2025年中考数学冲刺专项训练（全国）专题12 相似三角形四种模型（解析版）

专题12相似三角形四种模型

压轴题密押

通用的解题思路:

题型一：相似三角形基本模型（4字型）

【方法点拨】基本模型:

反X字型（不平行）

题型二：相似三角形基本模型（A字型）

【方法点拨】基本模型:

A字型（平行）反A字型（不平行）

题型三：相似基本模型（《字型（一线三等角））

【方法点拨】基本模型:

如图1,4C=4EDF推出丛BDEs丛CFD（一线三等角）

如图2,/后N俏N4定推出△?!况？s4WE（一线三等角）

如图3,特别地，当〃时8。中点时：ABDEsADFEs4CFD推小ED平的4BEF,FD斗分4EFC,

题型四：相似三角形基本模型（旋转型（手拉手））

【方法点拨】基本模型：

旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.

压轴题预测

题型一：相似三角形基本模型（4字型）

1.（2024•韶关模拟）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架力。与C8交于点O,

测得力O=BO=5()5?,CO=DO=30cm.

(1)若C£>=40cm,求48的长;

（2）将桌子放平后，两条桌腿叉开角度N4%=106。，求力8距离地面的高.（结果保留整数）（参考数值

sin37°»0.60,cos37°®0.80)

rai

【分析】（1）先证明AJBOSAOCO,再由相似三角形的性质求出力4的长即可;

（2）过点。作。七_L力4于点E,OFMD于点、F,在RtADOF中，。产=OOsin37。，在RtABOE中,

OE=OBsin37°,EF=OE+OF,进而作答即可.

【解答】解：(1),：AO-BO=50cin,CO=DO=30C/H,

MOB与bCOD是等腰三角形,

NAOB=/COD,

...NA=/B=NC=ZD,

MBOsbDCO,

AOAB

---=---，

DOCD

，回独

3

即AB的长为；

3

（2）过点。作OE_L/I5于点E,OFLCD于点、F,如图,

E

AB

•：AAOB=\06°,A4O8与ACOO是等腰三角形,

—d誓j,

在RlADOF中,

OF=OD-sin37。。30x0.60=18（cw）,

在RtABOE中，

OE=OB-sin37°»50x0.60=30（cm）,

.'.EF=OE+OF=3Q+\S=48（C7〃），

.•"3距离地面的高为48M.

【点评】此题考查了相似三角形的判定及性质、解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线.

2.〔2024•西安校级模拟）小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪从

观测出发点A观测深坑底部P,且观测视线刚好经过深坑边缘点E,在深坑右侧用观测仪CD从测出发点C

观测深坑底部尸，且观测视线恰好经过深坑边缘点尸，点4,E,F,。在同一水平线上.已知力8，Q~

CD1EF,观测仪48高2〃？，观测仪CO高1〃?，BE=1.6m,FD=0.8w,深坑宽度EF=88”，请根据以

【分析】过点P作尸“垂直,垂足为“，然后根据已知证明,^CDN^APHN,得出

HP=AB=8WN,设=则八方=（8.8-x）/〃，解得M〃=4.4,再求"P即可.

MBDN

【解答】解：过点尸作尸，垂直印，垂足为H,如图：

•••AB1EF,PH1EF,CD1EF,

：.ABHHP,CD//HP,

:.MBMS'PHM,ACDNS^PHN,

ABMBCDDN

HPMHPHHN

:.*竺4噜生也

MBDN

ABMHCD-HN

MBDN

vAB=2m,5M=1.6〃？，CD=\m,ON=0.8/〃,MN=8.8m,

设=xm,则NH=(8.8-x)m,

2x_Ix(8.8-x)

1.60.8

A=4.4,

2x44

:.HP=——=—=5.5(w),

1.60.8

.•.深坑深度5.5米.

【点评】本题考杳相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力.利用数学知识解决

实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模理，把实际问

题转化为数学问题.

3.（2024•常州模拟）图1是凸透境成像示意图.蜡烛/。发出的光线”平行于直线/A,经凸透镜折

射后,过焦点“，并与过凸透镜中心。的光线CO交于点D,从而得到像8。.其中，物距40=〃，像距BO=v,

焦距。b=/,四边形4OEC是矩形，DBLAB,MN1AB.

（1）如图2,当蜡烛力。在离凸透镜中心一倍焦距处时，即〃=/，请用所学的数学知识说明此时“不成像”;

（2）若蜡烛/C的长为5cm,物距〃=15c，〃，焦距/=10c〃?，求像距v和像的长.

【分析】（1）根据矩形的性质可得AC=EO,NC4O=N/OE=90。，从而可得/。。=/E。/=90。，然后

利用S4S证明AC4O二AEO产，从而利用全等三角形的性质可得NCO/=NEFO,进而可得。O//E/，即

可解答；

(2)根据垂直定义可得，然后证明8字模型相似AOOSAQ99,

△EFOsbDFB,从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答.

【解答】解：(1):四边形NOEC是矩形，

:.AC=EO,Z.CAO=Z.AOE=W,

£EOF=1800-NAOE=90°,

.♦.ZC/K)=NEOF=9M,

vAO=OF,

二.^CAO=^EOF(SAS),

：.ZCOA=NEFO，

.-.CO//EF,

.♦.CO与E尸没有交点，

.••此时“不成像”；

(2)vCALAB,DBA.AB,MN1AB,

/.ZCAO=Z-DBO=/EOF=90°,

ZCOA=ZBOD,

^CAO^\DBO,

,CA_DB

"7O~~BO'

5DB

■,运一前'

/.BO=3BD,

•••2EFO=4DFB,

/XEFfJs^DFB,

EO_BD

"而=旅‘

•5—BD

"布一。8-10'

5BD

,,10-3BD-10'

解得：8。=10,

BO=3BD=30(cm),

像距v为30c小，像8。的长为10a〃.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三

角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键.

4.（2023•浙河区校级三模）综合与实践

莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片力8C,如图，AB=AC=5,BC=6.为了找到重心,

以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点月与点C重叠对折，得折痕力后，展开后，她把点B与点力

重置对折，得折痕。“，再展开后连接C力，交折痕NE于点0,则点。就是A48C的重心.

教材重现：

如图4-15,用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片.你知道怎样确定这个点的位置吗？

在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（me力刖）.如图

4-16,月E是&46c的6c边上的中线.

图4-15

让我们先看看三角形的中线有什么特点.

?图4—16????

（1）初步观察：

连接"，则"'与"的数量关系是：_AF=BF_；

（2）初步探究：

请帮助莹莹求出入4OC的面积；

（3）猜想验证；

莹莹通过测量惊奇地发现04=2OE,CO=2OD.她的发现正确吗？请说明理由;

（4）拓展探究：

莹莹把剪下后得△49C,发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点4不与点4重合,

直接写出拼成四边形时的长.

【分析】（1）利用折叠的性质即可得到答案；

（2）由折叠可知，BE=CE=-BC=3,ZJEC=90°,利用勾股定理求得力£=4,连接。E,易得DE

2

为A/出。的中位线，则。K//.4C,DE=-AC,于是△OOESAO。，得到丝=匹=」，进而可得

2OAAC2

OA=2OE,则根据三角形面积公式可得SM℃=」O4C£，代入计算即可求解；

3tviczk2

（3）连接OE,易得。E为AJ8C的中位线，贝i」QE//XC,DE=-AC,于是△0。4^。以，利用相

2

似三角形的性质即可求解；

（4）连接08,由（2）知。4=»,则。七=±,利用勾股定理求得。8=姬，由折叠可知

333

ZADF=Z.BDF=90°,AF=BF,AD=BD=）,易证△尸BOs/uBE,由相似三角形的性质可求得

2

957

BF=—f则叮=一，分两种情况讨论：当"与点4重合时，此时Od=O8：当点4与点厂重合时，

66

利用勾股定理求出。/即可.

【解答】解：（1）•.•点8与点力重叠对折，得折痕。歹，

/.MDFs\BDF（折叠的性质），

・•.AF=BF；

故答案为：AF=BF；

（2）由折叠可知，BE=CE=-BC=3,N/EC=90。，

2

在RtAACE中，AE=y）AC2-CE2=>/52-32=4,

如图，连接OE，

A

•.•点。、E分别为、8c的中点，

/.QE为A44c的中位线，

:.DEMAC,DE=-AC,

2

NODE=NOCA,NOED=AOAC,

/.AODEsbOCA,

OEDE\

---==一，

OAAC2

OA=20E»

,/OA+OE=AE=4,

2X

：,OA=-AE=-

33t

11Q

S^.=—OA•CE=-x—x3=4；

市oc223

（3）正确，理由如下:

如图，连接。七，

/点。、E分别为的中点，

OE为的中位线，

DE//AC,DE=-AC,

2

NODE=ZOCA,NOED=Z.OAC,

AODEsbOCA,

OEODDE1

「・---=----=----=-，

OAO（JAC2

•.OA=20E,OC=2OD；

(4)如图，连接08,

在RQOBE中，OB=ylOE2+BE2

由折叠可知，/ADF=NBDF=90

：.NBDF=NBEA=90°,

NFBD=NABE,

bFBDsfBE，

即2=空,

BEBA35

二.BF=—,

6

257

:.EF=BF-BE=—-3=-

66f

当4与点8重合时，如图①②，连接。8,

图①

/o7

此时04=08=^x一；

3

A

•/ZJFB+Z/lFC=180o,NAFC=N4FC：

ZL4FB+ZJTV=180°,

此时拼成的图形为三角形，不符合题意;

图③

：6=OF耳.

综上，0/的长为坦或业..

36

【点评】本题主要考查折叠的性质、中线的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线

的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是读懂题意，熟知折叠的性质，学会利用数形结合

和分类讨论思想解决问题.

5.（2023•南关区四模）如图，是0。的直径，OA=3.动点尸从点力出发，在00上沿顺时针方向运

动到终点3,速度为每秒点个单位.同时动点。从点3出发，在。。上沿顺时针方向运动，速度为每秒3乃

个单位.当点夕到达终点时，点。也随之停止运动.连结OP、O。.设点。的运动时间为/秒.

（1）00的周长为—6兀—；

（2）当点〃与点0重合时，求崩所在的扇形的面积；

（3）当0P1。。时，求，的值；

（4）作半径。。的垂直平分线交。。于点M、N,连结P。.当P。将线段MN分成1:2的两部分时，直接

写出，的值.

【分析】（1）直接利用圆的周长公式计算即可；

（2）当点。与点。重合时，根据点P走过的弧长+弧48的长=点8走过的弧长列出方程，求出，值，于

是可求出办所在扇形的圆心角度数，进而利用扇形的面积公式求解即可；

（3）分两种情况：当点P与点。重合前,当点。与点。重合前.根据两点走过的弧长关系列出方程,求解

即可；

（4）情况一：连接0M,PM,PN,ON,PQ交MN于点、H,=根据线段垂直平分线的

性质易得AOPM为等边三角形，APON为等边三角形，进而得到四边形PM0N为菱形，易得AGFVSAPHM,

根据相似三角形的性质可得GN=LpM=Lov,由等边三角形三线合一可知PG垂直平分ON,于是可得

22

^HON=AHNO=30°,则/力OP=30。，利用此时崩的长小点P的运动速度即可得到时间；情况二：同情

况一方法即可求解.

【解答】解：（1）。。的周长为24x3=6乃；

故答案为：6兀；

（2）当点夕与点。重合时，

3"+九7=3九7,

解得：，=2,

2

3

一71

.•.点P走过的圆心角度数为乙X360°=90°,

6兀

—onQ

所在的扇形的面积为卫x;rx32j；

3604

（3）当点。与点。重合前，OPLOQ,

则,x6%一二3"一3乃1,

4

解得：/=3；

4

当点P与点。重合后，OP1O。，

1、

无7+—X6x4=5711-571,

4

解得：f=

4

（4）情况一：如图，连接OM,PM,PN,ON,PQ交MN于点、H,NH:MH=\:2,

vMN垂直平分OP,

0M=PM,

,/OP=OM,

OP=OM=PM,

XOPM为等边三角形，

/.£POM=60°,

同理可得：APON为等边三角形，

OP=PN=ON,NPON=60°,

"WON=120°,PM=OM=ON=PN,

.♦.四边形尸MON为菱形,

PXf//ON,

△GHNSKHM,

里二些=1,即GN」PM,

PMMH22

GN=-ON,

2

尸G垂直平分。N,

NH=OH，4HNO=Z.HON，

•••NMON=120°,OM=ON,

/.ZONM=3()。，即4HN0=30°,

/.NHON=ZHNO=30°,

/.NAOP=4PON-/HON=60°-30°=30°,

迎,6”।

,U=^=1;

兀2

情况二：连接OM,PM,PN,ON,PQ交MN于点H,NH:MH=1:2,

Q

同理可得：N8OP=30。,

...AAOP=\80°-Z.BOP=180°-30°=150°,

150,

.「

・1_-3-6--0------—_5一

7T2

综上，f=，或

22

【点评】本题主要考查圆的面积公式、扇形的面积公式、弧长公式、一元一次方程的应用、线段垂直平分

线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等，理清题意，学会

利用分类讨论和数形结合思想解决问题是解题关键.

6.（2023•海曙区校级三模）如图1,在菱形48CQ中，48=2后，点P是对角线8。上的动点，。。是△尸48

的外接圆，tanZZ）5C=-,设。。的半径为r,BP=x.

2

图1图2

(D如图2,当/〃=/4时，求证：AC是0。切线；

(2)延长4P交射线8c于点。.

①如图3,若8尸为。。直径，求C。的长；

②如图4,若点0、A、。三点共线，求理的值：

PQ

(3)当0<x<4时，直接写出厂与x的函数关系式：_/.=：>/5/-40尤+1()()_.

【分析】(1)连接80并延长交。。于点E,连接产£,由此得NE+/E8尸=90。，然后根据,以=%?以及

菱形的性质可证：4BAP=4ABP=4E=/CBP,据此可得/£水?=90。，进而利用切线的判定可得出结论;

(2)①连接PC,根据已知条件ian/O8C=；可求出P4=PC=石，进而根据A0PC和整阳相似，然后

列出比例式即可求出C0的长；

②延长彳。与。。交于点G,连接G尸，AC,4c与BD交于H,先证明产G=P。，再证产G=24P,根据

已知条件tanNQ4C=［分别求出,4，=2,。，=4,可设/尸="，则PG=P。=2。，PH=2a-4,然后在

2

RtAAPH中，由勾股定理求出。，进而求出8P的长和OP的长，最后根据A4。尸和A08P相似可得出答案;

(3)作0。的直径尸.”，连接力W,连接力C交8。于点〃，［tl4Q=x,贝I|P〃=4—x,在RtAAPH中，

由勾股定理求出力尸，再由NM=N/6O=NO4c得tan/M=L进而得4W=24P,最后在RtAAMP中，

2

由勾股定理可得出r与x的函数关系式.

【解答】（1）证明：作OO的直径4E,连接尸E,

•••BE为QO的直径,

ZEPB=90°,

ZE+NEBP=90°,

又•：PA=PB，

PA=PB,

NBAP=NABP=NE,

:.NABP+NEBP=90°,

•.•四边形力8CO为菱形,

/.NABP=NCBP,

NCBP+/EBP=90。,

即：ZEBC=90°,

又「08为。。的半径，

:,BC为©0的切线.

(2)解：①连接PC,

NPAB=NPCB=900,

•.•四边形力8CQ为菱形，AB=BC=26

ZDBC=NDAB,

pr1

在RtAPBC中，tanNDBC

BC2

即：今PC=上I，

2石2

PC=4S,

•••Z.DBC=Z.DAB，NPAB=4PCB=90°,

PA=PC=4S,

vZQCP=ZQAB=9(f,NPQC=ZBQA,

XQPCsbQBA，

PQ=CQPC=V5

~BQ~7Q~AB~2^5f

：.RQ=2PQ，AQ=2CQ,

RQ=RC+CQ=2旧+CQ、4。=4P+PQ=#+PQ.

:.2旧+CQ=2PQ,旧+PQ=2CQ,

由后+尸0=2CQ得：PQ=2CQ-y/5,

将PQ=2CQ—出代入2石+CQ=2尸Q,得：。0=孚.

②延长月。与OO交于点G,连接GP,AC,4c与BD交于H,

•.•四边形力8。力为菱形，

:.AB=AD=2后,ACLBD,且AH=CH,BH=DH,ADIIBC,

ZABD=ZADB,

又「ABD=NG,

：.ZG=ZADB,

PG=PD,

vAD//BC,

NADB=NDBC=NG,

•/tan/DBC=-,

2

tanZ.ADB=tanZE=—»

2

AP1

在RtAAPG中，tanZF=——=一，

PG2

即：PG=2AP,

设/尸=a,则尸G=尸。=2a,

AU1

在RtAADH中，tanZADB=-=-,

HD2

即：HD=2AH,

由勾股定理得：HD2+AH2=AD',

?.(i2AH)2+AH-=(2x/5)2,

AH=2,

:.HD=4,

:.PH=PD-HD=2a-A,

在RtAAPH中，由勾股定理得：AP2=AH2+PH1,

即：即=22+(2a-4)2,

解得：%=果生=2(不合题意，舍去)，

PD=2a=—,

3

又;BD=2HD=8,

2()4

二BP=BD-PD=8——=一，

33

vAD//BC,

MDPs&QBP,

20

一

尸

。3

-7--

尸T=5.

3

(3)解：r=—-40x+100.理由如下:

2

作。。的直径PM,连接连接4C交8。于点〃,

由(2)可知：AH=2,BH=4,

,/BP=x,

:.PH=BH-BP=4-x,

在RtAAPH中，由勾股定理得：AP2=AH2+PH2=(4-x)2+22=x2-8x+20,

•.•PM为O。直径，

PM=2r,ZMJP=90°,

•/ZM二4ABD=Z.DBC,

tanZ八.M/=—1,

2

Ap1

在R3AMP中，tanZM=—=-,

AM2

=2Ap,

在RtAAMP中，由勾股定理得：AP2+AM1=,

即：AP2+(2AP)2=(2r)2,

...5AP2=4/2,

4/=5(x2-8x+20)=5x2-40x+100,

/.r=—V5x2-40x+100.

2

故答案为：,-=lV5x2-40x4-100.

2

【点评】此题主要考查了圆周角的性质，切线的判定，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角

函数、勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握切线的判定，直径所对的圆周角是直角.构造圆的直径，

利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，并利用三角函数的定义找出相关线段的关系是解答此题的

难点.

7.(2024•庐江县一模)已知：如图，AZM8和中，DA=DB,EB=EC,4ADB=NBEC,且点X、

B、C在一条直线上，联结4£、ED,AE与BD交于点F.

(1)求证：DF,BC=BF•AB；

(2)若DF=CE,求"的值.

BD

【分析】（1）根据已知易证AD4ESA反g然后利用相似三角形的性质可得NO"=NE8C,—,

EBEC

从而可得/Q//E4,进而证明8字模型相似&4O产SAE用丁最后利用相似三角形的性质可得丝=空，

EBBF

等量代换得出黑=,，即可解答:

7

（2）利用（1）的结论可得：bDABs^EBC，从而可得NO3/1-乙ECB,进而可证A字模型相似AJZ?7sAz1c后，

然后利用相似三角形的性质可得生=乌，从而可得4£=2，再利用（1）的结论可得：—,

ABBFABBFBCBF

从而可得丝=W£,进而可得力旌=4C.8C,最后根据黄金分割的定义可得点〃是力C的黄金分割点，从

BCAB

而可得铝'进而可得务=箓=*’进行计算即可解答•

【解答】证明：(1)---DA=DB,EB=EC.

DADB

----=-----9

EBEC

ZADB=4BEC,

NDABS'EBC，

DA_AB

£DAB=Z.EBC,

/.AD//EB,

ZDAF=乙4EB,NADF=NDBE,

MDFsbEBF,

ADDF

---=----，

EBBF

ABDF

----=-----9

BCBF

DFBC=BFAB；

(2)解：由(1)得：•:ADABs'EBC,

...NDBA=4ECB,

•••NFAB=/EAC,

:.MBFsMCE,

ACCE

•・•Db=CE,

•HC二DF

,~AB~'BF

ABDF

由（1）得:

~BC~~BF

ABAC

~3C~~AB

AB2=AC-BC,

点8是4C的黄金分割点,

ABV5-1

---=------,

AC2

ACDF2

DF_2_2_2(6_1)_6-1

8。一石-1+2-x/5+1-(x/5+l)(x/5-l)-2

需的值为“-1

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判

定与性质，黄金分割是解题的关键.

8.（2024•镇海区校级二模）四边形R8C。内接于。。，4C是0。的直径，连结8。交彳。于点G,AF1BD,

D

图1图2

(1)如图1,若AF交BC于点、F.

①求证：ABAF=ZCAD：

4

②若OO的直径为10，cosZBCA=~,BE:CG=3:5,求"'的长.

（2）如图2,若4F交CD于点F,连结。。，若ODHAB,力石=石，DF=2CF,求。。的直径.

【分析】（1）①易得//8。=90。=/力£8,利用同角的余角相等得NC8O=N84/，结合圆周角定理即可得

证；

②过点G作GKJ.8C于点K,由题意易得4。=8,48=6,sinZKCG=sinZBCA=—=-,

CG5

4R3

tanZKCG=tanZBCA结合：CG=3:5知=GK,进而利用44S证明A48厂兰ABKG,得

AC4

至h48=6K=6,于是CK=2,

KG=CK-tanZKCG=±=BF,最后利用勾股定理求解即可：

2

（2）设力F交OD于点0,过点。作。〃_1_力尸于点〃，链接6。并延长交力产于点尸，延长力产交OO于

点G,连接CG,易得QH=PH,CG//OH//BD,根据相似三角形的性质依次得出CG=2OH,DE=40H,

EP=6PH,DQ=-OD,BE=6OH,于是里=^=>,则

5DE40〃2

4FRFT.0SSx/s

—=—=-^>QE=-AE^>AQ=-AE=—,易得AAQD=ABAQ=ZODA=ZOAD,于是

2333

力。=/10=卷5,M）AQs&DOA,得到</>'="）•。。，设。。的半径为尸，则OO=r,。0=1厂，以此

列出方程求解即可.

【解答】（1）①证明：•.YC是。。的直径，AF1BD,

NABC=90°=/AEB,

ZABE+ZCBD=90°,ZABE+ZBAF=90°,

：.ZCBD=NBAF,

又;CD=CD,

...ZCBD=Z.CAD,

/.ZBAF=ACAD.

②解：如图，过点G作GK_L4C于点K,

B

4

在RtAABC中，AC=\O,cosZ5CJ=—=-,

AC5

/.BC=S，

由勾股定理得AB=y/AC2-BC2=V102-82=6,

/.sinZZ?CJ=—=-,tanZi?CJ=—=-,

AC5AC4

在RtAGKC中，sin^KCG=sinZ5CJ=—=-,tanNKC'G=tanN8G4="=3,

CG5AC4

又7BF.CG=3:5,

BF=GK,

在MBF和\BKG中，

ZBAF=ZKBG

-NABF=ZBKG，

BF=KG

:.MBF^\BKG(AAS)，

AB=BK=6,

；.CK=BC-BK=8-6=2,

/.KG=CK-tanNKCG=2x-=-,BF=KG=~,

42

.•./产-J"炉+"42奇-当

(3)解：如图，设力尸交。。于点0,过点。作OHITIF于点H,链接80并延长交力产于点P,延长/IE

交。。于点G,连接CG,

•/AFA.BD,OHLAF,

...£0H0=NBEG=90°,

OH//BD,

/.ZQOH=NODB,ZPOH=NOBD,

又7OB=OD,

Z.ODB=乙OBD,

AQOH=4POH,

QH=PH,

•：AC为OO的直径,

ZAGC=900="HQ=/AEB,

/.CG//OH//BD,

MOHsMCG=>-=—=-=>CG=2OH,

CGAC2

DFDF2

^DEFs^CGFn—=——=-nDE=ICGnDE=4OH,

CGCF1

4

皿~器嚼嗡嚼=4=>QE=4PH,DQ=4OQ=EP=6PH,DQ=jOD,

^OPH^\BPE^-=­=-^BE=6OH,

BEPE6

BE60H3

DE4OH2

-OD//AB,

:.MBEsbQDE,

QEDE2333

-AD=AD,OD=OC,

ZOCD=/ABD=ZODC,

NBAE=900-AABD=90°-NODC=NODA，

vOD//AB,OA=OD,

...ZAQD=ZBAQ=NODA=ZOAD,

AD=AQ=^y-,\DAQ^\DOA,

:处=吆,即心=。。・。0

DODA

4

设。O的半径为厂，则OO=〃，DQ=M，

25

~6

.•.00的直径为号.

【点评】本题主要考查圆周角定理、锐角三角形函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性

质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质等，属于圆的综合题，难度较大，是中考压轴题.解

题关键是正确作出辅助线，利用平行线和相似三角形的性质解决问题.

9.（2023•谷城县模拟）在A44C和中，NC=NEBD=90。,/BAC=NBED=a,点。在线段力C上.

图⑴图⑵图⑶

（1）【特例证明】如图（1）,当a=30。时，EO«L48,证明：AE1AC；

（2）【类比探究】如图（2）,当a工30。，点。是线段4c上任一点时，证明:

Q）NBDFsM：AF；

②<£_L4C；

（3）【拓展运用】如图（3）,当a=45。时，——=-,AE=\2,求8c长.

B卜5

［分析［(1)证明ABFEs^DFA,得到一=——，进而推出bBFDsbEFA,得到4BDF=NEAF,推出

EFAF

ZEAF+ZBED=90°,即可得证：

RFDF

(2)①证明,得至ij—=一，进而推出A8以)\BFD^^EFA,得到

EFAF

ZBDF=Z.EAF,推出Z.EAF+Z.BED=90°，即可得证；

(3)设力/=3*BF=5a,证明A8PQsA8D4,得到BD2=M•B4,求出80,在等腰RtAABC中，求

出〃C=力。=4上々，在RtABCD中，求出C'O=2x/ia,在RtABDE中求出OE=4石a,进而推出

AE=65/26/=12＞求出a的值，即可得解.

【解答】(1)证明：VABAC=ZBED=30°,

又/BFE=/DFA,

MFES^DFA,

BFDF

----=-----9

EFAF

•：NBFD=NEFA,

ABFDS〉EFA,

/.ZBDF=ZEAF,

NBDF+NBED=90。

ZEAF+NBED=90°,

/.AE1AC；

(2)证明：①•；NBAC=/BED,

又乙BFE=4DFA,

:.&BFEsbDFA,

BF_DF

£BFD=Z.EFA,

/.XBFDsbEFA；

②:MFDSAEFA,

ZBDF=AEAF,

2BDF+/BED=90°,

...LEAF+/BED=90°,

/.AE1AC,

⑶解："

设力尸=3。，BF=5a,贝i」48=8a,

•・•/.BDb=N8AD=45u,

又NDBA=NDBA,

XBFDskBDA,

：.BD2=BF-BA,

/.BD=2x/10«,

•.•在等腰RQABC中，4B=8a,

BC=AC=4>/2a,

在RtABCD中，BD=2yf\0a,BC=4区,

CD=2缶，

/.AD=CD=2缶，

在等腰RtABDE中，BD=2M4,

DE=4瓜,

由（2）知力E_L/C,

在RtADAE中，DE=4旧a,AD=141a>

二AE=6&Q,

vJ£=12,

a=V2,

二.BC=4瓜=8.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理.熟练掌握相似三角形

的判定与性质是解答本题的关键.

10.（2023•深圳模拟）（1）【探究发现】如图①，已知四边形力灰?Q是正方形，点、E为CD边二一点、（不与

端点重合）,连接BE，作点D关于BE的对称点D',DD'的延长线与BC的延长线交于点F,连接BD',D'E.

①小明探究发现：当点£在。上移动时，bBCE三bDCF.并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完

整.

证明：延长BE交DF于点、G.

②进一步探究发现，当点。'与点/重合时，NCDF=22.5°.

（2）【类比迁移】如图②，四边形48CQ为矩形，点£为CQ边上一点，连接8E,作点。关于的对称

点D',的延长线与8C的延长线交于点尸，连接8。'，CD',DfE.当CD'1DF,AB=2,8c=3时，

求S'的长；

（3）【柘展应用】如图③，己知四功形44。。为菱形，AD=^3,AC=2,点/为线段〃。二一动点，将

线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外州寸，如果DF=EF,

请直接写出此时。尸的长.

图③图③备用图

【分析】（I）①延长BE交DF于点G,则由对称可知Z.EGD=/EGO'=90。，结合/DEG=4BEC得到

NEBC=NEDF,由正方形的性质得到/8CE=N。。广、BC=DC,从而证明A8CE三AO。打；

②当点。'与点F重合时，由对称可知/DBG==22.5°,然后由①得到NEDF=NEBC=225°；

（2）延长BE交DF于点、G,由对称可知点G是。。的中点、/EGD=NEGD，=90。,结合CD'_LOE得到

CD'//BG,从而有EG是AQCQ'的中位线，得到点E是C。的中点，从而求得CE=OE=1,再由勾股定理

求得8E的长：由（1）①得/£8。=/"）。，NECB=NEGD=90。得到AECBs&EGD,进而借助相似三角

形的性质求得£G的长，然后由中位线的性质求得C。的长；

（3）以点/为圆心，力。的长为半径作圆弧，与。。和8c的交点即为点E,然后分点E在CZ）上和点E在

8C上讨论，延长力产交OE于点G,然后借助（I）（2）的思路求解.

【解答】（I）①证明：如图①，延长由对称可知，NEGD=NEGD，=90°,

NDEG=/BEC,

ZEBC=NEDF,

•.•四边形/4C。是正方形，

...ZBCE=/DCF=90°,BC=DC,

在MCE和AQC”中,

ZEBC=ZEDF

«BC=CD,

/BCE=/DCF

^BCE^^DCF(ASA).

②解：如图1,当点。'与点尸重合时，由对称可知/Q8E=NO'8E,

•••四边形48CO是正方形，

，ZDBC=45°,

NDBE=ND'BE=22.5°,

由①得到4CDF=ZEBD',

ZCDF=22.5°,

故答案为：22.5°.

(2)解：如图2,延长8E交。产于点G,

由对称可知，点G是。Q'的中点，ZEGD=Z.EGD'=90°,

CD'LDF,

:.CD”IBG,

：.EG是ADC7T的中位线，

.•.点E是CO的中点，

..CE=DE=-CD=-x2=\,

22

/.BE=y]8C2+CE2=V32+12=VlO,

由(1)①得，4EBC=4FDC,4ECB=4EGD=90°,

二.XECBS^EGD,

.ECBCBE

"~EG~~DG~~EDf

13Vfp

~EG~~DG~~T'

,rr而

10

:.BG=BE+EG=y/w+—=,

1010

£6是凶。。'的中位线，

.E——M_屈

・・CD=2EG=2x------=------♦

105

（3）以点力为圆心，力。的长为半径作圆弧，与CO和8C的交点即为点E,

①如图3,当点E在。。上时，延长力产交OE于点G,

由（1）①可得，NGDF=NOAF,且DF=EF,

•.•四边形MCO为菱形，

:.AC1BD,AO=CO,40DC=40DA,

NOAF=NODA,

/AC=2,

/.0/1=1,

•/AD=y/i,

0D=4i,

C）AI

/.tanZ.OAF=tanZ.ODA==—,

ODy/2

OFOF1

FPF

：.OF=­x

2

②如图4,当点E在8c上时，延长力/交。石于点G,则4GO=90。，NDAG=NEAG==NDAE,DF=EF,

2

vAD=AB=AE,

ZAEB=Z.ABE,

•.•四边形力4c。是菱形，

:.NABO='/ABE,AD!IBC,

2

/.NDAE=NAEB,

AABO=ZDAG,

在AJG力和A3Q4中，

ZGD=/BOA

,/DAG=/ABO,

AD=AB

..AAGD^ABOA（AAS）,

DG=AO=1,AG=BO=6，

DG=AO,

2FAO=KFDG,/FOA=/FGD,

:.^FOA^\FGD(ASA),

OF=FG,

设OF=FG=X、则。尸二拒-工，

在RtADFG中，DF?=GF，+DG：

:.(y[2-x)2=x2+\2,

解得：x=正，

4

:.0F=—f

4

综上所述,。尸的长为也或