《高等几何》习题答案

高几习题集及参考解答

第一章仿射几何的基本概念

1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T可使等腰△ABC(AB=AC)与

一般△ABC相对应，设点D为线段BC的中点，则ADJ_BC,且p=y,T(D)=D'

(图1)。・・・T保留简比不变,

即(BCD)=(BCD)=-1,

・•・立是的中点,因此线段中点是仿射不变性。

•.•在等腰ZiABC中，p=ya

设T(。)=凡T(y)=y\

但一般△ABC中，过A'的中线ATT并不平分NA，，

即与丫，一般不等,

，角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC中，设D是BC的中点，则AD升BC,

T(AABC)=△ABC(一般三角形)，D仍为BC的中点。

由于在一般三角形中，中线AD，并不垂直底边BC。得下题

2、两条直线垂直是不是仿射不变性？

答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T将△ABC变为△ABC,D、E、F分别是BC、CA,AB边的中点。

由于仿射变换保留简比不变，所以D=T(D),E'=T(E),F=T(F)分别是BC,CASE

的中点，因此AD',BE,CF是△ABC的三条中线(图2)。

设G是^ABC的重心，且G'=T(G)

VGeAD,由结合性得G'WA'D'；

又「(AGD)=(A'G'D')即四=畋=。

GDG'D'1

同理可得嘿"器/CFCF3

~GF~~GP~~\

.•・6'是4A'BC的里心。

4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。

证明：设在仿射对应下梯形ABCD(A&CD)与四边形ABCD相对应，

由于仿射对应保持平行性不变，因此A'B^C'D',所以ABCTT为梯形。

5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。

证明：设T为仿射变换,A历ICDI与AzB2c2D2为两个全等矩形,其面枳分别以SkS：。

由于T保留平行性，所以：

T(AIBICIDI)=平行四边形A'BCQi面积记为：S'i

T(A2B2C2D2)=平行四边形AAB，2c2D2,面积记为:S'2,

且S'尸KSi，S'2=KS2,=昱=监=I=S：=S：

S；KS21-

・•・A'lB'iCiD1)与八22。2»2是等积的平行四边形。

6、经过A(-3,2)和B(6,1)两点的吏线被比线X+3y-6=0截于P点，求简比(ABP)

解：设P点的坐标为(xo，yo)

..APAP](小孰1Hzl而—3+622+A,

(ABP)=——=-------=-2(分割L匕)，而:％=-------,%=-----

BPPBY1+A01+2

且P在直线x+3y-6=O上，/.I；；7)+3(鬻)-6=0

解得入=1,即P是AB中点，且(ABP)=-1。

7、证明直线Ax+By+C=O将两点Pi(x.,y1)和P2(x2,y2)的联线段分成

By\+C

的比是-At]+

AX2+By,+C

证明设分点为P(xo,yo)，则分割比入=”,

PB

_芭+迎_X+>为

(4工一1)

P(xo，yo)在直线Ax+By+C=()上,

f)+喈"=。

Axi+Byi+C+X(Ax2+By2+C)=0

图(3)

Ax+By+C

A—111

AX2+By2+C

8、证明一直线上二线段之比是仿射不变量。

证明：若直线a上两线段AB和CD经仿射变换T后与直线以上的两段

A'B，和C'D对应图(3)

ABBCA'13'得证

~CD~~BC'CD~~^C'CD'~~CD,y°

9、证明图形的对称中心是仿射不变性，图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性？

证明：设仿射变换T将中心对称图形F变为图形F,点。是F的对称中心，

A.B为图形F上关于点O对称的任意一对对称点。

设T(O)=Of,T(A)=A'T(B)=B'(>

VT(F)=F',由结合性，点A,,B在图形F上;

由简比不变性,（ABO）=（A'B'O%

所以F是中心对称图形，从而图形的对称中心是仿射不变性。

如果点A、B关于直线/（平面兀）对称，则线段AB_L/（AB±n）o

但仿射变换不保留角的度量，所以当T（A）=A',T（B）=B',

T（7）=r（T（71）=尸）时，线段AB不一定垂直线r（平面兀）

10、在仿射坐标系下，直线方程是一次的。

证明：设在笛氏坐标系下直线方程为：Ax+By+C=O（1）

（x,y）为笛氏坐标，（（，y'）为仿射坐标。

笛氏到仿射的变换式为：四％工0（2）

［），'=东+价+44A

x=ax,+ay,+a电力。

设其逆变换为:r2（）4⑶

y=bix+b2y+b0瓦b2

将（3）式代入（1）,得

A（a/A,+a2.V，+a>）1B（6*+历），'+尻）tC=0,

即：（Aai+Bb]）V+（Aa2+Bb2）y'+Aao+Bbo+C=O,

记为：Af+By+C=O是M,y，的一次式。

其中A=Aa）+Bbi,B=Aaz+Bb?,C=Aao+Bb（）+C（）

且木月不全为0,若不然，Aa）+Bbi=O,Aa2+Bb2=0

4q

=0与，工o矛盾、

ab、

11、利用仿射变换式，试求在仿射变换下，三角形的面积是怎样改变的?

（从而明确1.2定理5所指常数的意义）。

解:△AiA2A3V和△XIA\A'3的面积分别以S,S'表示,

0x+q2yl+%a2\X\+〃22>1+〃23

-n

ax+ay+a

K卬々十%必+/2]222223

anx3+ai2y3+a13aux3+a22y3+a23

0

1I=>=＞弓=。|（常数）

=­a

2>21k1222。

%HI%%

这结果与§1.2系2一致，三角形（从而多边形或曲线形）的面积经仿射变换后乘以

一个常数匕此地进一步明确了这常数就是仿射变换式的行列式的绝对值，仿射变

换式不同，这常数也不同。

12、在等腰悌形中，两底中心，两对角线交点，两腰（所在直线）交点，这四点显

的像点,

•・•(ABC)—=2,而(ABCs)=任二1,

BCBC

・•・(ABC)(ABiCx)，即中心投影一般不保留共线三点的简比。

2、以下面的坐标表示的直线是怎样的直线？

(1)(1,1-1)：(2)(1,-1,0)；(3)(0,1,0)。

解利用点线结合方程：U[Xi+U2X2+U3X3=O.

(1)*.*U1=1,U2=1,U3=—1,/.X1+X2-X3=0,北齐次化为：X+y—1=0.

(2)X]—X2=0或x-y=o。(3)X2=0或y=0是x轴的方程。

3、求联接点(1,2,-1)与二直线(2,1,3),(1,-1,0)之交点的直线方程。

解先求二直线(2.1,3),(1,一1,0)的交点坐标：

13322

XI：X2：X3==3:3:-3=1:1:-1

-10011-1

再求两点(1,1,—1)»(1,2,-1)的联线的坐标:

1-1-1111

U|：U2：U3==1:0:1所求直线方程为：xi+x?=0或x+l=0

2112

4、求直线(1,-1,2)与二点(3,4,—1),(5,—3,1)之联线的交点坐标。

解：先求二点(3,4,-1),(5,—3,1)的联线坐标:

4-i-1334

Ul：U2：U3==l:-8:-29

-31155-3

再求二直线(1,-1,2),(1,-8,-29)的交点坐标:

X|：X2：X3=二;邪;卜国=45:31:-7

所求交点坐标为(45,31,-27)o

5、方程ULU2+2U3=0代表什么?U|2—U22=0代表什么？

解：方程川一U2+2U3=0表点（I,—I,2）的方程

或表示以点（1，-1,2）为中心的线束方程。

VU|2-U22=（U1+U2）（Ui-U2）=0,

・・・U|+U2=0表示点（1,1,0）的方程；U]—U2=0表示点（1,—1,0）的方程。

・・・山2一武二。表示两点（1,1,0）和（1,-L0）的方程。

6、将2x-y+l表示成3x+y-2,7x-y的线性组合，这种表达的几何依据何在？

解：设2x—丫+1=九（3x+y—2）+n（7x—y）=（3X+7g）x+（X—ji）v—2k,

32+7〃=2

得方程组=解得：A=—,//=-

-22=122

2x—y+1=—（3x+y—2）+l（7x—y）o依据是若令它们为零，所得三直线共点，

22

7、将（2,1,1）表成（1,一1,1）和（I,0,0）的线性组合，这说明什么几何性质？

解：设（2,1,1）=X（1,-1,1）+g（1,0,0）（1）

4+〃=2

则-4=1此方程组无解，

2=1

即找不到入和d满足（1）式，这说明它们表示的三点（线）不共线（点）。

8、求直线x-2y+3=0上的无穷远点的坐标。

解；x_,=0是无穷远直线方程

.Jx]-2X2+3xy=0

七二°

从而X1—2X2=0,取X1=2,得X2=l,所求无穷远点坐标为（2,1.0）。

9、下列概念，哪些是仿射的，哪些是欧氏的？

①非平行线段的相等;②不垂直的直线；

③四边形；④梯形；

⑤菱形：⑥平行移动；

⑦关于点的对称；⑧关于直线的对称;

⑨绕点的旋转；⑩面积的相等。

答：①欧氏；②欧氏；③仿射；④仿射；⑤欧氏；

⑥仿射；⑦仿射；⑧欧氏：⑨欧氏；⑩仿射。

第三章一维射影几何

1、设A、B、C、D、E为直线上五点，证明(AB,CD)(AB,DE)(AB,EC)=1。

ACBDADBEAEBC.

证明：(AB,CD)(AB,DE)(AB,E。---------------------------------------=i

ADBCAEBDACBE

2、证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共规点。

证明：设C为线段AB的中点，为直线AB上的无穷远点，

(ABCDx)=ACBl^=—=-\

ADC-BCBC

3、直线上顺序四点A、B、C、D相邻两点距离相等，计算这四点形成的六个交比的值。

解：(AB,CD)=^D=2^2=4

ADBC3x13

13

(AB,DC)=-------------=-

(AB,CD)4

4।

(AC,BD)=1-(AB,CD)=1一一=一一

33

(AC,DB)=------!------=-3

(AC^BD)

3I

(AD,BC)DC)=\--=-

44

(AD,CB)=------!-------=4

(AD,BC)

4、求四点(2,1,-1),(1,-1,1),(1,0,0),(1,5,-5)顺这次序的交比。

解：以(2,1,一1)和(1,-1,I)为基底。

则(2,1,-1)+阳(1,一1,1)=(1,0,0〕

2+M_I_4】_1+4

=1；

1-0-0

(2,1,—1)(1，—1，1)=(1,5,-5)

・2+也_1-必__]+〃2_〃__2

,,丁一丁一"^-"一5

所求交比为.••旦=-2

〃23

5、设P|,P2,P4三点的坐标为(1,1,1),(1，-1,1),(1,0,1)旦(PR,P3P4)=2,

求点P3的坐标。

解：以P1，P2为基底，贝|J(1，1，1)+&(1，一1,1)8(1，0,Do

设山是基底h，P2表示P3的参数，由已知条件(P|P2,P3P4)=丛=2,且收=1,

〃2

・,•阳=2,因此，P?的坐标为(1,1,1)+2(1,-1,1)=(3,-1,3)。

6、设A、B、C、D为共线四点，O为CD的中点，1.OC2=OAOB,证明(AB,CD)

证明：•••OC2=OAOB=>qg=丝，由合分比得OC—OA二°B一℃

OAOCOC+OAOB+OC

因此———=———,(VOC=-OD)

OA-ODOB-OD

,日口…「八、

=——AC=——CB=-A-C---B--D-=-l,即：(A3,CO)=-11,

DADBADBC

7、设A、B、C、D成调和点列，即(AB,CD)=-1,求证-=

CD2CACB

证明：由假设得：(AB,CD)="C•=-1nAC•BD+BC・AD=0(1)

ADBC

VBD=CD-CB,AD=CD-CA,代入(1)式得

AC(CD-CB)+BC(CD-CA)=0,

化简得：ACCD-ACCB+BCCD-BCCA=O,

-CACD+CACB-CBCD+CBCA=O

2CBCA=CACD+CBCD(2)

以CACBCD除(2)式两边，得：—=1(—+—).

CD2CACB

8、证明在X轴上由方程anx2+2ai2X+a22=O和bnx2+2bi2x+b22=O之根所决定的两个点偶

成调和分割的充要条件是a11b22—2a12b12+a22bli=0。

证明：必要性，设两方程的根依次是X|,X2和X3,X4,则

X|+X2=--?^-，X|-X2=也

即«1|

X3+X4=--^^-»X3-X4=组(1)

*久

若(X|X2,X3X4)=-1，即(-一止乂丁5)=_]

(%-x4)(x2-x3)

有(X|-X3)(X2-X4)+(X[-X4)(X2-X3)=0,

2(X1X2+X3X4)—(X1+X2)(X3+X4)=0,(2)

将(I)代入(2),得：也+%.一招&=0

仇]a”44

anb22+a22bn-2a122bl2=0。

充分性，以二一乘a“b22+a22bli-2ai2bl2=0的两边，得

2力22+2/2_2的.助12_0

3%%如

将(1)代入上式后按必要性步骤倒推即得：(X|X2,X3X4)=-lo

9、试证四直线2x—y+l=0,3x+y—2=0,7x一尸0,5x—l=0共点，并顺这次序求其交比。

证明：以2x—y+l=O和3x+y—2=0为基线表示7x—y=0,5x—1=0,

,.,7x—y=0与(2x—y+1)+Xi(3x+y—2)=0重合,

.7-I0,1

2+34-1+41-24”2

•・・5x—l=0与(2x-y+l)+/(3x+y-2)=0重合.

.50-1.

••---------=----------=----------=Z0,=1,

2+34-I+/L1-2%'

所求交比为a二,，由于交比存在，所以四直线共点。

42

10、试证，一角的两边和它的内外分角线成调和线束。

证明：设直线c、d是a、b为边的角的内外分角线，

以直线/截a、b、c、d分别于A、B、C、D

V(AB,CD)二一".史二一”堂

ADECCBADSBSA

(ab,cd)=(AB,CD)=—I<>

II、ABCD为平行四边形，过A引AE与对角线BD平行，证明A(BD,CE)=-1。

证明：设ACxBD—O,AEKBD-PX>(图7),4

因此A(BD.CE)=(BD,OP*)

=(BDO)=—=-lP'/V

DO

图7

12、AB为圆之直径，C为直径延长线上一点，从C句圆引切线CT,证明T在AB上的

垂直射影D是C对于A、B的调和共枕点，若C在线段AB本身上，如何作它的调

和共匏点？

证法1：设O是AB的中点，・・・OT_LCT,TD1AB

.\OT2=ODOC,epOA2=ODoc,

由本章6题结论得(AB,CD)=-1。A\^°

证法2：NATD=/ATE,ZDTB=ZBTC,

ATB,TA是NDTC的内外分角线(图8),图8

因此(AB,CD)=T(AB,CD)二一1。

如果C在线段AB内部，过C作CT_LAB交圆于T,过T作圆的切线交AB的

延长线于D,则A,B调和分割C.D.因为当C确定后，T也确定，所以点D

唯一确定。

13、设两点列同底，求一射影对应使0,1,8分别变为1,oo,0

解：设第四对对应点为X,X',由于射影对应保留交比不变，

所以(01,8X)=(loo,Ox')

由交比性质得：［10,xoo)=(0x,»loo),即：(1Ox)=(Ox'l)>

展开得：言=¥=八七'且0

=1^0

-11

14、设点列上以数X为笛氏坐标的点叫做X,试求一射影对应，使点列I:的三点1,2,3

对应于点列上三点：

(1)4,3,2；(2)1,2,3;(3)-1,-2-3

解:设第四对对应点x,x\

(1)*/(12,3x)=(43,2x')

2(x—2)—2(V—3)5

(x-1)-13-4)'1

10

(2)•・•(12,3x)=(12,3x),・・.x'=x为恒等变换，且二1工0

01

-10

(3),:(12,3x)=(-1-2,-3x,),,・.x'=-x且

01

15、当射影对应使一点列上的无穷远点对应于另一点列上的无穷远点时,证明两点列的

对应线段成定比。

证法1：•・•三对对应点ATA，,B—BTCsfC's决定射影对应，

设MTM'为任一对对应点,则由(AB,CzM)=(AB,CW)得:

(ABM)=(A'B'M'),

AM'AMA"B'M'A:B'

即----=----=>=------==/Etuo

B'M'BMAMBMAM-BMAB

b

a+—

,ax+bb

证法2：射影变换式为:x=----且-----W。或：X=——y

cx+dda

c+一

X

因为当X-8时，X1—所以C=0。

此时射影变换式为：/=竺土2,或dx'—ax—b=O。

d

设Xi—►Xi',X2X2’为两对对应点，因此

dxf-axi-b=0①

dxi'_axz-b=0②

①式减②式，得d(xi'—X2')=a(xi—X2)=>土二土"二g二定比。

%-X-,d

16-.圆周上的点和其上二定点相联得两个线束，如果把线束交于Mi

4

图9

圆周上的两线叫做对应直线，证明这样的对应是射影的。

证明：设A,A，为圆周上二定点，Mi(i=l,2,3,4)为圆周上

任意四点(图9)

.A(MiM2，M3M4)=------------------=---

sinZ.M}AMA-sin

sinNM|A'M『sinNM、A'M4

sin/Mm'M.sinNA^A'M，

=A'(M1M2M3M4)>

AA'(MJM2,M3M4AA'(MIM2,M3M4)

17、从原点向圆(X-2)2+(y—2)2=1作切线U,t20试求X轴，y轴，U,t2顺这次序的交

比。(设h是邻近X轴的切线)

解：设直线y=kx与圆相切，则芈W=1,两边立方得:33一弘+3=0,

y/l+k2

解得：kl,2=生".

3

•・“邻近X轴，・・・t|的斜率为k尸七二目.t2的斜率为k2=±1近，

33

因此ti的方程为y--——x=0,tz的方程为y-4+/x=0,

33

故(xy,ti,t2)=卜=4一4。

k24+V7

18、设点A(3,1,2),B(3,-1,0)的联线与圆x2+y2—5x—7y+6=0相交于诙点C

和D,求交点C,D及交比(AB,CD)。

解:圆方程齐次化：X12+X22—5X1X3—7X2X3+6x?3=0,设直线AB上任一点的齐次坐标是

(3+3九，1-X,2),若此点在已知圆上，则

(3+3九)2+(1-X)2-5(3+3入)2-7(1~k)2+6x22=0,

化简得：1()九2—1()=0,Aki=l,k2=-h即直线AB与圆有两个交点，

设箱，入2分别对应的交点是C,D,则C的坐标是(3,0,1),D的坐标是(0.1,1)

且(AB,CD)=A=-1.

4

19、一圆切于x轴和y轴，圆的动切线m交两轴于M及Ml试证{M}A{M'}.

证明：设圆半径为r,M(a,0),M'(0,b),a,b为参数(图10),

则m的方程为2+看=1或bx+ay-ab=0,由于ni与圆相切,

因此厂=丝丝马，此式两边平方，

得r2a2+rb2+a2b2+2abr-2a2br-2b2ar=a¥+b212,

1-2r

或ab—2ra—2rb+2r2=0=-2r0

1-2r2r2

图10

・••点M,M，的参数间有一个行列式不等于零的双一次函数，

故{M}A{M'}o

20、x表直线上点的笛氏坐标，这直线上的射影变换/=也土2,取一卸女),在什么条件

yx+d

下以无穷远点径为二重点。

解：设x=x，是无穷远点，因此

"2a

limx=Jim----=—=oo=>y=0

X-*XXB6y

r+-

X

所以，以无穷远点作为二重点的射影变换是

：，="12=公+反其中4=0力=&

S66

21、设两个重迭一维射影几何形式有两个二重元素Si、S2,证明它们之间的对应式

nJ以写作=攵匕❷上是个常数。

〃'-S2〃-S2

证明：已知S|—S2，S2—»S2,设内一>|1'|是第三对对元素，N—喂是任一对对应元素，

因为三对对应元素确定唯一射影对应，

:.(S)S2，阳N')=(S1S2,m'H'),因而(从一4)(〃-S2)=(4-$)("-5?)

(〃-S])(〃[-$2)(“-，)(〃：-52)

故.(〃'-、)_(〃：-3)(M-SD(〃-S|)_k(〃一卯其中k=(“-S])(〃|-$2)

(〃'一52)(X-S2)(/7(-st)(//-S2)(jU-S2)(〃:一邑)(〃一S1)

22、设Si.S2是对合对应的二重元素，证明这对合可以写作：巨二区+幺二2=0

〃'一§2P-S2

证明：设N-H是对合对应下任一对对应元素，从而(S|S2,卜£)=-1,即

〃-S|〃’$2=_]或〃一，二〃’S]

52〃'一$52〃'一S2

23、一直线上点的射影变换是超，证明这直线上有两点保持不变，且这两点跟

x+4

任意一对对应点的交比为一常数。

证明：设固定点为x=x',所以

x(x+4)=3x+2,§PX2+X-2=0,解得固定点为x=-2和x=l

设任一对对应点为x,2出，

x+4

3x+2)_5(JV-1)(X4-2)_5

交比：(1,—2,x(常数)

x+42(A•十2)(内一1)2

24、试证对合对应的二线束中，一般只有一对互相垂直的对应直线，若有两对互垂的对

应直线，则每对对应直线都互垂。

证明：取二线束公共顶点为原点，取对应线的斜率为晨M则对合方程为

aM'+ba+X）+d=O,且ad-b2#O,互垂对应线应满足状=一1,

所以原?+乎+"）+"=°=>6储一3々）2-〃=0CDA=（fl-6/）2+4/?2>0

所以当方程（1）有两个不等实根箱,治时，只有一对互垂对应线,

这是因为箱九2二—2=—1,因而入「二一_!_=九2,x'：=---=iio

b44

当方程（1）有两个相等实根时，必须a-d=o,b=0,这时对合变为簿?=一1,

每对对应线都互垂。

25、设A,A'：B,B'；C,C是对合的三对对应点，试证(ABC)(BCAD(CAB,二1。

证明：由对合对应的相互交换性，有ATA，，A->A,C->C,

所以(AB,A'C')=(AB',AC),

工曰舛AA'BC'A'ABrBCB'CACBNCB,.

于zt.得-------=-------------------=------------------------=1

ACA'CB'AACBAA'CB'ABCCA1AB1

/.(ABC)(BCA*)(CAB')=1

26、AB是定圆直径，作一组圆使其中心都在直线AB上并且都跟定圆正交，证明这

组圆跟直线AB的交点构成一个双曲对合。

证明：设圆O'是与定圆O正交的任一圆，T为一个交点，且圆O与直2交于点和

P（图11）

222

己知OT_LOT,AOT=OPOP',即OA=OB=OPOP'aA

・••点P,P'是以A,B为二重元素，O为中心的双曲对合

的一对对应点。

图11

27、O是笛氏正交坐标的原点，A是y轴上一定点，以A为顶点的直角绕A旋转，证

明直角两边被x轴所截的点偶构成一个椭圆型对合。

证明：设直角边交x轴的任怠两个位置为Ai，A2;BI，B?（图12）

22

设OA=k,则0A।OA2=OBIOB2=OA=k,

因为A”A2；BI，B2在x轴上的位置为一正一负，

故OAIOA2=OB「OB2VO,向

图12

因而A”A2;BI，B2，......在x轴上构成椭圆型对合

第四章代沙格定理、四点形与四线形

1、设△ABC的顶点，A,B,C分别在共点的三直线a,丫上移动，&

且直线AB和BC分别通过定点P和Q,求证CA也通过PQ卜/

上一个定点（图13）。

证：设Ao是a上的一个定点，AoP交p于Bo，B（）Q交丫于Co，

则A（Co是定直线（图13）。若R是定直线AoCo与定直线PQ产青弓

的交点，从而R是PQ上的定点，若△ABC是合于条件的，\|/

因为在△ABC及△AoBoCa中，AoA,B（）B,CoC共点，

图［3

根据代沙格定理，P,Q及AoCoxAC共线，即AC通过AoC（）xPQ=R（定点）。

2、△ABC的二顶点A与B分别在定直线a和0上移

动，三边AB,BC,CA分别过共线的定点P,Q,

R，求证顶点C也在一定直线上移动。

证：设ax（3=0（定点），△AoBoCo是满足条件的定三角形，

△ABC是满足条件的任意三角形。

VAoBoxBC=Q,AoCoxAC=R,由代沙格定理逆定理得,

三线AoA,BoB,C（）C共点O,即C在定直线C0O上移动（图14）。

3、设P,Q,R,S是完全四点形的顶点，A=PSxQR,B=PRxQS,

C=PQxRS,

证明A尸BCxQR,B尸CAxRP,G=ABxPQ三点共线。

证：在AABC及^PQR中（图15）,TAP,BQ,CR共点

,对应边的交点C尸ABxPQ,B|=CAxRP,Ai=BCxRQ三点共线。

4、已知线束中的三直线a,b,c求作直线d使（ab»cd）=-1o

解:设线束中心为S,以直线I分别截a,b,c于A,B,C

在直线c上

任意取一点Q,联AQ交d于R,联BQ交a于P,联

PR与1交于D（图16）,则直线SD为所求。

因为，5PQR构成一完全四点形，/.（AB,CD）=-1,

从而(ab,cd)=(AB,CD)=-1«

5、设AD,BE,CF为△ABC的三高线，EFxBC=D',求证（BC,DD）=~1,

在等腰三角形AB=AC的情况，这命题给出什么结论？

证明：设P为△ABC的垂心，由完全四点形

AFPE（图17）的性质，

得（BC,DD）=-!＜）

在等腰△ABC中，若AB=AC,D为垂足，

因而D为BC的中点。：（BC,DD'）=-1,

图17

所以。为BC直线上的无穷远点，

因而FE〃BC。

即在等腰三角形中，底边的顶点到两腰的垂足的联线平行于底边。

第五章射影坐标系和射影变换

ax+p

1、将一维笛氏坐标与射影坐标的关系:,aS-加工0⑴以齐次坐标表达。

yx+6

解设一维笛氏坐标系中，一点的坐标为X,则齐次坐标为（Xi，X2），且*=%，

七

一点的射影坐标为3齐次坐标为（兀入2）且a=2,将入和X代入关系式（1）

4

a土+夕

有二二」一,化简得：_i

（夕工0）

4y五+3ax}+（）x2yxx+Sx2p

占

且“'工0为齐次变换式。

成=/%+yb

2、在直线上取笛氏坐标为2,0,3的三点作为射影坐标系的Ai,A2,E,（i）求此直线上任

一点P的笛氏坐标x与射影坐标九的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？

解：笛氏坐标!?3x

射影坐标：A2AlE\

（i）由定义X=(A1A2，EP)=(20,3x)=(3-2)(.

(x—2)(3—0)3x-6

10

故一=六且=6*0

36

（ii）若有一点它的诙种坐标相等,即I则有户去,即3x2f;。，

・••当x=0及x=1时两种坐标相等。

3

3、在二维射影坐标系F，求直线AiE,A2E,A3E的方程和坐标。

解：坐标三角形顶点Ai(1,0,0),A2(0，1,0),A3(0,0,1)和单位点E(L1,

Ax2x3

1)设P(xi，Xz,x3)为直线AiE上任一点，其方程为：100=0

111

即X2—X3=0,线坐标为(0,1,—1)

内X2工3

直线的方程为：=()，即XLX3=0,线坐标为(1，0,—1);

A2E010

111

内&x3

直线的方程为：=0»即X2—xi=0,线坐标为（―1,1,0）

A3E001

111

4、写出分别通过坐标三角形的顶点AI,A2,A3的直线方程。

解：设平面上任意直线方程为

uix1+112x2+113x3=0,过点Ai(l,0,0)时川二0,即为112X2+113X3=0,

过点A2(0,1,0)时U2=0,即为U[X]+U3X3=O，

过点A3(0,0,1)时113=0,即为111X1+112X2=0。

5、取笛氏坐标系下三直线x—y=0,x+y—1=0,)<—2=0分别作为,

-,1）为单位点，

坐标三角形的边A2A3,A3A1，A\A?,取£(

22\4

求一点的射影坐标(X1，X2，X3)马笛氏坐标（x,y,t）的关系。

解：E(—,1),.*.e)=—二，e2=^=>e?=—

o（图i8）

22-V2V2-2

0s

任意一点M(x,y)到三边的距离为：

x-v_.V+y-1x-2图18

二射影坐标（Xi，X2，X3）与笛氏坐标的关系为：

pxi=3=x—y：pX2=—:=x+y-3pX3=2=12x+4t

G