2025中考数学复习 圆的证明与计算 基础练习 （学生版+解析版）

2025中考数学复习圆的证明与计算练习

I.如图，A3为。。的直径，C、尸为。。上两点，且点。为弧身邙勺中点，过点C作Ab的垂线，交4户

的延长线于点E，交A3的延长线于点O.

(I)求证：DE是。。的切线；

(2)如果半径的长为3,tan。.，求的长.

4

2.如图，A8是2。的直径，A。是O。的弦，。是A8延长线上一点，过点B作BE工CD交CD于E,交

。于/，NEBC=2NDAC.

(1)求讦：C/)是O的切线：

3

⑵若COSN4^'=M，。。的半径为5,求3。的长.

3.如图，中，AB=ACf。为AC上一点，以。。为直径的CQ与AB相切于点E,交BC于点F,

FGJ.AB,垂足为G.

⑴求证：尸G是，O的切线；

(2)若BG=1,BF=3,求C/的长.

B

4.如图，A3是0。的直径，。。是0。的弦，AB工CD,垂足是点〃，过点。作直线分别与A8,AZ)的

延长线交于点E，F，且NECD=2NBAD.

(1)求证：C/是。的切线；

(2)如果A8=20,CD=12,求力石的长.

5.如图，在，八4c中，AB=BC,AB为:。的直径，AC与。相交于点D,过点D作DE_LBC于点E,

6延长线交O干点上

⑴求证：DE为。的切线；

Q)若BE=1,BF=2,求AQ的长.

6.如图，O是48。的外接圆，AQ是。的直径,E是A。延长线上一点，连接CO,CE且NQCE=NC4O.

(1)求证：CE是，O的切线；

3

(2)若cosB=g,4。=10,求瓦)的长.

2

7.如图，已知A8是O。的直径.点P在的延长线上，点。是上一点.连接〃£>,过点B作跖垂

直于P。，交。。的延氏线于点C、连接A0并延长，交BE于点E,且=

(1)求证：PD是。的切线；

4

(2)若PA=2,lanB=-f求OO半径的长.

8.如图，在6AAe中，NACB=90。，点。是A3上一点，且"(7。=4乙4,点。在AC上，以点。为圆

心的圆经过C,。两点.

⑴求证：A8是。的切线；

3

(2)若sin8=w，GO的半径为3,求AC的长.

9.如图，在.A4C中，AB=AC,以A8为直径的。分别交AC、BC于点、D、E.点尸在AC的延长

线上，且NCB尸=!NC48.

(1)求证：直线8/是。的切线；

⑵若AB=3,sinZCfiF=—,求即的长.

B

10.如图，在RtZWBC中/48C=90°,斜边八C的垂直平分线交BC与。点，交人。与£点，连接座.

(1)若既是.OEC的外接圆的切线，求/C的大小？

(2)当八9=1,8c=2时，求.OEC外接圆的半径.

11.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,A。平分N84。交8c于点。，。为4B上一点，经过点A、。的0。

分别交A3、AC于点E、F.

(1)求证：BC是。的切线；

(2)若8E=8,4]8=得，求O的半径;

(3府(2)的条件下，求A。的长.

12.如图，4B为。。的直径，C为B4延长线上一点，CO是[一。的切线,。为切点，。产人心于点心

交CD于点、F.

(1)求证：ZADC=ZAOF；

4

(2)若cosNOCB=《，BD=24,求石厂的长.

4

13.如图，以A3为直径的。。交BC于点。，DEJ.AC,垂足为瓦

(1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：,使直线QE为。。的切线，并说明理由;

2

(2底(I)的条件下，若。E=6,lan/AOE=7,求。。的半径.

14.如图，A8是：。的直径，或8_LA4于点E,点〜在：。上,

(1)求证：CB〃PD,、

(2)若KC=12,BE=8,求O的半径.

15.如图，在ABC中，AB=AC,以AA为直径的O交边AC于点D,连接8D,过点。作CE〃48.

(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点8作。的切线，交CE于点、F；(不写作法，保留作图痕迹，标明

字母)

(2底(I)的条件下，求证：BD=BF;

(3府(1)的条件下，CF=2,BF=6,求。。的半径.

16.如图，在.ABC中，48=90。，点。是A3边上的一点且47=8.

(1)实践与操作：以BC为直径作©O,交AB于点E;

(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)

(2月隹理与计算：在(I)的条件下，延长CO交0。于点尸，连接CE,EF.

①求证：CE=EF；

②若BE=2EF,BD=3也,求的半径.

17.如图，A8C内接于O,AB是O的直径，点。在A8的延长线上，且4c。=NA,点E为AC的

中点，连接0E并延长与DC的延长线交于点F.

(1)求证：CO是。的切线;

(2)若CO=4,tanA=-,求C尸的长.

18.如图，以口ABCD的边BC为直径的。0交对角线AC于点E,交CD于点F.连结BF.过点E作EG1CD

于点G,EG是。O的切线.

(I)求证：uABCD是菱形;

(2)已知EG=2,DG=1.求CF的长.

6

19.如图1,AA为的直径，。为上一点，点。为AC的中点，连接ADCD,过点C作C五〃A。

交A3于点E,连接DE,DB.

(1)证明：DC=DE.

(2)如图2,过点。作O的切线交EC的延长线于点凡若AO=狡，且AC=4C，求七厂的长.

20.如图，以平行四边形的一边A8为直径的圆交边4c十点E,交对角线AC十点F,G是边CO上

的一点，连接AG,且BE=DG.

(1)请在以下三个条件中任选一个：,证明：直线AG是圆M的切线.

①NAG£>=NAC8：②尸是弧AE的中点：③E是8c的中点.

(2)在第(1)间的条件下，若直径为4,连接即并延长交AG于点N,47=3,求四边形A8C。的面枳.

21.如图，A4为。。的直径，C为〈。上一点，A。与过点。的切线互相垂直，垂足为点。，A。交于

点、E，连接CE,CB.

(1)求证：CE=CB；

(2)若AC=6,CE=2,求CO的长.

22.如图，是的外接圆，人。是C。的直径，F是A0延长线上一点，连接CD，。尸，且

ZDCF=ZCAD.

⑴求证：C厂是o切线；

3

(2)若直径AO=5,cos^=-,求/。的长.

23.如图，/4C内接于CO,N8=60,CO是GO的直径，点P是CO延长线上的一点且=AC.

(1)求证：弘是，。的切线；

⑵若人K=3+3&,RC=6,求GO的半径.

24.如图，点。在以A8为直径的一。上，点。是3c的中点，连接。。并延长交GO于点七，作NE4P=N£4C,

4P交OE的延长线于点P.

(I)求证：PB是。的切线；

(2)若AC=2,PD=6,求OO的半径.

8

25.如图，A8是0。的直径，点。是上一点（不与点A,3重合），连接人C,BC.

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出-ACB的平分线，交CQ于点D（保留作图痕迹，不写作法）

（2）如图2,在（1）的条件下，过点。作，。的切线，分别交C4、C8的延长线于点E、F,连接DA、DB,

若AB〃EF,AC=6,BC=8,请求出E尸的长.

2025中考数学复习圆的证明与计算练习

I.如图，A3为。。的直径，C、尸为。。上两点，且点。为弧身，的中点，过点C作的垂线，交4户

的延长线于点E，交A3的延长线于点O.

（I）求证：OE是。。的切线；

（2）如果半径的长为3,tan。.，求的长.

4

【答案】（1）证明见解析；（2）y.

【详解】试题分析：（1）连接。C,如图，由弧BC二弧。/得至IJ/84ON必C,加I上NOCA=NOAC.则

ZOCA=ZMC,所以OC〃A£,从而得到。C_LOE,然后根据切线的判定定理得到结论；

3

（2）先在RSOC。中利用正切定义计算出CD=4,再利用勾股定理计算出。0=5,则sinZ>k，然后在

RtAAQE中利用正弦的定义可求出AE的长.

试题解析：解：（I）连接OC，如图.•・•点C为弧8厂的中点，，弧40弧CK・・・N84C=N加C.・・・OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC,AZOCA=ZFAC,：.OC//AE.*：AE1DE,：.OC1DE,是。。的切线;

QQ3_________

(2)在RtZkOCO中，VtanZ)=—=^-,OC=3,ACD=4,A0D=7oC2+CD2=5,：,AD=OEH-AO=S.在

R34DE中，VsinD=—=—=：.AE=—.

点睛：本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂

直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时,

常常“遇到切点连圆心得半径

2.如图，A3是的直径，4）是G。的弦，。是A8延长线上一点，过点4作8E_LCO交C。于E,交

0。于产，/EBC=2/DAC.

10

⑴求证：CO是。的切线：

3

(2)若COS/A8F=M，OO的半径为5,求AC的长.

【答案】(1)见解析

(2)BC=y

【分析】

(I)连接0力，由等腰边对等角，三角形外角定理，可得/K8C=2/D4C,卜是NDOC=/EBC,得到

BE//OD,进而即可得证，

3

(2)由3E〃OZ),cosNOOC=cos448/二二，根据余弦定义，M求0C,进而可求8C,

5

本题考查了，切线的判定，平行线的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理.

【详解】(1)解：连接。。，

"：OA=OD,

・•・/DAO=zlADO,

/.NDOC=ZDAO+ZADO=2ZDAO,

NEBC=2/DAC,

・•・NDOC=NEBC,

:・BE〃OD,

■:BE1CD,

・•・（〃）_LC/J,

...8是。。的切线,

(2)解：由(1)得BE〃OD,

，4DOC=NFBA,

VOD1CD,

3

・•・cosZ.DOC=cosNABF=j,

.3日口5325

.,文二7即：文=“解得：℃=§'

・•・BC=0C-0B=—-5=—,

33

故答案为：4C=与.

3.如图，A3C中，AB=AC,Q为4C上一点，以CD为直径的CO与A〃相切于点E,交BC于点F,

FG1AB,垂足为G.

⑴求证：尸G是，。的切线；

（2）若BG=1,BF=3,求CF的长.

【答案】（1）见解析

⑵殍

【分析】（1）连接。£。尸，设NODF=4OFD=B,"FC=a,根据已知条件以及直径所对的圆周角

相等，证明90。，进而求得——即可证明尸G是。的切线；

（2）根据已知条件结合（I）的结论可得四边形GEO尸是正方形，进而求得。C的长，根据

ZBFG=NFDC=0,sin,即可求解.

【详解】（I）如图，连接。尸，。尸，

OF=OD,

则NODF=N。肛

,设ZODF=4OFD=。，4）FC=a,

12

D

OF=OC,

"OFC=£OCF=a,

DC为、O的直径，

AZDFC=90°,

/DFO+OFC=Z.DFC=90°,

即a+尸=90。，

AB=AC,

.•."=ZACB=a,

•/FG±AB,

ZGFB=90°-ZB=90°-«=/7.

ZDFB=ZDFC=90°,

:"DFG=90。-NGFB=90°-。=a,

，GFO=GFD+DFO=a+/=90。,

•.OF为OO的半径，

.：FG是OO的切线；

(2)如图，连接OE,

AB是。的切线，则又OFtFG,FG工AB,

••・四边形GEO产是矩形，

OE=OF,

••・四边形GEO厂是正方形,

/.GF=OF=-DC

2t

在中，BG=1,8F=3,

FG=dBF'-GB?=2x/2，

DC=4y[i，

由(1)可得NBFG=NFDC=尸,

FGIA^DFIFC,

.・.疝6=0=生

BFDC

1二FC

解得?。=逑.

3

【点睛】本题考查了切线的性质与判定.TF方形的性质与判定.等腰二角形的性质.正弦的定义,掌握切

线的性质与判定是解题的关键.

4.如图，AA是1。的直径，C。是（O的弦，ABA.CD,垂足是点〃，过点C作直线分别与AB,A/）的

延长线交于点E,F,且NECD=2NBAD.

⑴求证：。尸是。的切线;

(2)如果AB=20,6=12,求AE的长.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）连接OC,BC,利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质和圆的

切线的判定定理解答即可；

（2）利用勾股定理在RtOC〃中求出OH=8,同理求出8。=2而，八。=6屈，利用切线的性质及勾

14

股定理建立等式解答即可.

【详解】（I）证明：连接0C、BC,如图所示:

是。的直径，

/.Z4CB=9(F,AO=OB,

ABIC。，

.：,45平分弦。。，A3平分C。，

:.CH=HD,CB=DB，4cHA==4CHE,

4AD=NBAC=/DCB,

4ECD=2/BAD,

:.乙ECD=24BAD=2NBCD,

/ECD=NECB+/BCD,

/RCE=NBCD,

;.4CE=/BAC,

OC=OA,

:./BAC=ZOCA,

:.乙ECB=4OCA,

ZACB=90°=ZOC4+ZOCB,

..乙ECB+NOCB=90°,

•••半径CO_LR7,

.•.er是oo的切线；

(2)解：A8=20,8=12,

在(1)的结论中有AO=O8=10,CH=HD=6,

在Rt.OC”中，OH=>1OC2-CH2=71O2-62=8^则AH=OA—O"=10-8=2,

在中，BC=>JCH2+BH2=2710»

在RLACH中，HA=OA+OH=8+10=18,贝U"卅+C/T=6加,

HE=BH+BE,

・••在RtAECH中，EC2=HC2+HE2=62+(2+BE)2,

a7是，。的切线，

^OCB=90°f

在RtAECO中，EC2=OE2-OC~=(OB+BE)1-102=(10+BE)2-IO2,

.\（10+fiE）2-102=624-（2+BF）2,

解得8E=5,

545

/.AE=AB+BE=20+-=—.

22

【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切

点的半径是解决此类问题常添加的辅助线.

5.如图，在,A3C中，AB=BC,AB为。的直径，AC与。相交于点。，过点D作DEJ.BC于点E,

C8延长线交。于点F.

⑴求证：DE为。的切线；

（2）若BE=1,BF=2,求人。的长.

【答案】（1）见解析；

⑵2G.

【分析】（1）根据已知条件证得。。即可得到结论；

（2）如图，过点。作0HJ.8/于点〃，则NODE=NDEH=NOHE=90。,构建矩形根据矩形

的性质和勾股定理即可得到结论.

【详解】（1）证明：•.•04=。/）,

:.^BAC=ZODA,

16

AB=BC,

:.^BAC=ZACB,

/ODA=ZACB,

:.ODBC.

DEJ-BC,

:.DE±ODt

OD是CO的半径,

:.DE是（O的切线;

（2）解：如图，过点。作。”_L86于点〃，则NODE=NDEH=NOHE=90。,

四边形（九花〃是矩形,

:.OD=EH,OH=DE,

OHLBF,BF=2,

：.BH=FH=-BF=\,

2

;.0D=EH=BH+BE=2,

.•..48=28=4，OHZOB^-BH?=5

：.DE=OH=岳,

BD=\IDE2+BE?=2,

/.AD=>lAB2-BD2=V42-22=2G­

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质.解题的

关键：（1）熟练掌握切线的判定；（2）利用勾股定理和垂径定理求长度.

6.如图，是A8C的外接圆，4。是CQ的直径,E是AO延长线上一点，连接CO,CEZDCE=ZCAD.

B,

A

O

EC

⑴求证：CK是，。的切线;

(2)若cos2?=—,AD=10,求ED的长.

【答案】（I）证明见解析

衅

【分析】（I）根据切线的判定，连接。C,证明出OC_L”1即可，利用直径所得的圆周角为直角可得答案；

33CD

（2）由cosB=5,根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得cos乙4OC=?=W，继而证明△氐:£>△E4C,

55AD

再根据相似三角形的性质可求出答案.

••,4)是【。的直径,

・・・/ACD=90。.

,ZC47)+ZA7)C=90o,

VZDCE=ZC4D,ZADC=ZOCD,

・•・/DCE+NOCD=90。,

NOCE=W,

JOC1EC,

・・・CE是，O的切线；

(2)解：・・・/3与-ADC所对的弧都是AC，

・・・NB=ZADC,

3

*.*cosB=-,

18

3CD

：.cosZADC=-=—,

5AD

VAD=10,

：.CD=6,

工由勾股定理得AC=7102-62=8，

VZE=ZE,

・•・AECD-△E4C,

.ECEDCD3

••百一百一就一屋

设EC=4x,EO=3x,

在Rt.OCE中，OE=3x+5.OC=5,EC=4x,

根据勾股定理可得：OC、EC2=OE2,

即：52+(4x『=(3x+5『，

30

解得：X=y,

.八一,3090

..DE=3x=3x—=—.

77

【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，

掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提.

7.如图，已知A8是4Q的直径.点P在84的延长线上，点。是。上一点.连接尸。，过点8作3£垂

直于PO,交P3的延长线于点。、连接A。并延长，交HE于点E,且AB=BE

(1)求证：PD是。的切线；

4

(2)若PA=2,tan/?=-,求。。半径的长.

【答案】(1)见详解

(2)3

【分析】（I）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出。。〃。石，再根据垂线、平行线的性质得出

ODLCD,由切线的判定方法即可得出结论：

（2）在直角三角形OOP中由锐角三角函数的定义以及勾股定理列方程求解即可.

【详解】（1）证明：如图，连接。。，

・"OAO=NOM

AR=RR,

:.4AE=/BEA,

:.ZODA=ZBEA,

：.OD〃BE,

BC±CD,

:.ODA.CD,

。£＞是。的半径，

二.PD是OO的切线：

（2）解：由（1）可知，OD//BE,

:"B=/POD,

4PD4

在Rt.POQ中，tanZPOZ）=tanB=-,即无=§，

设PD=4x,则OD=3x,

：.OP=ylPD2+Ob2=5x»

PA=2=5x—3x,

解得x=l,

,-.OD=3x=3,

即半径为3.

【点睛】本题考杳切线的判定，圆周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的边角关系,

圆周角定理以及切线的判定方法是正确解答的关键.

20

8.如图，在A/C'44,ZAC8=90。，点。是AA上一点，且N5CO=一乙4,点。在8c'上，以点。为圆

2

心的圆经过C,。两点.

(I)求证：人8是。的切线；

3

(2)若sinB=1,GO的半径为3,求AC的长.

【答案】(1)见解析

(2)6

【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形.熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键.

(I)连接。力，根据圆周角定理，得到N4OO=2N4C£>=N4,进而得到N4+NA=N3+N6O£)=90。，

即可得出A3是OO的切线；

(2)解直角三角形。。8,求出。B的长，进而求出8C的长，再解直角三角形AC8,求出AC的长即可.

【详解】(I)证明：直线A8与。O相切，理由如下：

连接OO,则：/BOD=2/BCD,

A

VZBCD=-ZA,即：2ZBCD=ZA,

2

:・/BOD=ZA,

「Z4CB=90°,

I.zlB±zlBOD=ZB+zL4=90°,

・•・NODB=90。,

：.ODLAB,

•・・o。为OO的半径，

工直线AB是的切线；

3

(2)解：VZODB=90Q,sin5=-,。的半径为3,

/.OD=(JC=3,sinli=,

OB5

：.0B=5,

・•・BC=0B+0C=8,

•・•ZACB=90°,

..aAC3

••sinB==一,

AB5

设AC=3x,AB=5x,

则：BC=\lAB2-AC2=4X=8»

：.x=2t

AC=3x=6.

9.如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的分别交4?、BC于点D、E.点尸在AC的延长线

上，且/C8尸二,NC4B.

2

A

BF

⑴求证：直线3厂是O的切线；

⑵若AB=3,sinZCBF=^y,求班'的长.

【答案】(1)见解析

(2)4

【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握各种性质是解题的

关键.

(I)连接人E,利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直

角，从而证明结论；

(2)作CG_L3/于点G,利用已知条件证明AGC^ABF,利用比例式求出线段长.

【详解】(1)证明：连接AE,

A8是O的直径，

/.ZA£B=90°,

:.NEAB+NERA=9(r,

22

AB=AC,

/.ZE4B=ZE4C,

/CBF=L/CAB,

2

:"CBF=/EAB,

NCBF+/EBA=90P,

即NAB尸=90。，

「•直线•是”的切线；

(2)解：作CG_L4/「于点G,

在RtAAB石中，sinZEAB=sin^CBF=—

5

,EB_x/5

「・----=----,

AB5

AB=3,

；.BEW

5

BC=2BE=—,

5

在RiBCG中,sinZCBF=—=—,

BC5

BC=还，

5

/.CG=1,

CG//AB,

GFCG

——=——,

BFAB

BG=ylBC2-CG2=—,

5

GF=BF-BG=BF-—,

5

CG=§,AB=3,

5

BF5

解得4"=4.

D

oC

10.如图，在RtaA3c中N4BC=90。，斜边AC的垂直平分线交BC与。点，交AC与E点,连接5E.

（1）若随是,。氏?的外接圆的切线，求NC的大小？

（2）当A4=l,8c=2时，求.OEC外接圆的半径.

【答案】（1）30。

⑵i

【分析】本题考查了切线的性质、相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质，；

（I）先根据垂直平分线的性质判断出圆心。，连接根据废是＜。的切线可得NMO+NBO£=9（）。,

最后结合直角三角形斜边上中点的性质求解即可；

（2）根据勾股定理求得AC=火,进而证明得出兽=空，进而计算求解即可.

DCEC

【详解】（I）解：OE垂直平分AC,

ZD£T=90°,

；.DC为.。瓦;外接圆的直径,

.•・。。的中点。即为圆心.

连接

8E是圆。的切线,

•••ZZiBO+ZZ?OE=9(r,

24

在中石是斜边八C的中点,

BE=EC,

二.ZEBC=ZC,

又；/BOE=2/C,

•••ZC+2ZC=90°,

「•ZC=30°.

（2）在RtZ\A8C中AC=NAB?+心=石，

•••EC=-AC=—,

22

ZABC=ZDEC=90°,

•••4ABCs/\DEC,

：.——AC=——BC,

DCEC

/.DC=-,

4

力EC外接圆半径为

o

11.如图，在RlZiABC中，ZC=90°,A。平分NBA。交8c于点。，。为AB上一点，经过点A、。的O。

分别交A3、AC于点£、F.

(1)求证：BC是。的切线；

(2)若3七=8,sinB=^,求0。的半径;

⑶在(2)的条件下，求入。的长.

【答案】(1)见解析

(2)5

⑶但基

13

【分析】(1)先判断出OD〃AC',得出NO/M=9U。，即可得出结论;

（2）由锐角二角函数可得s】n8=岑二不组工二工，即可求解;

BOBE+C）D13

AnAp

（3）由锐角三角函数可求"的长’通过证明△D48SAE4。’可得益=而’可得结论.

【详解】（1）证明：如图，连接。。,

图1

则。4=0。，

ZODA=NOAD，

4/）是N8AC的平分线,

ZOAD=ZCAD,

ZODA=ZCAD,

OD//AC,

NOD8=NC=90°,

点。在。上,

BC是，。的切线.

(2)解：VZ^D0=90°,

BOBE+OD13

：.OD=5,

・•・O的半径为5；

图2

TAE是直径,

26

.,.ZAF£=90°=ZACB,

・•・EF〃BC,

，ZA£F=4,

又,：ZAEF=ZADF,

:,ZB=ZADF,

又「ZOAD=ZCAD,

/.ADABsAFAD,

.ADAF

••=,

ABAD

,AD2=AI3AF.

・・,8E=8,OE=AO=5,

A8=18,4E=10,

A.p5

VsinB=sinZ^EF=—=—,

AE13

.“50

..AF=—,

13

•.•AD=1.O8x—5()=-9-0--0-,

1313

.4n30屈

••AD=--------.

13

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定，锐角三角函数，相似三角形的判定和性

质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.

12.如图，A/3为的直径，C为胡延长线上一点，C。是的切线，。为切点，OP_L/1D于点E,

交CD于点F.

4

(2)若cos/OCB=《，80=24,求放的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)3

【分析】(I)连接。。，得到NODC=90。，结合408=90。求得NAOC=NOOA,然后利用OD=OB得

到NOQ8=NOBO,从而得到4Z)C=NOB。，再利用O尸_L/W得到O/〃9。，从而ZA"'=NOa)，最后

得证结果；

（2）根据三角形的中位线定理得到。七=12,根据相似三角形的性质得到麻的长度.

【详解】（1）证明：如图，连接。。，则8=08,

C。是(O的切线，A4是。。的直径,

:.Z0DC=ZADB=9()0,

.\ZADC=ZODB,

ZADC=NOBD,

又.OFLAD,

.•.NOE4=ZADB=90°,

/.OF//BD,

:&OF=4OBD,

:.^ADC=ZAOF；

(2)解：OF//BD,OA=OB,

,AEAO

••-----=------=It,

DEOB

:,AE=DE,

.•.OE是△A8O的中位线，

：.OE=-BD=-x24=\2,

22

CD4

cosZDCB=—=-,

OC5

设CD=4x,OC=5x,

OD=\IOC2-CD2=3A-，

;.0R=3x,

CB=OC+OB—8x,

•・•OF//BD,

:.△COFs^CBD,

OCOF

...——=——,

BCBD

28

.Sr

..-=-O--F.

8x24

:.0F=15,

:.EF=OF-OE=\5-\2=3.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定和性质、解直角三角形，三角形的中位线定理、相似

三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键.

13.如图，以48为直径的。。交8c于点。，DE1AC,垂足为E.

(1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：，使直线OE为。。的切线，并说明理由;

2

(2府(1)的条件下，若DE=6,tanZADE=-,求。。的半径.

【答案】(1)增加条件：AB=AC,见解析

【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握切线的判定方法,

属于中考常考题型.

⑴添加条件：AB=AC(答案不唯一).证明OD〃AC,推出0。工力E即可；

(2)解直角三角形分别求出A£,EC,再证明得出A4=AC=13,进而可得答案.

【详解】(1)增加条件：AB=AC.

证羽：连接。。，

〈AB为O的直径，

ZAD^=90°,

；AB=AC,ZADB=90°,

・•.BD=CD,

VAO=BO,BD=CD,

on//AC,

又•・•〃£_£AC,

ZODE=ZDEC=9(F,

即O01OE,

•・・o。为半径，

二•DE为O的切线；

2

(2)在RSAOE中，DE=6,tanZADE=j,

2

AE=DEtanZADE=6x—=4,

3

*/ZA£>B=ZADC=90°,

Z4DE+ZEDC=90°,

'：DEJLAC,

/.ZD£C=90°.

ZEZ)C+ZC=90o,

4C=ZADE,

DEDE6c

•'•tanZCtanZ.ADE2，

3

AC=A£+EC=4+9=13,

又•：NC=N4DE,ZADE=ZABD,

4C=ZABD,

.•.AB=AC=\3,

13

.•.AO=OB=—

2f

13

即O的半径为

14.如图，A/3是OO的直径，弦C7)_LAA于点七，点P在G。上，NPBC=NC.

(1)求证：CB〃PD：

30

(2)若9C=12,BE=8,求。的半径.

【答案】(1)证明见解析

(2)9

【分析】本题主要考查了勾股定理，同弧所对■的圆周角相等，平行线的判定：

(I)根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得NP=NC,再由条件NP8C=/C可得NP=NP4C,然后

可得CB〃PD:

(2)设OC=O8=x,则OE=OB-8E=(x-8),利用勾股定理建立方程Y=12?-82,解方程即

可得到答案.

【详解】(1)证明：VZP=ZC,NPBC=/C,

NP=NPBC,

:,CB〃PD；

(2)解：如图所示，连接8,

设OC=O8=x,则OE=OB-3E=(x-8),

在Rtz^COE中：由勾股定理得。炉=。。2一。炉,

在RtZXCBE中：由勾股定理得CE'BCJB炉，

/.X2-(X-8)2=122-8\

解得x=9

・・・CO的半径为9.

15.如图，在X8C中，AB=AC,以AB为直径的。O交边AC于点。，连接80,过点。作CE〃A8.

⑴请用无刻度的直尺和圆规作图；过点U作。的切线，交CE于点八(不写作法，保留作图痕迹，标明

字母)

(2)在(1)的条件下，求证：BD=BF；

(3府(1)的条件下，CF=2,BF=6,求。。的半径.

【答案】(1)画图见解析

(2)证明见解析

(3)00的半径为5.

【分析】(I)根据尺规作图，过点8作人4的垂线，交CE于点产，即可求解；

(2)根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明=根据平行线的性质以及等

腰三角形的性质得出=进而证明BC哈BCF(AAS),即可得证.

(3)由(2)得:BD=BF=6,CD=CF=2,设A8=AC=2r,再利用勾股定理可得⑵+6]=(2"，

再解方程即可.

【详解】(1)解：方法不唯一，如图所示.

(2)AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

又•・・CE〃A8,

JZABC=/BCF,

・•・NBCF=ZACB.

•・•点。在以A3为直径的圆上,

J2403=90。，

・•・ZBZ)C=90°.

又・・・斯为co的切线，

・•・ZABF=90°.

9：CE//AB,

32

・•・ZBFC+ZABF=180°,

・•・ZBFC=90°,

・•・/BDC=/BFC.

•・•在△BCD和△6b中，

NBCD=NBCF、

<NBDC=/BFC,

BC=BC,

A.BCD^BCF(AAS).

,BD=BF.

(3)由(2)得：BD=BF=6,

VRtBFC,

：.CD=CF=2,

设A8=AC=2r,

***AD=2r—2，

VZADB=90°,

A(2r-2)2+62=(2r)2,

解得：r=5,

・1。。的半径为5.

【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，勾

股定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键.

16.如图，在A8C中，Z4CB=90°,点。是A8边上的一点且AC=C"

--------------

(1)实践与操作：以8C为直径作O,交AB于点E；

(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)

(2滩理与计算：在(1)的条件下，延长。。交G。于点尸，连接CE,EF.

①求证：CE=EF；

②若BE=2EF,8。=3石，求0。的半径.

【答案】(1)见解析:

(2)®见解析；②10.

【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所

学知识解决问题.

(I)作线段8。的垂直平分线，垂足为。，以。为圆心，08为半径作QO即可；

(2)①证明NECF=NJ/。即可；

②证明4E=2£C,EC=2DE,设=再利用勾股定理构建方程求解.

【详解】(1)解：图形如图所示：

(2)①证明：3C是直径，

/.ZC£B=90°,

.•.CEJLAO,

•.CA=CD,

:.^ACE=ZECD.

ZACB=90°,

;4CE+NECB=90。,/EC8+N'8=90°,

ZAC£=ZB,

/斤=N8,

ZECF=ZF,

:.CE=EF；

②解：;CE=EF,BE=2EF,

;.BE=2CE,

Ir)F

/.tanZB=tanZECD=-=—,

2EC

设。£=x,则EC=2x,EB=41,

BD=3x=3小，

/..v=75,

;.EC=2后,BE=44,

CB=JEC?+EB?=J(2石f+(4后c=[(),

34

。的半径为5.

17.如图，4?C内接于O,是。的直径，点。在AB的延长线上，且N8C£>=NA,点七为4c的

中点，连接0E并延长与。C的延长线交于点F.

(1)求证：C。是。的切线；

(2)若8=4,tanA=g,求CP的长.

【答案】(1)见解析

(2)6

【分析】(I)根据A8是。的直径，可得4CB=90。，由OA=OC得NA=NACO,结合已知条件，根据

可得NBCD+NOCB=90。,即可得证；

(2)证明△DC8SZXD4C,得出三二芸=笠，根据tanA=；,可得丁二^,从而求得D8的长，进

ADDCAC2AC2

而求得0。的长，由点E为AC的中点，根据垂径定理以及NAC3=90。，证明O尸〃AC,根据平行线分线

段成比例即可求解.

【详解】(1)证明：如图，连接。C,

:.ZA=ZACO,

/BCD=ZA,

/.^BCD=ZACO

人区是。的直径，

.-.ZAC«=90°,

ZACO4-ZOCfi=90°,

/.ZBCD+ZOCB=90°,

即ZOC£>=90°,

。。是半径，

。。是〔。的切线：

(2)ZBCD二ZA,ZD=ZD,

•••4cBs4DAC，

.CDDBCB

AD-DC-AC，

A田8

lanA=—1,可-r得1,

2AC，

4DB1

/.——=——=-，

AD42

.\AD=S,DB=2,

/.0B=^AB=^^AD-BD)=3,

•点E为AC的中点，

••.OF_LAC,

又ZACB=90°,

OF//BC,

DCBDnn42

CFOBCF3

:.CF=6.

【点睛】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，

正切，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键.

18.如图，以。ABCD的边BC为直径的OO交对角线AC于点E,交CD于点F.连结BF.过点E作EG1CD

于点G,EG是。O的切线.

(I)求证：uABCD是菱形；

(2)已知EG=2,DG=1.求CF的长.

36

【答案】（I）见解析：（2）3

【分析】（1）如图，连接0E,根据切线的性质得到OEJ_EG,根据平行四边形的性质得到OE〃CD〃AB,

推出AB=BC,于是得到结论；

（2）如图，连接BD,由（1）得，CE：AC=1：2,得到点E是AC