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、直线的截距式，属于基础题．【解析】3x+y-12=011、略

【分析】解：设正四棱锥的底面边长为a

则底面中心O

到A

的距离为OA=22a

球半径为1

所以球心到四棱锥底面距离为1鈭�a22

所以三棱锥的高为h=1隆脌1鈭�a22

．

所以垄脵

四棱锥的体积V=13S鈻�ABCD?h=13a2隆脕(1鈭�1鈭�a22)

．

或者13a2隆脕(1+1鈭�a22)

设a22=sin2娄脕

则a2=2sin2娄脕

所以上式为V=23(1鈭�cos2娄脕)(1鈭�cos娄脕)=23(cos3娄脕鈭�cos2娄脕鈭�cos娄脕+1)

设cos娄脕=x

V鈥�=23(3x2鈭�2x鈭�1)

令V鈥�=0

解得x=1

故cos娄脕=1

此时不合题意，舍去；

垄脷

四棱锥的体积为13a2隆脕(1+1鈭�a22)

设a22=sin2娄脕

则a2=2sin2娄脕

V=23(1鈭�cos2娄脕)(1+cos娄脕)=23(鈭�cos3娄脕鈭�cos2娄脕+cos娄脕+1)

设cos娄脕=x

V鈥�=23(鈭�3x2鈭�2x+1)

令V鈥�=0

解得x=13

此时cos娄脕=13

四棱锥的高为43

．

故答案为：43

设正四棱锥的底面边长为a

用a

表示四棱锥的底面边长和高，得出三棱柱的体积关于a

的函数V(a)

求出V

的极大值点，计算棱柱的高。

本题考查了四棱锥与球的组合体中，关键是利用了导数求体积的最值.

属于中档题．【解析】43

三、作图题(共7题，共14分)12、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

13、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共18分)19、略

【分析】

如图所示；在△ACD中，∠CAD=30°=∠ADC；

∴AC=CD=100．

∵在△BCD中；∠CBD=60°；

∴由正弦定理，得=可得BC=100•=200sin75°．

在△ABC中；由余弦定理，得。

AB2=AC2+BC2-2AC•BCcos∠ACB=（100）2+（200sin75°）2-2×100×200sin75°cos75°

=5×1002；

∴AB=100（米），即A，B之间的距离为100米．

【解析】【答案】首先在△ACD中，得出∠CAD=∠ADC=30°，得CD=100．然后在△BCD中由正弦定理得出BC的长，最后在△ABC中由余弦定理，算出AB2═5×1002，即可得到A，B之间的距离为100米．

20、略

【分析】【解析】试题分析：（1）因为从袋中任意摸出1球得到黑球的概率是故设黑球个数为x，则设白球的个数为y，又从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是则故袋中白球5个，黑球4个，红球1个。6分（2）由题设知ξ的所有取值是0，1，2，3，则随机变量ξ的分布列为。ξ0123P12分考点：古典概型概率与分布列【解析】【答案】（1）袋中白球5个，黑球4个，红球1个（2）。ξ0123P五、综合题(共3题，共15分)21、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．22、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1